a在新課標下，現(xiàn)行高中教材中增加了導(dǎo)數(shù)的初步知識. 自此，又有許多以高等數(shù)學(xué)為背景的試題出現(xiàn)在了高中生的面前. 而這類試題對能力要求較高，很多地方要用到高等數(shù)學(xué)思想，如果老師在上導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容時適當?shù)亟榻B一些高等數(shù)學(xué)知識，會讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的連續(xù)性和魅力，同時對解決這類問題也是大有裨益的. 本文主要是運用構(gòu)造函數(shù)的基本思想，通過例題分析拉格朗日中值定理在求解關(guān)于函數(shù)、不等式等問題中的巧妙應(yīng)用.

一、定理與推論

拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)ｆ（ｘ）滿足如下條件：

（１） ｆ（ｘ）在閉區(qū)間［ａ，ｂ］上連續(xù)；

（２） ｆ（ｘ）在開區(qū)間（ａ，ｂ）內(nèi)可導(dǎo)，則在（ａ，ｂ）內(nèi)至少存在一點ξ，使得 = ｆ（ξ），其中b ＞ a．

推論１ 若在（ａ，ｂ）內(nèi)， ｆ（ｘ） ≡ 0，則在（ａ，ｂ）內(nèi)f（ｘ）為一常數(shù).

推論２ 若在（ａ，ｂ）內(nèi)， ｆ′（ｘ） = ｇ′（ｘ），則在（ａ，ｂ）內(nèi)ｆ（ｘ） = ｇ（ｘ） + c（ｃ為常數(shù)）．

二、應(yīng)用舉例

以下從應(yīng)用的角度說明在解題中如何運用拉格朗日中值定理及其推論．

１. 運用拉格朗日中值定理證明不等式

例１ 試證當x∈［1，+∞）時，ln1 +x ≥ ln2 ．

分析與說明 這類題原本在高等數(shù)學(xué)中是常見題型，求解這類題的通常思路是先將一邊移到另一邊，構(gòu)造一個函數(shù)，然后對它求導(dǎo)． 近些年來，這類題倍受高考命題者青睞．

證明 令ｆ（ｘ） = ln1 +x - ln2，對函數(shù)ｆ（ｘ）求導(dǎo)，得

ｆ′（ｘ） = xln1 +′ =

［ｌｎ（１ ＋ ｘ） － ｌｎ ｘ］－ .

令函數(shù)ｇ（ｔ） = ｌｎ（ｔ），則ｇ（ｔ）在［ｘ，ｘ + 1］上滿足拉格朗日中值定理，于是對ln（1 + x） - ln x應(yīng)用拉格朗日中值定理得到

ln（1 + x）-ln x = ξ∈（ｘ，ｘ + 1），

所以有f′（x） = - ＞ 0 （x ＞ 0 ），

因此，由上面的結(jié)論推出ｆ（ｘ）在ｘ∈［1，+∞）上單調(diào)遞增，所以ｆ（ｘ）≥ｆ（１），即ln1 +x -ln2 ≥ ｆ（１） = 0 ?圯 ln1 +x ≥ ln2.

２． 運用拉格朗日中值定理證明恒等式

例２ 若x ≥ 1，求證：arctan x +arccos=.

分析 在三角函數(shù)部分解題中見到過這種題型，應(yīng)用公式tan（α ± β） =，解得tan（α ± β） = 1， α ± β的值可能為． 但此種解法較繁瑣，在這里用推論１證明．

證明 設(shè)ｆ（ｘ）=arctan x +arccos - ，則 ｆ′（ｘ）≡0，即f（ｘ） = c （ｃ為常數(shù)）.

又因為ｆ（１）=arctan1-arccos1 - = 0，

所以c = 0，故ｆ（ｘ） = 0，

即arctan x +arccos=．

３. 運用拉格朗日中值定理求極限

例３ 求 （cos -cos ）.

分析觀察函數(shù)特征容易想到：若令ｆ（ｔ）=cos ，則ｆ（ｔ）在［ｘ，ｘ + 1］（x ≥ ０）上顯然滿足拉格朗日中值定理的條件．

解 令ｆ（ｔ）=cos ，顯然ｆ（ｔ）在［ｘ，ｘ + 1］（x ≥０）上滿足拉格朗日中值定理，得cos -cos =（-sin ξ） ，其中x ＜ ξ ＜ x + 1，

所以 （cos -cos ） ＝

（－ｓｉｎ ξ）＝ ０.

4．運用拉格朗日中值定理證明方程根的存在唯一性

例４ 設(shè)ｆ（ｘ）在[0，1]上可導(dǎo)，且0 ＜ ｆ（ｘ） ＜ 1，又對于（０，１）內(nèi)的所有點x有ｆ′（ｘ）≠-1，證明方程ｆ（ｘ） + x - 1 = 0在（０，１）內(nèi)有唯一實根．

分析 證明方程根的存在性就有可能用到介值定理. 在用介值定理證明問題時，選取合適的輔助函數(shù)可收到事半功倍的效果. 而在證明唯一性的時候較常用的方法就是反證法，所以本題證明思路就是先證存在性，再證唯一性．

證明 先證存在性．令?準（ｘ） = ｆ（ｘ） + x - 1，則?準（ｘ）在［０，１］上可導(dǎo)．

因為0 ＜ ｆ（ｘ） ＜ 1．

所以?準（0） = f（0） - 1 ＜ 0，?準（1） = f（１）＞0.

由介值定理知?準（x）在 （0，1）內(nèi)至少有一個零點，即方程ｆ（ｘ） + x - 1 = 0在（０，１）內(nèi)至少有一個實根．

再證唯一性（反證法）． 設(shè)方程ｆ（ｘ） + x - 1 = 0在 （0，1）內(nèi)有兩個實根x1，x2，不妨設(shè)0 ＜ x1 ＜ x2 ＜ 1有f（ｘ１）=1 - x1，ｆ（ｘ２） = 1 - x2，對ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘ2］上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有ξ∈（x1，x2），使

f′（ξ） ＝ = = -1 .

這與題設(shè)f′（x）≠-1矛盾，唯一性得證．

拉格朗日中值定理在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，遠不止以上這些，如利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些性質(zhì)、描繪函數(shù)的圖像、解決極值、最值等問題非常簡捷，在此就不一一列舉了.

【參考文獻】

［１］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．數(shù)學(xué)分析（第三版 下冊）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１.

［２］ 賈俊芳．拉格朗日中值定理的應(yīng)用．雁北師范學(xué)院學(xué)報［Ｊ］．２００４．（５）：２５－２８.

［３］ 李艷敏，葉伯英．關(guān)于微分中值定理的兩點思考，高等數(shù)學(xué)研究［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>