我們知道二次函數(shù)ｙ ＝ a（ｘ － ｈ）２ ＋ ｋ（ａ ≠ ０）.當(dāng)ｘ ＝ ｈ時(shí)，有最大（?。┲?ｙ ＝ ｋ，其實(shí)這是指二次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù). 在一些實(shí)際問題中，自變量的取值范圍往往不是全體實(shí)數(shù)，它的最值也不一定都在頂點(diǎn)位置，現(xiàn)舉幾例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

例１ 有長２４ ｍ的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為１０ ｍ）圍成中間有一道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬ＡＢ為ｘ，面積為ｙ，求花圃的最大面積.

解 由ＡＢ ＝ ｘ知ＢＣ ＝ ２４ － ３x（０ ＜ ２４ － ３ｘ ≤ １０，即≤ ｘ ＜ ８）.

當(dāng)ｘ ＞ ４時(shí)，ｙ隨ｘ的增大而減小，

∴ ｘ ＝ 時(shí)，ｙ有最大值ｙ ＝ －３（ － ４）２ ＋ ４８ ＝. 即花圃的最大面積為ｍ２.

例２ （杭州市競賽題）已知ｋ為實(shí)數(shù)，求方程ｘ２ － （ｋ － ２）ｘ ＋ （ｋ２ ＋ ３ｋ ＋ ５） ＝ ０兩實(shí)根平方和的最大值和最小值.

所以 －４ ≤ ｋ ≤ －.

此時(shí)拋物線頂點(diǎn)不在自變量的取值范圍內(nèi)，而當(dāng)ｋ ≥ －５時(shí)，ｙ隨ｋ的增大而減小.

∴當(dāng)ｋ ＝ －４時(shí)，ｙ有最大值 －（－４ ＋ ５）２ ＋ １９ ＝ １８.

當(dāng)ｋ ＝ － 時(shí)，ｙ有最小值 －（－ ＋ ５）２ ＋ １９ ＝ .

∴原方程兩實(shí)根的平方和的最大值為１８，最小值為 .

例３ 如圖２，已知長、寬分別為ａ，ｂ（ａ＞ｂ）的矩形ＡＢＣＤ中，截得?荀ＨＥＦＧ，使得ＡＥ＝ＡＨ＝ＣＦ＝ＣＧ，求?荀ＥＦＧＨ面積的最大值.

解 設(shè)ＡＨ ＝ x，?荀ＨＥＦＧ的面積為ｙ，則

y ＝ ａｂ － ２ ×#8226;x － ２ －（ａ － ｘ）（ｂ － ｘ） ＝ －２ｘ２ ＋ （ａ ＋ ｂ）ｘ＝

ｂ ＜ ａ ＜ ３ｂ（拋物線頂點(diǎn)在自變量取值范圍內(nèi)如圖３）

x ＝時(shí)，ｙ的最大值為 .

（２）若≥ ｂ，即ａ ＞ ３ｂ. （拋物線的頂點(diǎn)不在自變量的取值范圍內(nèi)，如圖４）

當(dāng)ｘ ≤時(shí)，ｙ隨ｘ的增

大而增大，ｘ ＝ ｂ時(shí)有最大值ａｂ － ｂ２.

綜上所述，若ｂ ＜ ａ ≤ ３ｂ，當(dāng)ｘ ＝時(shí)，平行四邊形ＥＦＧＨ的最大面積為 ，若ａ ＞ ３ｂ，當(dāng)ｘ ＝ ｂ時(shí)，平行四邊形ＥＦＧＨ的最大面積為ａｂ － ｂ２.

從以上幾例可知，對于一些實(shí)際問題，其自變量的取值范圍不一定是全體實(shí)數(shù)，用二次函數(shù)求最值時(shí)，我們首先確定自變量取值范圍，并判定其頂點(diǎn)是否在自變量的取值范圍內(nèi)，若在，其最大值或最小值就是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)；若不在，則應(yīng)根據(jù)二次函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的增減性來確定其最大值或最小值，千萬不可盲目使用頂點(diǎn)公式求最值.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>