《數(shù)學課程標準（實驗稿）》明確指出：數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗之上. 如果學生的認知基礎(chǔ)已經(jīng)達到課前就知道探究結(jié)論的程度，那么教師再來創(chuàng)設(shè)情景，按部就班地引導學生展開探究過程，推導探究結(jié)論，不僅調(diào)動不起學生的探究積極性，更不利于學生數(shù)學創(chuàng)新思維的培養(yǎng). 如何做到關(guān)注認知基礎(chǔ)與提升探究空間相結(jié)合呢？下面介紹兩個案例與大家共賞.

案例一 《圓周長公式推導》教學片段

師：今天我們一起來研究圓周長的知識，你們知道圓周長該怎樣計算嗎？

生：知道！知道！

生１：直徑的３．１４倍就是圓周長.

生２：正確地說是直徑的π倍，因為π是一個無限不循環(huán)的小數(shù)，為了計算方便才取近似值３．１４的.

生３：圓周長＝圓周率（π）×直徑.

師：同學們知道的可真多呀！那你們知道這個圓周長計算公式是怎樣研究得出的嗎？是不是所有的圓都可以用這樣的公式來計算周長呢？

（片刻的靜寂后，課堂活躍了，學生紛紛拿出自己帶來的各種圓形物品、直尺、細線等學具進行操作，驗證結(jié)論. ）

反饋 生１：通過操作，我知道圓周長的計算公式為什么是圓周率乘直徑了.

師：真的？（很驚喜）能具體說說你的推導過程嗎？

生1：我先測量出瓶蓋直徑為６．８厘米，然后用細線繞瓶蓋一周，在直尺上測量出這段細線長是２１．４厘米，這個２１．４厘米就是瓶蓋的周長，除以直徑６.８厘米，商是３．１４７，除去誤差，就可以看成周長是直徑的３．１４倍了.

師：（故意）你這個瓶蓋比較特殊吧？也許其他圓形物品直徑和周長之間就不存在這種關(guān)系？

生２：（迫不及待）生１的結(jié)論是完全正確的，我們小組每名同學都測量了一個圓形物品的周長和直徑，結(jié)果發(fā)現(xiàn)每一個圓的周長都是直徑的３．１４倍左右.

（“對！”所有的學生都應(yīng)和著. ）

生３：（頗為得意）老師，我覺得圓周長不一定非得用“圓周率×直徑”這個公式，（不少學生用很驚訝的眼神看著生３，當然也有一些學生舉手表示自己明白生３即將要說的意思. ）因為“直徑＝２×半徑”，所以，根據(jù)直徑與半徑的關(guān)系，我們可以推導出圓周長的另一個計算公式——“圓周率×２×半徑”.

評析 這樣的教學更多地關(guān)注了學生的認知基礎(chǔ)，教師一句“那你們知道這個圓周長計算公式是怎樣研究得出的嗎？是不是所有的圓都可以用這樣的公式來計算周長呢？”完全顛覆了教師“指令”學生按步探究的教學模式，代之以“用實驗驗證已知結(jié)論”的做法. 這樣的改變，在尊重學生認知基礎(chǔ)的同時，也為學生的探究活動和創(chuàng)新活動提供了更為廣闊的時空.

有些平面圖形周長或面積計算公式的推導過程，從不同的角度思考可以有不同的方法，書上介紹的、學生課前所知的往往只是其中的一種或兩種最基本、最常用的推導方法，課堂上教師鼓勵推導方式的多樣化是提高學生探究興趣，提升探究空間的最基本途徑之一.

案例二 《三角形面積公式推導》教學片段

師：今天我們一起來研究“三角形的面積”.

（還未板書課題，已有學生舉手. ）

師：××同學，你有什么意見嗎？

生１：老師，我知道三角形的面積計算公式是“底乘高除以２”.

（“是的，是的，我也知道.”有不少學生響應(yīng). ）

師：你們真了不起?。S即板書公式）那你們知道這個面積公式是怎么推導出來的嗎？

生２：（爭著發(fā)言）知道！

師：請你當回小老師.

生２：在黑板上畫上了面積公式的推導示意圖，并解釋說：兩個完全一樣的三角形（銳角三角形）可以拼成一個平行四邊形，平行四邊形的面積是“底×高”，三角形的面積就是“底×高÷２”.

師：你真是位優(yōu)秀的小老師！但還是有一些疑問需要同學們進一步探究：①兩個完全一樣的銳角三角形（指著生２畫的示意圖）拼成一個平行四邊形，可以推出銳角三角形的面積計算公式，那么，這個方法是否同樣適用于直角三角形和鈍角三角形呢？②兩個完全一樣的三角形難道非得拼成平行四邊形才能推導出它的面積計算公式嗎？拼成別的圖形來推導不行嗎？③在推導三角形的面積公式時，一定要兩個完全一樣的三角形嗎？請同學們自由選擇合作伙伴與探究主題，開始活動. 評析 一個個精彩、詳實、頗具創(chuàng)造性的課堂生成資源，得益于教師對學生認知基礎(chǔ)的尊重，得益于教師對學生探究心理的準確把握，更得益于教師為學生的探究活動和創(chuàng)新活動提供的足夠時間和空間.

總之，在“平面圖形的周長與面積”教學領(lǐng)域，學生的認知基礎(chǔ)往往會超出教師的預料，把學生當做“零起點”來設(shè)計教學顯然有背于教學規(guī)律，也有違于認知規(guī)律. 關(guān)注學生的認知基礎(chǔ)應(yīng)當成為教學設(shè)計的中心問題之一，它與培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新意識并不矛盾.我們的教學實踐證明，以驗證代替推導、鼓勵推導方式多樣化等是關(guān)注認知基礎(chǔ)，提升探究空間的有效途徑.