對數(shù)學(xué)教學(xué)者和學(xué)習(xí)者而言，教學(xué)者是從教材中提取知識元和思維方法而形成“題”，從而通過這些題的“解”向?qū)W生傳授知識體系和思維方法；而學(xué)生則是通過揭示和破解這些“題”來接受和理解知識元和認知結(jié)構(gòu)，通過“解”題促進自身數(shù)學(xué)思維的發(fā)展. 教學(xué)者要教會學(xué)生如何揭示“題”中知識元和破解“題”中的思維結(jié)構(gòu)，同時還要教會學(xué)生如何把教者的思維和自身的思維做到有效的整合，本文就這方面談些個人的看法，供同行們參考.

一、從知識元的表現(xiàn)方式的相近性中尋找關(guān)聯(lián)因素

一個題是由許多的知識元構(gòu)架而成的，而這些知識元在不同的題中表現(xiàn)的方式和對題中的思維結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響也各不相同，教師的職責(zé)就是引導(dǎo)學(xué)生認知同一個知識元在不同題中的體現(xiàn)方式和對這個題的解答所產(chǎn)生的影響，把握解題入口所指向的知識元體系，有效地做到教師的思維和自身思維的整合.

例１ 已知方程ｘ２ － ２ａｘ ＋ ａ ＋ ２ ＝ ０的一個根在（０，１）之間，另一個根在（１，２）之間，求ａ 的取值范圍.

例２ 已知函數(shù)ｆ（ｘ） ＝ ｘ（ｘ － ａ）（ｘ － ｂ），其中０ ＜ ａ ＜ ｂ.

設(shè)ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｓ 及ｘ ＝ ｔ處取到極值，其中ｓ ＜ ｔ，求證：０ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ.

在例１中方程的根的表現(xiàn)方式是區(qū)間形式，其關(guān)聯(lián)因素是二次函數(shù)圖形與ｘ軸的交點，其關(guān)聯(lián)因式是

ｆ（０） ＞ ０， ｆ（１） ＜ ０， ｆ（２） ＞ ０.

在例２中ｆ（ｘ）的極值點與方程ｆ ′（ｘ） = 0的根相關(guān)聯(lián)，其表現(xiàn)方式是不等式０ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 也與函數(shù)ｆ′（ｘ） 圖形與ｘ軸的交點關(guān)聯(lián)，其關(guān)聯(lián)因式為

ｆ（０） ＞ ０， ｆ（ａ） ＜ ０， ｆ（ｂ） ＞ ０．

雖然例１和例２中的關(guān)聯(lián)因式相類似，但是在處理例２的時候?qū)W生就感到困難，出現(xiàn)思維障礙，在例１中知識元“根”在題設(shè)中是顯性的，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，并且也容易找到其關(guān)聯(lián)因式，而在例２中知識元“根”是隱性的，學(xué)生不容易與二次函數(shù)圖像與ｘ 軸的交點產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，所以不易找到其關(guān)聯(lián)因式來表現(xiàn)“題”設(shè)中的知識元而造成思維受阻.

在分析題設(shè)時，學(xué)生往往因為對“題”中的知識元的表現(xiàn)方式認識不清或?qū)Α邦}”中知識元相關(guān)量（式）的關(guān)聯(lián)程度認識不足而導(dǎo)致思維受阻. 在不同的數(shù)學(xué)問題中，一個知識元的表現(xiàn)方式各不相同，但其關(guān)聯(lián)因素都是相同或相似的，所以在教學(xué)中要重視知識元在各個領(lǐng)域中表現(xiàn)方式，通過一些數(shù)學(xué)思想方法（如方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合等）展現(xiàn)這個知識元的關(guān)聯(lián)因式，并通過這些關(guān)聯(lián)因式尋找解題的突破口.

二、從題設(shè)的條件等式中尋找相關(guān)因素

在解題過程經(jīng)常遇到對題意理解的偏差或有些數(shù)學(xué)知識抽象復(fù)雜很難找到其知識元的關(guān)聯(lián)因素，其主要原因是沒有弄清題設(shè)中給出條件的可操作性，一個題設(shè)的給出往往是分析求解結(jié)論的主要依據(jù)，所以無論給出的題設(shè)結(jié)構(gòu)是靜態(tài)的還是動態(tài)的，無論是等式、圖形還是語言，在題設(shè)中都一定程度地暗示著本題的求解思路，只要我們能揭示題設(shè)中隱含的條件和論證的依據(jù)，就不難發(fā)現(xiàn)其解題的突破口.

例３ 已知函數(shù)ｆ（ｘ）定義域為Ｒ，對任意的實數(shù)ｍ，ｎ都有ｆ（ｍ ＋ ｎ） ＝ ｆ（ｍ） ＋ ｆ（ｎ） ＋，且ｆ＝ ０，當(dāng)ｘ ＞時，ｆ（ｘ） ＞ ０.

（１） 求和ｆ（１） ＋ ｆ（２） ＋ … ＋ ｆ（ｎ）.

（２） 判斷函數(shù)ｆ（ｘ）的單調(diào)性并證明.

在（１）中要求和ｆ（１） ＋ ｆ（２）＋ … ＋ ｆ（ｎ）就要尋找其關(guān)聯(lián)因素“數(shù)列”，不難推出其關(guān)聯(lián)因式是“通項”，再觀察題設(shè)中給出的等式就易發(fā)現(xiàn) ｆ（ｎ ＋ １） ＝ ｆ（ｎ） ＋ ｆ（１） ＋.

在（２）的分析過程中要證明ｆ（ｘ）的單調(diào)性，與單調(diào)性相關(guān)聯(lián)的因素有：定義（不等式）、復(fù)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等，在題設(shè)中不難發(fā)現(xiàn)“當(dāng)x ＞時，ｆ（ｘ） ＞ 0”是求解本題的主要依據(jù)，所以在解題中根據(jù)單調(diào)性定義可設(shè)“ｘ1 ＜ ｘ２ ，ｆ（ｘ２） － ｆ（ｘ１） ＝ …”那么ｆ（ｘ２） － ｆ（ｘ１） ＝ ｆ（ｘ２ － ｘ１ ＋ ｘ１）＝ ｆ（ｘ２ － ｘ１） ＝ ｆ（ｘ２ － ｘ１） ＋ ｆ（ｘ１） ＋ － ｆ（ｘ１） ＝ ｆ（ｘ２ － ｘ１） ＋ ｆ＋ ＝ ｆ（ｘ2 － ｘ１ ＋），因為“ｘ２ － ｘ１ ＋ ＞”從而湊出“當(dāng)ｘ ＞時，ｆ（ｘ） ＞ ０”的條件而獲得解答.

三、構(gòu)造與題設(shè)相近的相關(guān)因素

在題設(shè)的結(jié)構(gòu)中，有時直接去尋找其關(guān)聯(lián)因素較為困難，就必須從間接的角度尋找其關(guān)聯(lián)因素，一方面從題設(shè)給出的形式上思考，另一方面從題設(shè)給出的知識元所體現(xiàn)的含義上進行思考. 構(gòu)造出與題設(shè)中給出的知識元相近的新的知識元，從這個新的知識元出發(fā)尋找與求解結(jié)論相關(guān)聯(lián)的因素，從而找到解題的突破口.

例４ 設(shè)二次函數(shù)ｆ（ｘ） ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ＞ ０），方程ｆ（ｘ） － ｘ ＝ ０的兩根ｘ１ ，ｘ２滿足1 ＜ x1 ＜ x2 ＜.

（１） 當(dāng)ｘ∈（０，ｘ１）時，證明：ｘ ＜ ｆ（ｘ） ＜ ｘ１.

（２） 設(shè)函數(shù)ｆ（ｘ）的圖像關(guān)于直線ｘ ＝ ｘ０對稱，求證： x0 ＜.

在該題的分析過程中要想證明ｘ ＜ ｆ（ｘ） ＜ ｘ１，一方面可以直接尋找二次函數(shù)，通過二次方程的根來獲得證明；另一方面可以尋找與其相關(guān)聯(lián)的不等式“ｘ － ｆ（ｘ） ＜ ０”和“ｆ（ｘ） － ｘ１ ＞ ０”. 但由于ｘ和ｘ１ 是定量與變量的一種組合，所以很難直接利用題設(shè)中給出的二次函數(shù)ｆ（ｘ），必須重新構(gòu)造新的二次函數(shù)來解決. 那么如何構(gòu)造？構(gòu)造怎樣的二次函數(shù)就成了求解本題的突破口.

構(gòu)造１ Ｆ（ｘ） ＝ ｆ（ｘ） － ｘ ＝ ａ（ｘ － ｘ１）（ｘ － ｘ２）. 利用二次函數(shù)圖像由ｘ∈（０，ｘ１）得到Ｆ（ｘ） ＞ ０ → ｆ（ｘ） ＞ ｘ.

構(gòu)造２ ｘ１ － ｆ（ｘ） ＝ ｘ１ － ［ｘ＋Ｆ（ｘ）］ ＝ ｘ１ － ｘ ＋ ａ（ｘ１ － ｘ）（ｘ － ｘ２） ＝ （ｘ１ － ｘ）［１ ＋ ａ（ｘ － ｘ２）］.

∵ 0 ＜ x ＜ x1 ＜ x2 ＜，x1 - x ＞ 0，

∴ ｘ１ － ｆ（ｘ） ＞ ０，即ｆ（ｘ） ＜ ｘ１，

四、結(jié)論

一個題目的完整求解，關(guān)鍵是尋找該題的切入口，要尋找題中的突破口必須尋找題設(shè)中的條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)因素，關(guān)聯(lián)因素的尋找是體現(xiàn)教者與學(xué)者的思維的有機整合的過程，也是學(xué)生自身思維的靈活性和完整性的有效檢驗過程.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>