【摘要】 數(shù)學(xué)教育研究方法很多，案例研究法就是一門科學(xué)的、有效的、實(shí)用的方法. 通過案例分析，從個(gè)別到一般，透過現(xiàn)象看本質(zhì)來揭示某一側(cè)面的教學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)思想，以便從中推導(dǎo)出具有指導(dǎo)意義的原則或方法. 從廣義來說，數(shù)學(xué)教育活動中的每一件事件都可以寫成案例，但作為數(shù)學(xué)教育研究案例，還應(yīng)該具有一些其本身特有的特點(diǎn). 本文是由一道概率案例教學(xué)得到的一些啟示和感悟.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教育研究 案例教學(xué)

數(shù)學(xué)教育研究方法很多，案例研究法就是一門科學(xué)的、有效的、實(shí)用的方法. 正如醫(yī)學(xué)研究需要病例，法學(xué)研究需要法律案例一樣，數(shù)學(xué)教育研究同樣需要教學(xué)案例來支持.

數(shù)學(xué)教育研究的目標(biāo)是要提示數(shù)學(xué)教育的客觀規(guī)律，從而更好地指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育實(shí)踐. 案例研究是運(yùn)用典型引路，啟發(fā)研究者或?qū)W習(xí)者進(jìn)行創(chuàng)造性思考的研究. 通過案例分析，從個(gè)別到一般，透過現(xiàn)象看本質(zhì)來揭示某一側(cè)面的教學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)思想，以便從中推導(dǎo)出具有指導(dǎo)意義的原則或方法. 如果一個(gè)案例或幾個(gè)案例尚不足以揭示本質(zhì)性的規(guī)律，那么由“點(diǎn)”到“面”，長期積累最終會使研究者從中找出規(guī)律，推動數(shù)學(xué)教育的發(fā)展.

什么是“案例”？一般認(rèn)為，案例是對現(xiàn)實(shí)生活中某一具體現(xiàn)象的客觀描述. 數(shù)學(xué)教育案例是對數(shù)學(xué)教育活動中具有典型意義的、能夠反映數(shù)學(xué)教育某些內(nèi)在規(guī)律或某些教學(xué)思想、原理的具體教學(xué)事件的描述、總結(jié)、分析. 它通常是課堂內(nèi)真實(shí)的故事，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中遇到的困惑的真實(shí)記錄.

從廣義來說，數(shù)學(xué)教育活動中的每一件事件都可以寫成案例，但作為數(shù)學(xué)教育研究案例，還應(yīng)該具有一些特點(diǎn).

１. 客觀性. 案例是寫實(shí)的，客觀性是案例的首要條件. 所謂客觀性，就是對數(shù)學(xué)教育事件發(fā)生的背景，特定環(huán)境，主要情節(jié)進(jìn)行客觀地描述，如實(shí)地介紹，而不能隨意取舍或歪曲事實(shí)的真相，分析要就事論理，從事實(shí)中引出道理，啟發(fā)人們思考，有的案例也不作分析，而讓讀者或研究者去評判.

譬如２００２年新課程卷概率題目：

某單位６名員工借互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每名員工上網(wǎng)的概率都是０．５（相互獨(dú)立）. 求：（１）至少３人同時(shí)上網(wǎng)的概率；（２）至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于０．３. （注：本小題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生或互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法，考查學(xué)生運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力. ）

在實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)了好幾個(gè)共性的錯誤，我們及時(shí)給予了分析和正確思路的指引.

此題的內(nèi)容雖然在本質(zhì)上是模式的數(shù)學(xué)，但與日常生活、社會生產(chǎn)實(shí)際直接聯(lián)系，它的解決方法離不開確定性的數(shù)學(xué).

２. 典型性. 數(shù)學(xué)教育案例既要反映數(shù)學(xué)教育事件的客觀現(xiàn)實(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)象與本質(zhì)、個(gè)性與共性、特色與規(guī)律的統(tǒng)一，也要有反映數(shù)學(xué)教學(xué)活動的成功或不足的典型性.

例如：上題充分體現(xiàn)了概率的特點(diǎn)，它首先是抽出數(shù)學(xué)模型，然后去研究它的特征和規(guī)律，這里面又充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)和諧統(tǒng)一、密不可分的關(guān)系.統(tǒng)計(jì)就是以概率為基礎(chǔ)，通過對隨機(jī)現(xiàn)象的分析、觀察并利用概率運(yùn)算所取得的數(shù)據(jù)，來建立數(shù)學(xué)模型. 沒有統(tǒng)計(jì)，概率就失去了具體模型和對象，但沒有了概率，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也就只是一系列的數(shù)據(jù)，而不能抽象出這些數(shù)據(jù)的本質(zhì)意義.

３. 有效性. 案例應(yīng)該是真實(shí)的，但真實(shí)的不一定都是有效的. 所謂有效性是指案例本身具有現(xiàn)實(shí)意義、應(yīng)用價(jià)值和理論研究價(jià)值. 正面的經(jīng)驗(yàn)和反面的教訓(xùn)都可以. 它體現(xiàn)在教學(xué)方法、教學(xué)手段、教學(xué)思想、教學(xué)原理上的現(xiàn)實(shí)意義能夠引起人們的思考. 從中汲取有益的教育思想和方法，領(lǐng)悟出教學(xué)原理含義的閃光點(diǎn).

４. 困惑性. 數(shù)學(xué)教育案例既是反映數(shù)學(xué)教育活動的客觀事實(shí)，具有典型性，但必須引人思考，奉勸別人解除困惑，具有新意，即能啟發(fā)讀者和研究者進(jìn)行創(chuàng)造性的思維，開拓新的思路.

譬如上述問題的解決過程當(dāng)中在實(shí)際課堂上就出現(xiàn)了好幾種錯誤的解法，要么是錯誤地運(yùn)用了加法或乘法原理，說明學(xué)生不能從具體情景中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；要么是學(xué)生不能準(zhǔn)確理解問題的含義，因而無法選擇正確的數(shù)學(xué)表達(dá)式和算法，當(dāng)然也無法準(zhǔn)確地用數(shù)學(xué)語言對所得的結(jié)果作出合理的解釋.

５. 理論指導(dǎo)性. 提出問題只是一個(gè)手段，解決此問題并得到相應(yīng)的啟示，從而能起到對日后相關(guān)問題具有指導(dǎo)參考意義才是真正的目的.

概率統(tǒng)計(jì)是關(guān)于偶然世界的規(guī)律性，所研究的隨機(jī)現(xiàn)象具有偶然性，但又有一定的規(guī)律性，偶然中蘊(yùn)涵必然，它總是通過對事件外顯數(shù)據(jù)的研究，達(dá)到對事件本質(zhì)的把握. 頻率是一個(gè)變數(shù)，而概率是定值，以頻率近似地代替概率，這里體現(xiàn)了變與不變的辯證關(guān)系. 小概率事件雖然有發(fā)生的可能性，但概率太小，人們認(rèn)為它是不可能的事件，但并不是絕對不發(fā)生，這里同樣充滿可能性與不可能的辯證關(guān)系. 總體特征要通過樣本來研究，說明每一事件內(nèi)部不僅包含矛盾的特殊性而且包含了矛盾的普通性. 隨機(jī)事件是用靜態(tài)的觀點(diǎn)研究隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)變量是用動態(tài)的觀點(diǎn)研究隨機(jī)現(xiàn)象，其中體現(xiàn)了概率研究方法中動與靜的辯證統(tǒng)一.

所有案例的研究解決都可以給學(xué)生兩方面的啟示，一方面在學(xué)習(xí)中要不斷地總結(jié)解決問題的各種數(shù)學(xué)模式，豐富“模式庫”；另一方面還需要不斷地提高判斷、創(chuàng)建模式的能力，在對各種不同實(shí)際情況的分析、判斷、探索的過程中強(qiáng)化自身的數(shù)學(xué)意識.

廣大數(shù)學(xué)教師與學(xué)生朝夕相處，應(yīng)該最了解學(xué)生、最容易發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中有問題的人. 每位教師在長期的教學(xué)實(shí)踐中都積累了大量的、生動的案例，這些案例蘊(yùn)藏著豐富的、新鮮的數(shù)學(xué)教育思想. 收集、整理、挖掘、總結(jié)數(shù)學(xué)教育案例，給予科學(xué)的、理論的分析，對于開展數(shù)學(xué)教育研究并有效地指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，提高廣大數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平和教學(xué)研究能力是具有十分重要的意義的.