決定二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題的主要因素是二次函數(shù)圖像的開口方向#65380;所給區(qū)間及對稱軸位置. 在這三大因素中最易確定的是開口方向，而所給區(qū)間和對稱軸位置的討論是解決問題的關(guān)鍵.下面就所給區(qū)間和對稱軸的相互關(guān)系進行討論.

1. 所給區(qū)間確定，對稱軸位置也確定

若所給區(qū)間確定，其對稱軸位置也確定，則只要先考慮其對稱軸橫坐標是否在給定區(qū)間內(nèi)，當(dāng)對稱軸橫坐標在給定區(qū)間內(nèi)時，其一個最值在頂點取得，另一個最值在與頂點橫坐標距離較遠的端點取得;當(dāng)對稱軸橫坐標不在給定區(qū)間時，可利用函數(shù)單調(diào)性確定其最值.

例1 已知:y = x2 - 2x + 3，當(dāng)x∈[-3，2]時，求函數(shù)的最大值和最小值.

解 ∵函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為x = 1∈[-3，2]，∴當(dāng)x = -3時，f(x)取得最大值，最大值為f(-3)= 18;當(dāng)x = 1時， f(x)取得最小值，最小值為f(1) = 2. 例2 已知函數(shù)f(x) = ，若對任意x∈[1，∞)，f(x) > 0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解 在區(qū)間[1，∞)上， f(x) = > 0恒成立等價于x2 + 2x + a > 0恒成立.

設(shè)y =x2 + 2x + a，x∈[1，∞)，其圖像的對稱軸x = -1?埸[1，∞). ∵函數(shù)y = x2 + 2x + a在x∈[1，∞)上單調(diào)遞增，∴ ymin = f(1) = 3 + a.

當(dāng)且僅當(dāng)ymin = 3 + a > 0時，f(x) > 0恒成立.

解得a的取值范圍是(-3，∞).

2. 所給區(qū)間變化，對稱軸位置確定

若所給區(qū)間變化，而對稱軸位置確定，則對于區(qū)間變化時，是否包含對稱軸的橫坐標必須進行分類討論，其分類標準為:變化區(qū)間中包含對稱軸的橫坐標;變化區(qū)間中不包含對稱軸的橫坐標.

例3 求函數(shù)f(x) = x2 + 2x + 1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值g(t)的解析式.

解 ∵ f(x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ，x∈[t，t+1]，圖像的開口向上，對稱軸為x = -1.

當(dāng)對稱軸在區(qū)間[t，t + 1]右側(cè)時，t + 1 ≤ -1，即t ≤ -2時， g(t) = f(x)min = f(t + 1) = (t + 2)2.

當(dāng)對稱軸在區(qū)間[t，t + 1]內(nèi)時，t < -1 < t + 1. 即-2 < t <-1時，g(t) = f(x)min= f(-1) = 0.

當(dāng)對稱軸在區(qū)間[t，t + 1]左側(cè)時，t ≥ -1，g(t)=f(x)min = f(t) = (t + 1)2.

綜上: g(t)= (t + 2)2 (t ≤ -2)，0 (-2 < t < -1)， (t + 1)2 (t ≥ -1).

3. 所給區(qū)間確定，對稱軸位置變化

若所給區(qū)間確定，但對稱軸位置是變化的，則對于對稱軸位置變化情況必須進行分類討論:對稱軸橫坐標在給定區(qū)間內(nèi)變化;對稱軸橫坐標在給定區(qū)間外變化. 若對稱軸橫坐標只能在給定區(qū)間內(nèi)變化，則只需考慮其與端點的距離.

例4 設(shè)函數(shù)f(x) = -x2 + 2ax + 1 - a在區(qū)間[0，1]上有最大值2，求實數(shù)a的值.

分析 題中拋物線開口向下，但是由于對稱軸x = a中含參數(shù)a，要對a進行討論，分對稱軸在區(qū)間[0，1]內(nèi)#65380;左#65380;右三種情況求a的值.

解 ∵ f(x) = -(x - a)2 + a2 - a + 1，

① 當(dāng)0 ≤ a ≤ 1時，f(x)max = f(a) = a2 - a + 1 = 2 . 解得 a =?埸[0，1]， ∴舍去.

② 當(dāng)a < 0時，f(x)在[0，1]上遞減，∴ f(x)max = f(0) = 1 - a = 2，∴ a = -1.

當(dāng)a ﹥ 1時，f(x)在[0，1]上遞增，

∴ f(x)max = f(1) = 2a - a = 2 ，∴ a = 2.

綜上得a = -1或a = 2.

4. 所給區(qū)間變化，對稱軸位置也變化

若所給區(qū)間是變化的，而且對稱軸位置也在變化，由于它們的變化是相互制約的，故必須對它們的制約關(guān)系(含參量)進行討論:對稱軸橫坐標在所給區(qū)間內(nèi);對稱軸橫坐標不在所給區(qū)間內(nèi).

例5 函數(shù)f(x) = -x2 + (a - 1)x + a在區(qū)間[1，a)上的最大值為1，求a的值.

解 ∵圖像開口向下，對稱軸為x = .

當(dāng) ≤ 1，即1 ﹤ a ≤ 3時，f(x)max = f(1) = 2a - 2 = 1，∴ a =∈(1，3].

當(dāng)1﹤﹤a，即a﹥3時，f(x)max = f( )= = 1，得a = 1 或a = -3，都不滿足a﹥3.

∴都舍去.

當(dāng) ≥ a時， a≤-1與a ﹥ 1矛盾，即對稱軸不可能在x = a的右側(cè).

綜上a = .

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”