等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角形，它的邊、角的特殊性在處理許多幾何問題中起著很重要的作用，正是因?yàn)榈妊切蔚奶厥庑?，所以在具體處理問題時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的漏解問題，因此，同學(xué)們在求解有關(guān)等腰三角形的問題時(shí)一定要注意對(duì)等腰三角形的分類討論，不能大意．現(xiàn)就同學(xué)們的常見漏解剖析如下.

一、求角度時(shí)出現(xiàn)的漏解

例１ 已知等腰三角形的一個(gè)角為７５°，則其頂角為 （）.

Ａ． 30°Ｂ． 75° Ｃ． １０５° Ｄ．３０°或75°

漏解１因?yàn)榈妊切蔚囊粋€(gè)角為75°，所以頂角為75°，故應(yīng)選Ｂ．

漏解２因?yàn)榈妊切蔚囊粋€(gè)角為75°，所以頂角為：180° - 75° × 2 = 30°，故應(yīng)選Ａ．

剖析對(duì)于一個(gè)等腰三角形，若條件中并沒有確定頂角或底角時(shí)，應(yīng)注意分情況討論，以確定這個(gè)已知角是頂角還是底角，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解．本例的錯(cuò)誤正是忽略了這一點(diǎn)．

正解因?yàn)榈妊切蔚囊粋€(gè)角是75°，所以這個(gè)角可能是頂角，也可能是底角．當(dāng)75°是等腰三角形的底角時(shí)，則頂角的度數(shù)為：180° - 75° × 2 = 30°；當(dāng)75°是等腰三角形的頂角時(shí)，則頂角的度數(shù)就等于75°． 所以這個(gè)等腰三角形的頂角為30°或75°．故應(yīng)選Ｄ．

二、求周長時(shí)出現(xiàn)的漏解

例２ 已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長等于＿＿＿＿＿＿＿．

漏解１因?yàn)榈妊切蔚囊贿叺扔?，另一邊等于6，所以它的周長等于5 + 5 + 6 ＝ 16 ，故應(yīng)填上16．

漏解２因?yàn)榈妊切蔚囊贿叺扔?，另一邊等于6， 所以它的周長等于5 + 6 + 6＝ 17，故應(yīng)填上17．

剖析對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪是底哪是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．

正解已知等腰三角形的一邊等于5另一邊等于6，并沒有指明5和6誰是腰長誰是底邊的長，因此，應(yīng)由三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類討論，即當(dāng)5是等腰三角形的腰長，那么這個(gè)等腰三角形的底邊長就是6，則此時(shí)的等腰三角形的周長等于16；當(dāng)6是等腰三角形的腰長，那么這個(gè)等腰三角形的底邊長就是5，則此時(shí)的等腰三角形的周長等于17．故這個(gè)等腰三角形的周長等于16或 17．

三、遇中線時(shí)出現(xiàn)的漏解

例３若等腰三角形一腰上的中線分周長為９ ｃｍ和１２ ｃｍ兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長．

漏解 因?yàn)榈妊切我谎系闹芯€分周長為９ ｃｍ和１２ ｃｍ兩部分，所以若設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長為ｘ （ｃｍ），底邊長為ｙ （ｃｍ），由題意得x +x = 9， x + y = 12. 則x = 6，y = 9. 即這個(gè)等腰三角形的腰長為６ ｃｍ，底邊為９ ｃｍ．

剖析 由于告訴一腰上的中線分周長為９ ｃｍ和１２ ｃｍ兩部分，并沒有指明哪一部分是多少．所以在具體求解時(shí)應(yīng)分情況討論．另外求出的解還必須接受三角形三邊關(guān)系定理的檢驗(yàn)．

正解 可以畫出如圖１，由于條件中中線分周長的兩部分，并沒有指明哪一部分是９ ｃｍ，哪一部分是１２ ｃｍ，因此，應(yīng)有兩種情形，若設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長為ｘ（ｃｍ），底邊長為ｙ （ｃｍ），由題意得x +x = 9， x + y = 12或 x +x = 12， x + y = 9.解之，得x = 6，y = 9 或x = 8，y = 5.

即當(dāng)腰長是６ ｃｍ，底邊長是９ ｃｍ；當(dāng)腰長是８ ｃｍ，底邊長是５ ｃｍ．

四、遇到高時(shí)出現(xiàn)的漏解

例４ 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為４５°，求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù).

漏解 如圖２，因?yàn)椋茫氖茄粒逻吷系母?，且∠ＡＣ?＝ ４５°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為４５°．

剖析 三角形高是由三角形的形狀所決定．對(duì)于等腰三角形，當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在形內(nèi)，當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，腰上的高在形外．所以應(yīng)分兩種情況討論．

正解 依題意可畫出如圖２和如圖３兩種情形，易求得如圖２所示中頂角為45°和如圖３中的頂角為13５°．

五、遇垂直平分線時(shí)出現(xiàn)的漏解

例５在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ＡＣ，ＡＢ的中垂線與ＡＣ所在直線相交所得的銳角為５０°，則底角∠Ｂ ＝＿＿＿＿＿＿＿．

漏解如圖４，依題意知∠ＡＤＥ ＝ ５0°，所以∠Ａ ＝ ４0°，則底角∠Ｂ ＝ ∠Ｃ ＝（180° - 40°） = 70° ．

剖析本題沒有提供圖，按照題意我們可畫出如圖４和如圖５所示的圖形，這里漏掉了如圖５的這種情況．

正解按照題意我們可畫出如圖４和如圖５所示．于是，如圖４，當(dāng)交點(diǎn)在腰ＡＣ上時(shí)，△ＡＢＣ是銳角三角形，此時(shí)可求得∠Ａ ＝ 40°，所以∠Ｂ ＝ ∠Ｃ＝（180° - 40°） = 70° ；如圖５，當(dāng)交點(diǎn)在腰ＣＡ的延長線上時(shí)，△ＡＢＣ為鈍角三角形，此時(shí)可求得∠ＢＡＣ ＝140°，所以∠Ｂ ＝ ∠Ｃ ＝（180° - 140°） = 20°． 故這個(gè)等腰三角形的底角為70°或20°．

總之，對(duì)于等腰三角形問題一定要注意分類討論，望用心體會(huì).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>