[摘要]司馬光破缸救小孩的故事，在我國(guó)家喻戶曉。分析司馬光和眾小孩在思維能力上的差異，對(duì)我們很有啟發(fā)。眾小孩只考慮到如何使“人離開(kāi)水”，而司馬光卻由此逆向地考慮到如何使“水離開(kāi)人”，這就是我們常說(shuō)的逆向思維，它是指在研究問(wèn)題的過(guò)程中有意去做與習(xí)慣思維方向完全相反的探索，它是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的重要方法。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 角度 思考 變換

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果僅僅從某個(gè)固定的角度去思考，往往會(huì)一籌莫展。遇到這種情況，要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)改變思考問(wèn)題的角度，從問(wèn)題的側(cè)面或反面去分析，常可使人茅塞頓開(kāi)，走出“山窮水盡”的困境，找到“柳暗花明” 又一村的快感。經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)角度、不同方向、運(yùn)用多種觀點(diǎn)去分析，思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，可使學(xué)生思路開(kāi)闊。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)怎樣激發(fā)學(xué)生思維的積極性、變通性、獨(dú)創(chuàng)性呢？筆者就如何變換思考問(wèn)題的角度，巧妙解題略談淺見(jiàn)，以就教于廣大同行。

一、正面與反面的變換

“十#8226;一”國(guó)慶節(jié)，蘇步青學(xué)校的七年級(jí)有100名同學(xué)和部分老師參加文藝演出。同學(xué)們熱情高潮，都提前來(lái)到會(huì)場(chǎng)，有一位細(xì)心的同學(xué)觀察到：老師們到會(huì)時(shí)，都與第一排的同學(xué)一一握手，向同學(xué)們問(wèn)好。其中第一個(gè)到會(huì)的老師與第一排的全部同學(xué)握手，第二個(gè)到會(huì)的老師只差1個(gè)同學(xué)沒(méi)有握過(guò)手。如此到最后一個(gè)到會(huì)的老師與9個(gè)同學(xué)握過(guò)手。已知老師與第一排的同學(xué)共有20人，你能算出到會(huì)的老師與第一排的同學(xué)各有多少人嗎？

分析：不妨從“最后一個(gè)到會(huì)的老師與9個(gè)同學(xué)握過(guò)手”入的手，進(jìn)行逆向思考，探究老師人數(shù)與第一排學(xué)生人數(shù)間的關(guān)系。

解：由題意，最后一個(gè)到會(huì)的老師與9個(gè)同學(xué)握過(guò)手，那么倒數(shù)第二個(gè)到會(huì)的老師與10個(gè)同學(xué)握過(guò)手，倒數(shù)第三到會(huì)的老師與11同學(xué)握過(guò)手，依次直到第一到會(huì)的老師與全部同學(xué)握過(guò)手，從而可知，同學(xué)的人數(shù)比老師的人數(shù)多8個(gè)人，所以到會(huì)的老師人數(shù)為（20－8）÷2=6（人）。

評(píng)注：有時(shí)逆向思考問(wèn)題，往往會(huì)給解題帶來(lái)方便，本題如果從第一位老師入手，也可以這樣來(lái)考慮：設(shè)老師共有x人，則第1個(gè)到會(huì)的老師與（20－x）個(gè)同學(xué)握過(guò)手，第2個(gè)到會(huì)的老師和（19－x）個(gè)同學(xué)握過(guò)手，第3個(gè)老師和（18－x）個(gè)同學(xué)握過(guò)手，……第x個(gè)老師和[20－（x－1）－x]個(gè)。即（21－2x）個(gè)同學(xué)握過(guò)手，于是有21－2x=9，解得x=6（人）。

二、常量與變量的變換

已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a≠b，且2007(a-b)+2007(b-c)+(c-a)=0，求(c-a)(c-a)(a-b)2的值。

分析：顯然求a，b，c的值是不可能的，同樣直接尋求a，b，c的關(guān)系式也很困難。這時(shí)我們不妨將常量和變量換一下角色，將常量設(shè)為變量，將變量設(shè)為常量，即設(shè)x=2007，則2007=x2，原等式就成了關(guān)于x的一元二次方程，可用韋達(dá)定理解之。

解：設(shè)x=2007，原等式就成了關(guān)于x的一元二次方程；

(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0

因?yàn)?a-b)+(b-c)+(c-a)=0，

所以方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0必有一根為1。

即x=1或x=2007。

由韋達(dá)定理，得

三、已知與未知的變換

（第三屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）

求正整數(shù)a，使得關(guān)于x的方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0一個(gè)整數(shù)解。

分析：若把x當(dāng)作未知數(shù)，解關(guān)于x的方程，那么將會(huì)相當(dāng)麻煩；這時(shí)我們可以考慮將a當(dāng)作未知數(shù)，x當(dāng)作已知數(shù)，將原方程整理為關(guān)于a的一次方程(x+2)2a=2x+7，這就向成功的目標(biāo)邁進(jìn)了一大步。

解：將原方程整理為關(guān)于a的一次方程(x+2)2a=2x+7，

∵x≠－2，∴a=2x+7(x+2)2

∵a為正整數(shù)，∴a≥1

∴2x+7(x+2)2≥1，解得－3≤x≤1

∴x可以取整數(shù)－3，－1，0，1

對(duì)應(yīng)a的值為1，5，74，1

∴a=1或5

經(jīng)檢驗(yàn)知，a=1或5符合要求。

又解：將原方程整理為關(guān)于a的一次方程(x+2)2a=2x+7

∵x≠－2，∴a(x+2)=2x+7(x+2)=2+3x+2

由（x+2）︳3可得x+2=±1或±3。

注意到a為正整數(shù)，∴x=1或－1

∴a=1或5。

經(jīng)檢驗(yàn)知，a=1或5符合要求。

四、直線型和圓的變換

圖1

如圖1，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，AD=AC=2，AB=4，BD=4CD，求BC的長(zhǎng)。

分析：如果用常規(guī)的方法來(lái)解，就是作BC邊上的高線，顯然比較麻煩。而用圓的知識(shí)就來(lái)解就顯得很簡(jiǎn)單。

解：如圖2，∵AD=AC=2，∴可以作以A為圓心，AD為為半徑的⊙A，則C點(diǎn)必在這個(gè)圓上；

圖2

由圓的知識(shí)可得：BD#8226;BC=AB2－AD2

∵AB=4，BD=4CD，∴45BC2=12，BC=15。

當(dāng)我寫(xiě)完這個(gè)解法時(shí)，教室里一片驚呼，哇，這個(gè)解法真的好簡(jiǎn)單！

五、局部與整體的變換

如圖3，兩個(gè)同心圓。大圓的弦AB與小圓相切于P，大圓的弦CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且CD=13，PD=4，則兩圓組成圓環(huán)的面積是（）

A．16πB．36πC．52πD．81π

分析：對(duì)此題有的學(xué)生覺(jué)得只要能求出大、小圓的半徑，那么圓環(huán)的面積就能迎刃而解了。但他們想盡各種辦法，就是無(wú)法求出大、小圓的半徑（實(shí)際上是無(wú)法求）。這時(shí)就要引導(dǎo)學(xué)生變換思考問(wèn)題的角度：觀察圓環(huán)面積公式，提出公因式π，把兩圓半徑平方差看作整體求值，問(wèn)題即可解決。

解：連結(jié)OP，OB（如圖4），

圖5

∵AB是小圓O的切線，P是切點(diǎn)，

∴OP⊥AB，

∴OB2－OP2=PB2；

又AB是大圓O的弦，∴PA=PB，

∵CP=CD－DP=13－4=9

∴PB2=AP×PB=CP×PD=9×4=36，

∴S圓環(huán)=S大－S小=πOB2－πOP2=…=36π，故選（B）。

六、數(shù)和形的變換

如圖5是連接在一起的兩個(gè)正方形，大正方形的邊長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的兩倍。問(wèn)：若只許剪兩刀。如何裁剪，使之拼成一個(gè)新的大正方形。

分析：許多學(xué)生會(huì)采取實(shí)驗(yàn)的方法，這里裁一刀，那里試一剪，但結(jié)果卻極少有人能在短時(shí)間內(nèi)碰巧找到答案。

變換思考問(wèn)題的角度，從問(wèn)題的“變”中看出“不變”的東西：面積，這就從“形”的表面上找到了“數(shù)”這一實(shí)質(zhì)性的東西。

解：從已知到結(jié)論，圖形雖變了，但其中沒(méi)變的東西是面積：若設(shè)小正方形面積為1，則兩正方形面積之和是5，也就是說(shuō)，所拼得的正方形面積仍為5，而其邊長(zhǎng)就應(yīng)是5了，這樣一來(lái)，顯然我們僅須沿著圖中長(zhǎng)為5的線段去考慮裁剪就行（圖中這樣的線段沒(méi)有幾條），答案于是很快就找到了。

這個(gè)純幾何的問(wèn)題，在“數(shù)”的引導(dǎo)下獲得了最好的解決方式，這是一種由表及里，形中見(jiàn)數(shù)的思想方法，正是數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

幾何方法具有直觀、形象的優(yōu)勢(shì)，代數(shù)方法的特點(diǎn)是解答過(guò)程嚴(yán)密、規(guī)范、思路清晰。華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想就能揚(yáng)這兩種方法之長(zhǎng)，避呆板單調(diào)之短。

七、直接與間接的變換

（愛(ài)因斯坦喜愛(ài)的趣題中的第二題）

5只猴子找到一堆桃子，怎么分也平分不了，于是大家同意先去睡覺(jué)，明天再說(shuō)。夜里，一只猴子再偷偷起來(lái)，吃掉1個(gè)桃子，剩下的桃子正好平分成5等份，它藏起自己的1份，然后再去睡覺(jué)。過(guò)了一會(huì)兒，第二猴子起來(lái)，也吃掉1個(gè)桃子，剩下的桃子也正平分成5等份，它也藏起了自己的1份，然后再去睡覺(jué)。第三、第四、第五只猴子也都依次這樣做。問(wèn)：最初那堆桃子最少有多少個(gè)？

分析：本題如果用常規(guī)方法來(lái)做，就是先設(shè)這堆桃子有x個(gè)，根據(jù)題意列表如下：

因?yàn)檎也坏较嗟汝P(guān)系，所以很難做下去了。如果我們間接設(shè)未知數(shù)，即設(shè)每次剩下的蘋(píng)果數(shù)分別為y1，y2，y3，y4，y5，那么問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。

解：設(shè)最初至少有x個(gè)蘋(píng)果，每次剩下的蘋(píng)果數(shù)分別為y1，y2，y3，y4，y5，則y1=45(x-1)=45(x+4)-4

y2=(45)2(x+4)-4

……

y5=（45）5（x+4）-4

要使y5是正整數(shù)，則必須（x+4）必是55的倍數(shù)，且x的最小值為55－4=3125-4=3121個(gè)。

答：最初那堆桃子最少有3121個(gè)。

聽(tīng)說(shuō)齊天大圣孫悟空當(dāng)年是這樣解的，他把猴毛拔下4根，丟入口中嚼碎，噴將出去，叫聲“變”，就變成4個(gè)桃子這4個(gè)桃子與那堆里的桃子在品種上、顏色上都一模一樣——不妨叫做“猴毛桃子”，趁五猴熟睡時(shí)，偷偷地放到那堆桃子中……。

所以，原來(lái)那堆桃子的個(gè)數(shù)最少為：5×5×5×5×5-4＝3121。

齊天大圣孫悟空思路如此新穎有趣，方法獨(dú)到巧妙簡(jiǎn)明，是真得嗎？

這個(gè)題雖有真點(diǎn)難，但它很有趣。不知愛(ài)因斯坦當(dāng)年是用什么方法解出來(lái)的？

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)，“興趣是最好的老師。”好的數(shù)學(xué)趣味題，是引導(dǎo)人們進(jìn)入數(shù)學(xué)海洋的航標(biāo)，是鍛煉人們思維能力的健身器，也是勤于思索的人們?cè)敢庑蕾p的一朵智慧的小花！”

習(xí)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)課本的習(xí)題是學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的源泉，刻意探討習(xí)題的推廣、變換及應(yīng)用，不僅能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的深刻性、廣闊性，而且能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、應(yīng)用意識(shí)和發(fā)散思維。國(guó)家教育部考試中心指出：設(shè)計(jì)出不同解題思想層次的試題，使善于知識(shí)遷移和運(yùn)用思維塊簡(jiǎn)縮思維的考生能用敏捷的思維贏得時(shí)間，體現(xiàn)出創(chuàng)造力。

贊可夫說(shuō)過(guò)：“凡是沒(méi)有發(fā)自內(nèi)心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發(fā)掉的”。贊可夫這句話說(shuō)明了發(fā)散思維能力的形成，需要以樂(lè)于求異的心理傾向作為一種重要的內(nèi)驅(qū)力。

徐利治教授曾給出這樣一個(gè)公式：創(chuàng)造能力=知識(shí)量+發(fā)散思維能力。從這里我們可以看到培養(yǎng)發(fā)散思維能力的重要性。

科學(xué)研究表明，新穎，別出心裁，有創(chuàng)造性的見(jiàn)解常常出現(xiàn)在思維的后半段。而能提出新異的想法和解法，這是思維獨(dú)創(chuàng)性的表現(xiàn)。能大膽地提出與眾不同的意見(jiàn)與質(zhì)疑，獨(dú)辟蹊徑地解決問(wèn)題，這樣才能使思維從求異、發(fā)散向創(chuàng)新推進(jìn)。

變換角色思考問(wèn)題，無(wú)處不在，除以上列舉的七種情形外，還有很多。比如相等與不等變換，特殊與一般變換，代數(shù)與幾何變換，平面與空間變換等。如果我們?cè)谄匠５臄?shù)學(xué)教學(xué)中仔細(xì)留意，并大膽嘗試，促使學(xué)生的思維由橫向向縱向發(fā)散，這對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)將起著事半功倍的作用。

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[7]讓低年級(jí)孩子在評(píng)價(jià)中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂(lè).

[8]中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）.2005，（4）：11.

（作者單位：浙江平陽(yáng)新紀(jì)元學(xué)校）