【摘要】 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，它融合在數(shù)學(xué)知識(shí)和方法中. “思想指導(dǎo)方法，方法升華為思想”是馬列主義哲學(xué)理論的基本觀點(diǎn). 本文主要探討高職數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的主要數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】 高職數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)分析

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法是高職數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn). 對(duì)于高職數(shù)學(xué)教育工作者，就是通過教學(xué)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法. 從實(shí)際情況出發(fā)，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)主要從以下幾方面進(jìn)行.

一、函數(shù)思想

“用函數(shù)來(lái)思考”是大數(shù)學(xué)家克萊因領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)的口號(hào)．函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念，也是數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象. 函數(shù)的思想，就是運(yùn)用函數(shù)的方法，將常量視為變量，化靜為動(dòng)，化離散為連續(xù)，將所討論的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題并加以解決的一種思想方法. 下面用實(shí)例具體分析函數(shù)思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用.

例１ 已知x ＞ 1，證明：2＞ 3 -.

證明 作函數(shù)ｆ（ｘ） = 2- 3 +，則ｆ′（ｘ） ＝ －．

由x ＞ 1知，ｆ′（ｘ） ＞ ０，所以ｆ（ｘ）單調(diào)遞增，故對(duì)x ＞ 1有ｆ（ｘ） ＞ ｆ（１） ＝ 0.

得2- 3 + ＞ 0，即2＞ 3 -.

我們?cè)谧C明不等式時(shí)，可以將不等式問題化為函數(shù)問題，為解決問題帶來(lái)方便.

二、極限思想

極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)，以極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科. 極限的思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處. 數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問題，正是由于它采用了極限的思想方法.

有時(shí)我們要確定某一個(gè)量，首先確定的不是這個(gè)量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個(gè)而是一連串近似值的趨向，把那個(gè)量的準(zhǔn)確值確定下來(lái). 這就是運(yùn)用了極限的思想方法.

例２ 曲邊梯形是由非負(fù)連續(xù)曲線ｙ ＝ ｆ（ｘ）（ａ ≤ ｘ ≤ ｂ）以及ｘ軸、直線ｘ ＝ ａ與ｘ ＝ ｂ所圍成，求此曲邊梯形的面積.

解題思路 （１） 將曲邊梯形分成ｎ個(gè)小曲邊梯形．

（２） 當(dāng)ｎ很大時(shí)，且當(dāng)所有的Δｘｉ（ｉ ＝ １，２，…，ｎ）都很小時(shí)，每個(gè)（1）中的曲邊梯形都可看成小矩形． 第ｋ個(gè)小曲邊梯形面積ΔSｋ ≈ ｆ（ξｋ）．Δｘｋ（ｋ ＝ １，２，…，ｎ）其中ｘｋ － １ ≤ ξｋ ≤ ｘｋ． 此時(shí)Ｓ ＝ΔＳｋ ≈ｆ（ξｋ）Δｘｋ ．

（３） 當(dāng)ｎ無(wú)限增大時(shí)，即當(dāng)｜｜ λ ｜｜ ＝ ｍａｘ｛Δｘ１，Δｘ２，…，Δｘｎ｝無(wú)限趨近于０時(shí)， ｆ（ξｋ）Δｘｋ就無(wú)限地趨近于曲邊梯形的面積Ｓ，故Ｓ ＝ ｆ（ξｋ）Δｘｋ．

三、連續(xù)的思想

數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象是函數(shù)，主要是連續(xù)函數(shù)，因此數(shù)學(xué)分析中的許多問題都是與連續(xù)有關(guān)的. 求函數(shù)的極限問題是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，如果給定的函數(shù)是連續(xù)的，我們應(yīng)用連續(xù)函數(shù)求極限的法則，就可以把求極限的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問題，從而大大簡(jiǎn)化了求極限的過程.

例３ 求［ｌｎ（ｓｉｎ ｘ）］.

解 因?yàn)閤 =是給定的初等函數(shù)定義域內(nèi)的一點(diǎn)，所以根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性，有

［ｌｎ（ｓｉｎ ｘ）］=lnsin= 0.

四、導(dǎo)數(shù)的思想

文藝復(fù)興以后的歐洲，資本主義逐漸發(fā)展，采礦冶煉、機(jī)器發(fā)明、商業(yè)交往等大量實(shí)際問題，給數(shù)學(xué)提出了前所未有的亟待解決的新課題. 其中有兩類問題導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生：一是求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，二是求曲線上一點(diǎn)處的切線. 這兩個(gè)問題的實(shí)際意義完全不同，一個(gè)是物理學(xué)中的瞬時(shí)速度，一個(gè)是幾何學(xué)中的切線斜率，但從數(shù)量關(guān)系來(lái)看，它們有著完全相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——函數(shù)的改變量與自變量改變量之比的極限，可歸為同一類數(shù)學(xué)運(yùn)算. 即如果用函數(shù)來(lái)表示某一現(xiàn)象的變化規(guī)律，則這一類型的數(shù)學(xué)運(yùn)算是：

（1） 在x0處給自變量一個(gè)改變量Δｘ ≠ ０得到相應(yīng)函數(shù)的改變量Δｙ ＝ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ） － ｆ（ｘ０）；

（２） 寫出比值 ；

（３） 求出極限 ＝.

導(dǎo)數(shù)思想的應(yīng)用主要表現(xiàn)在微分中值定理的應(yīng)用及在研究函數(shù)的性態(tài)中的應(yīng)用.

微分中值定理反映了導(dǎo)數(shù)更深刻的性質(zhì)，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ). 微分中值定理包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理. 微分中值定理的作用是聯(lián)系函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的紐帶，是建立函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的橋梁. 羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理將函數(shù)與其一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行聯(lián)系；泰勒中值定理將函數(shù)與其高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行聯(lián)系. 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在討論函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值與最值，討論函數(shù)的凹凸性，求函數(shù)的拐點(diǎn)，求函數(shù)的漸近線，描繪函數(shù)的圖像．

五、微分的思想

為求物體運(yùn)動(dòng)的速度、變量變化的極值以及曲線的切線等問題，導(dǎo)致了微分思想的產(chǎn)生. 在微分思想的產(chǎn)生和發(fā)展過程中，伽利略的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，費(fèi)馬求切線、求極值的方法以及巴羅把“求切線”與“求積”問題作為互逆問題的聯(lián)系，都為微分思想奠定了基礎(chǔ). 有時(shí)我們需要計(jì)算函數(shù)ｙ ＝ ｆ（ｘ），當(dāng)自變量在ｘ０處有一個(gè)微小改變量Δｘ時(shí)，函數(shù)改變量Δｙ ＝ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ） － ｆ（ｘ０）的大小，但是Δｙ往往是Δｘ的一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)，要精確計(jì)算它是困難的，甚至是不可能的；并且我們?cè)诶碚撗芯亢蛯?shí)際應(yīng)用中，有時(shí)只需了解Δｙ的近似值就可以了. 數(shù)學(xué)家們把解決上述問題的出路放在將Δｙ ＝ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ） － ｆ（ｘ０）線性化，用Δｘ的線性函數(shù)來(lái)近似代替它，這就是引入微分的基本想法. 微分的幾何意義是函數(shù)ｙ ＝ ｆ（ ｘ）在ｘ０點(diǎn)的微分等于曲線ｙ ＝ ｆ（ｘ）在點(diǎn)（ｘ０，ｆ（ｘ０））處的切線縱坐標(biāo)的增量.

導(dǎo)數(shù)與微分是微分學(xué)中的兩個(gè)最基本的概念，它們之間的聯(lián)系與區(qū)別為：一方面，可導(dǎo)與可微是等價(jià)的. 另一方面，從它們的來(lái)源和結(jié)構(gòu)來(lái)看，導(dǎo)數(shù)作為有確定結(jié)構(gòu)的差商的極限，比微分的概念更為基礎(chǔ)；但又由于一個(gè)導(dǎo)數(shù)可以表示為兩個(gè)微分之商，因此在分析運(yùn)算中，微分表現(xiàn)出更大的靈活性與適應(yīng)性. 微分在近似計(jì)算上應(yīng)用較為廣泛.

六、積分的思想

為了解決求物體運(yùn)動(dòng)的路程、變力作功以及由直線圍成的面積和由曲面圍成的體積等問題，導(dǎo)致了積分的產(chǎn)生. 積分思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng). 古希臘德謨克利特的“數(shù)學(xué)原子論”、阿基米德的“窮竭法”、劉徽的“割圓術(shù)”都是積分思想的雛形，并且用這些方法求出了不少幾何形體的面積和體積；然而這些古代方法都建立在特殊的技巧之上. 不具有一般性，也不是以嚴(yán)密的理論為基礎(chǔ)的. 到１７世紀(jì)牛頓與萊布尼茲揭示了微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系——微積分基本定理，從而產(chǎn)生了微積分，使數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)跨入變量數(shù)學(xué)，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)發(fā)展的新紀(jì)元. 積分的應(yīng)用表現(xiàn)在用微元法來(lái)建立所求積分表達(dá)式，主要是在幾何和物理方面的應(yīng)用：求平面圖形的面積，求已知截面面積的立體的體積，求旋轉(zhuǎn)體的體積，求曲線的弧長(zhǎng)，求旋轉(zhuǎn)曲面的面積，求變力所做的功，等等.

例4 計(jì)算曲線y =x 上相應(yīng)于x從a到b的一段長(zhǎng)度.

解 y′ = x ，從而弧長(zhǎng)微元為：

dl = =dx =dx，

所求弧長(zhǎng)為：

七、級(jí)數(shù)的思想

級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，是研究函數(shù)的重要工具，級(jí)數(shù)是產(chǎn)生新函數(shù)的重要方法，同時(shí)又是對(duì)已知函數(shù)表示、逼近的有效方法，在近似計(jì)算中發(fā)揮著重要作用. 泰勒公式是用有限項(xiàng)的多項(xiàng)式近似表示函數(shù)，它對(duì)于研究函數(shù)的局部逼近和整體有著重要意義. 在此基礎(chǔ)上和一定條件下，我們可以用無(wú)窮多項(xiàng)的多項(xiàng)式來(lái)準(zhǔn)確地表示一個(gè)函數(shù)，這就是冪級(jí)數(shù)，利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，對(duì)研究函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算都有著非常重要的作用.

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>