【摘要】 當用換元法求不定積分時，積分結(jié)果的對錯用一般方法很難判斷，本文給出了一種有效的驗證積分結(jié)果的方法.

【關(guān)鍵詞】換元法 不定積分 導(dǎo)數(shù)

１. 問題的提出

我們知道要檢驗不定積分結(jié)果是否正確，只需要對其結(jié)果求導(dǎo)，看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)，相等則結(jié)果是正確的，否則結(jié)果錯誤. 例如： x2dx = + c，對積分結(jié)果+ c求導(dǎo)得x2，正好是被積函數(shù)，所以積分結(jié)果+ c正確．

但是當我們用換元法求不定積分時，對所求積分結(jié)果再求導(dǎo)后，形式往往很復(fù)雜，難以判斷是否與被積函數(shù)相等，本文將給出一種有效的方法來驗證積分結(jié)果的對錯.

例如：利用換元法，求得

＝（１．１）

（x + 1）- 2（x + 1） ＋ 4（x + 1） - 4ln（1+ ） + c（１．２）

其中ｃ為任意常數(shù). 將（１．２）式對x求導(dǎo)得：

- + -（１．３）

而（１．３）的形式較復(fù)雜，是否與（１．１）的被積函數(shù) （１．４） 相等較難判斷.

這時候，我們可以賦予x以 特殊值來驗證：令 x ＝ ０，（１．３）式的值是 ，（１．４）式的值也是 ，據(jù)此，我們可以認為（１．３）式與（１．４）式相等，積分結(jié)果（１．２）式正確.

值得注意的是，當我們令 x ＝ －１時，（１．３）式無意義，而（１．４）式的值為１，顯然（１．３）式與（１．４）式不相等. 而我們知道積分結(jié)果（１．３）式是正確的，那么為什么當 x ＝ －１時（１．３）式與（１．４）式不相等呢？

２. 解決方法

下面我們用換元法求不定積分.

解 令u =，則x = u4 - 1，dx = 4u3du， 于是

= .

而==- =

- =

４（ｕ２ － ｕ ＋ １） －. （２．１）

由（２．１）式得 =u3 - 2u3 + 4u - 4ln|1 + u | + c，其中ｃ為任意常數(shù).

將u =代回，便得

＝（x + 1）- 2（x + 1） ＋ 4（x + 1） - 4ln 1 + （1 + x）＋ c. 將上式求導(dǎo)便得（１．３）.

此時考查一下（１．３）中的x的取值范圍為x ＞ -1，而（１．１）中x的取值范圍為x ≥ -1，我們發(fā)現(xiàn)，在求導(dǎo)過程中x的取值范圍縮小了. 所以，我們不應(yīng)賦以x值－１.

結(jié)論 對積分結(jié)果求導(dǎo)時，可能導(dǎo)致自變量范圍縮小，用賦值法檢驗積分結(jié)果時，賦以自變量的值應(yīng)使得積分結(jié)果的導(dǎo)數(shù)有意義.

３. 應(yīng)用舉例

例１ 用換元法求不定積分 （３．１）并驗證其積分結(jié)果.

解 令u =，則x = u3 - 2，dx = 3u2du ，于是

= .

用u =代回，便得所求積分：

=（x + 2）- 6（x + 2） + 12ln 2 + （x + 2）＋ c.（３．２）

其中ｃ為任意常數(shù). 對（３．２）式求導(dǎo)得

- +（３．３）

由于x ＝ －２時（３．３）無意義，故不能賦x為－２. 令x ＝ ６時，（３．１）中的被積函數(shù)值為 ，（３．３）的值為 ，因而我們可以認為積分結(jié)果（３．２）是正確的.

例２ 求不定積分. （３．４）

解 令x + 1 = t6，則dx = 6t5dt，原式＝ 6dt，而=＝ -ｔ６ + ｔ4 - ｔ2 + 1-+t3 - t +.

故原式 ＝ - ｔ7 +ｔ5 -2t3 +6t - 6arctan t + t4-3t2 + 3ln（１ ＋ ｔ２） + c. （３．５）

其中ｃ為任意常數(shù). 用x + 1 = t6代入（３．５）式得

原式＝ - （x + 1）+（x + 1）-2（x + 1） +6（x + 1）- 6arctan（x + 1） +（x + 1） -3（x + 1） + 3ln1 + （x + 2）＋ c. （３．６）

（３．６）式右端對ｘ求導(dǎo)得-（x + 1）+ （x + 1） -（x + 1）+ （x + 1）- + （x + 1） -（x + 1）+，（３．７）

由于x ＝ －１時，（３．７）式無意義，故不能賦予x為－１. 令x ＝ ６３時，（３．４）式中的被積函數(shù)值為- ，（３．７）式值也是- . 因而我們可以認為積分結(jié)果（３．２）是正確的.

【參考文獻】

［１］ 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［Ｍ］.北京：高等教育出版社，２００２．

［２］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［Ｍ］.北京：高等教育出版社，１９９１．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”