【摘要】本文通過(guò)舉例介紹了求解函數(shù)方程的六種方法，并且分析了解題過(guò)程中的幾個(gè)誤區(qū).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)方程 參數(shù)法

一#65380;引 言

函數(shù)方程是一個(gè)十分古老又十分有趣的課題，它有著十分廣泛的應(yīng)用.在研究各種函數(shù)時(shí)，許多函數(shù)的定義都可以表示為某一函數(shù)方程.例如:用f(-x) = f(x)定義偶函數(shù)，用f(-x) = -f(x)定義奇函數(shù)，用f(x + T) = f(x)定義周期函數(shù)，等等.自1773年至今的200多年里，許多著名的數(shù)學(xué)家(如芒日#65380;拉普拉斯#65380;柯西等)對(duì)函數(shù)方程進(jìn)行了大量的研究并作出了重要的貢獻(xiàn).但是有關(guān)函數(shù)方程的理論以及其求解在分析學(xué)中至今尚未完全成形.因此研究函數(shù)方程的求解無(wú)疑是一個(gè)有價(jià)值的課題.

本文對(duì)函數(shù)方程的解法進(jìn)行了較為系統(tǒng)的歸納，并且通過(guò)一些例子介紹了這些方法.

首先介紹幾個(gè)基本概念:

定義1 含有未知函數(shù)的等式叫函數(shù)方程.

定義2 能使函數(shù)方程成立的函數(shù)叫做函數(shù)方程的解.

定義3 求出函數(shù)方程的解或確定它無(wú)解的過(guò)程叫做解函數(shù)方程.

例如:3f(x) + 2f= 4x為一元函數(shù)方程， f(x) =是其解.

關(guān)于函數(shù)方程解的一般性約定如下:

(ⅰ)若f(x)為函數(shù)方程的解，且f(x)含有任意常數(shù) (或不含有任意常數(shù))，則稱f(x)為函數(shù)方程的特解.

(ⅱ)若f(x)為函數(shù)方程的解，且f(x)含有任意函數(shù)，則稱f(x)為函數(shù)方程的通解.

例如:f(x) = x2為方程f(-x) = f(x)的特解，而φ(x2)(其中φ為任意函數(shù))為方程f(-x) = f(x)的通解.

二#65380;函數(shù)方程的解法

1. 定義法

定義法是把所給函數(shù)的解析式，通過(guò)配方#65380;湊項(xiàng)等技巧使之變形為關(guān)于“自變量”(或“原象”)的表達(dá)式，然后以x代替“自變量”即得到函數(shù)f(x)的表達(dá)式.

例 1 已知f(1 + cos x) = cos2x，求f(x) .

分析 首先把解析式按“自變量”→“1 + cos x”的變形，得f(1 + cos x) = 2(cos x + 1)2 - 4(cos x + 1) + 1，然后以t代替“自變量”即得到函數(shù)f(t)的表達(dá)式.

解 令t = 1 + cos x，則f(t) = 2t2 - 4t + 1.

當(dāng)x∈R 時(shí)，1 + cos x = t∈[0，2]，

所以f(x) = 2x2 - 4x + 1，x∈[0，2].

注 對(duì)所求得的函數(shù)，必須注明定義域.

2. 換元法

換元法是將函數(shù)的“自變量”或某個(gè)關(guān)系式代之以一個(gè)新的變量(中間變量)，然后找出函數(shù)對(duì)中間變量的關(guān)系，從而求出函數(shù)的表達(dá)式.

例2 已知f(1 + cos x) = cos2x，求f(x).

解 原式可以化為:

f(1 + cos x) = cos2x = 2cos2 x- 1.

令1 + cos x = t，t∈[0，2]，則換元后有

f(t) = 2(t - 1)2 - 1，t∈[0，2]，

從而f(x) = 2(x - 1)2 - 1，x∈[0，2].

注 用換元法求解f(Φ(x)) = g(x)時(shí)，要注意t = Φ(x)的反函數(shù)是否存在.求得的函數(shù)f(x)的定義域需要參照原來(lái)的函數(shù)方程以及求解的過(guò)程來(lái)確定.

3. 參數(shù)法

參數(shù)法是通過(guò)設(shè)參數(shù)#65380;消參數(shù)得出函數(shù)f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而求出f(x)的表達(dá)式.

例3 已知f(1 + cos x) = sin2 x，求f(x) .

解 設(shè)所求函數(shù)y = f(x)的參數(shù)表達(dá)式為:

x = 1 + cos t，y = sin2 t.

所以cos t = x - 1(1)sin2 t = y(2)

然后通過(guò)(1)2 + (2) = 1消去參數(shù)t，得(x - 1)2 + y = 1，

所以y = 1 - (x - 1)2 ，x∈[0，2]，

即f(x) = 1 - (x - 1)2 ，x∈[0，2].

注 用參數(shù)法的關(guān)鍵是找等量關(guān)系消參數(shù)，求得的函數(shù)f(x)的定義域參照求解過(guò)程來(lái)確定.

4. 待定系數(shù)法

待定系數(shù)法適用于所求函數(shù)是多項(xiàng)式的情形.當(dāng)我們知道了函數(shù)解析式的類(lèi)型及函數(shù)的某些特征，用待定系數(shù)法來(lái)解函數(shù)方程較為簡(jiǎn)單. 一般首先確定多項(xiàng)式的次數(shù)，寫(xiě)出它的一般表達(dá)式，然后由已知條件，根據(jù)多項(xiàng)式相等的條件確定待定系數(shù).

例4 已知f(x)為多項(xiàng)式函數(shù)，且f(x - 1) + f(x + 1) = 3x2 + 5x + 5，求f(x).

解 由于f(x - 1) ， f(x + 1) 不改變f(x)的次數(shù)，而它們的和是2次的，所以f(x)必為二次函數(shù).

故可設(shè)f(x) = ax2 + bx + c，

則f(x - 1) + f(x + 1) = a(x - 1)2 + b(x - 1) + c + a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = 2ax2 + 2bx + 2(a+ c).

由已知，得2ax2 + 2bx + 2(a + c) = 3x2 + 5x + 5，比較等式兩端同次項(xiàng)系數(shù)，得2a = 3，2b = 5， 2(a + c) = 5.

解得a =，b =，c = 1.

故f(x) =x2 +x + 1.

例5 已知f[f(x)]= x，其中f(x)為一元一次函數(shù)，求f(x).

解 設(shè)f(x) = ax + b，其中a，b為待定常數(shù)，則

f[f(x)] = af(x) + b = ax2 + b = a2x + (ab + b) ≡ x，

于是有a2 = 1，ab + b = 0，

解得a = 1，b = 0或a = -1(b∈R)

從而f(x) = x 或f(x) = -x + b(b∈R) .

注 在用待定系數(shù)法解函數(shù)方程時(shí)，其前提條件是必須或能確定函數(shù)f(x)的類(lèi)型，否則，解出的結(jié)果不能保證其完備性.如上例若不限制f(x)是一次的，要從f[f(x)]= x中求出f(x)是相當(dāng)困難的.如f(x) =(c∈R，c≠0)也是函數(shù)方程f[f(x)] = x的解，事實(shí)上它的解有無(wú)窮多個(gè).

5. 解方程組法

例6 已知af(x) + bf= cx (3)

(其中a，b，c為非零的任意常數(shù)且a2 - b2 ≠ 0)，求f(x).

分析 函數(shù)方程(3)中的未知函數(shù)f(x)和f 不能用x的同一個(gè)解析式表達(dá)出來(lái)，若把它們看作是方程中的兩個(gè)未知元，就必須設(shè)法消去一個(gè)才能解出另一個(gè).解 分別以t和 代替函數(shù)方程(3)的x，得

af(t) + bf = ct (4)

af+ bf(t) = ct(5)

將(4)式和(5)式看做關(guān)于未知元f(t)和f 的二元一次方程組，即可求解.

由(4) × a - (5) × b，得

(a2 - b2)f(t) = cat -(a2 - b2 ≠ 0)，

所以f(t) =，

從而f(x) =.

注 將函數(shù)方程中的未知函數(shù)看做普通方程中的未知元，通過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸冃位蜃兞看鷵Q，求出未知元.該方法與解普通方程類(lèi)似.

6. 遞推法

設(shè)f(x)是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)，f(1) = a(確定常數(shù))，如果存在一個(gè)遞歸(或遞推)關(guān)系S，當(dāng)知道了前面k項(xiàng)的值f(n + 1)，n = 1，2，…，k由S可唯一確定f(n + k + 1) 的值，那么稱f(x)為k階遞歸函數(shù).遞歸(或遞推)是解決函數(shù)方程的一種重要方法.

6.1 遞推求和法

例7 函數(shù)f(x)定義在自然數(shù)集N上，且對(duì)任意m，n∈N，都滿足f(m + n) = f(m) + f(n)， f(1) = 1，求f(x).

解 令m = 1，得f(n + 1) = f(n) + f(1).

在上式中，依次令n = 1，2，…，n - 1，有

f(2) = f(1) + 1，

f(3) = f(2) + 1，

…

f(n) = f(n - 1) + 1.

以上n 個(gè)式子相加，得f(n) = n(n∈N)，

即f(x) = x(x∈N).

6.2 遞推求積法

例8 已知函數(shù)f(n)，n∈N，滿足f(1) = 1且f(n) = 3nf(n - 1)，n ≥ 2，求f(n).

解 在函數(shù)方程f(n) = 3nf(n - 1)(n ≥ 2)中分別以2，3，4，…，n代替n得n - 1個(gè)等式

f(2) = 32f(1)，

f(3) = 33f(2)，

f(4) = 34f(3)，

……

f(n) = 3nf(n - 1)，

把上面 n - 1個(gè)等式相乘并化簡(jiǎn)得:

f(n) = 32+3+4+…+n f(1).

又f(1) = 1，故有

f(n) = 3 (n∈N).

注 遞推法應(yīng)用于函數(shù)f(x)定義在自然數(shù)集N上且存在一個(gè)遞歸(或遞推)關(guān)系.

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注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”