a 同角三角函數(shù)值的基本關(guān)系式是整個(gè)三角函數(shù)這章的重點(diǎn)內(nèi)容之一，三個(gè)基本公式在三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)、證明中占據(jù)著十分重要的地位. 本文以典型例題來(lái)解析同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在求三角函數(shù)值中的運(yùn)用，供大家參考.

１. 已知正弦、余弦、正切中的一個(gè)三角函數(shù)值，求其余兩個(gè)三角函數(shù)值

例１ 已知ｓｉｎ α ＝ ｍ（－１ ≤ ｍ ≤ １），求ｔａｎ α，ｃｏｓ α.

解 （１） 當(dāng)－１ ＜ ｍ ＜ １且ｍ ≠ ０時(shí)，若α為第一、四象限角，則

ｃｏｓ α ＝＝ ；ｔａｎ α ＝= . 若α為第二、三象限角，則 cos α = - ＝ - ； tan α == .

（２） ｍ ＝ ０時(shí)，ｃｏｓ α ＝ ±１，ｔａｎ α ＝ ０；

ｍ ＝ ±１ 時(shí)，ｃｏｓ α ＝ ０，ｔａｎ α無(wú)意義.

點(diǎn)評(píng) 已知正弦、余弦、正切中的某個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，且角所在象限也沒(méi)有指定，這個(gè)角可能在四個(gè)象限內(nèi)（也可能在坐標(biāo)軸線上），這時(shí)不必按四個(gè)象限分別討論，只須將四個(gè)象限的三角函數(shù)值分成兩組去求.

２. 已知有關(guān)三角函數(shù)的一個(gè)表達(dá)式的值，求三角函數(shù)值

例２ 已知ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ - ，α是第二象限角，求ｃｏｓ α － ｓｉｎ α的值.

解 ∵ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝- ，

∴（cos α - sin α）2 = 1 - 2sin αcos α=.

又α是第二象限角，ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，

∴ cos α - sin α = - .

點(diǎn)評(píng) 從此例的解法中我們可以看到，對(duì)于ｓｉｎ α±ｃｏｓ α，ｓｉｎ αｃｏｓ α，它們之間可通過(guò)（cos α ± sin α）2 =1±2sin αcos α進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在求值時(shí)，要注意各表達(dá)式的符號(hào).

３. 方程與三角函數(shù)交匯時(shí)，求三角函數(shù)值

例３ 已知α∈（0，2π） ，ｓｉｎ α 與ｃｏｓ α是方程x2 - kx + k + 1 = 0的兩個(gè)實(shí)根，求ｋ的值.

解 由方程有兩個(gè)實(shí)根可得判別式Δ ＞ ０，

即k2 - 4k - 4k ＞ ０.

∴ ｋ ＞ 2＋ ２或ｋ ＜ ２ －2.

根據(jù)韋達(dá)定理知ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ ｋ①

ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ ｋ ＋ １ ②

①2 － ② × ２ 得1 = k2 - 2k - 2.解得ｋ ＝ ３或ｋ ＝ －１.

由前文知ｋ ＝ ３舍去，∴ ｋ ＝ １.

點(diǎn)評(píng) 此類問(wèn)題一定要注意靈活運(yùn)用公式sin2α + cos2α = 1解題，不要忽視方程存在實(shí)根的條件.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>