[摘要]數(shù)學文化中蘊含著豐富的和合思想。數(shù)學的整體系統(tǒng)性、平衡穩(wěn)定性、有序對稱性是和合思想的具體體現(xiàn)。

[關鍵詞]數(shù)學文化 和合思想 整體 平衡 有序

和合是我國傳統(tǒng)文化的一個重要概念。“和”是平和、和諧、祥和、協(xié)調(diào)的意思?！昂稀笔呛献?、對稱、結合、統(tǒng)一的意思。和合思想認為，整個物質世界是一個和諧的整體，宇宙、自然、社會、精神各元素都處在一個和諧的優(yōu)化結構中。而數(shù)學文化系統(tǒng)就是一個完美的和諧優(yōu)化結構。數(shù)學文化中的數(shù)學發(fā)展史、數(shù)學哲學思想、數(shù)學方法、數(shù)學美育等重要內(nèi)容蘊含著豐富的和合思想。其具體體現(xiàn)是整體系統(tǒng)性、平衡穩(wěn)定性、有序對稱性。

一、整體系統(tǒng)性

1.數(shù)學公理系統(tǒng)的相容性

數(shù)學的公理化系統(tǒng)具有相容性、獨立性和完備性。在這三項基本要求中，最主要的是相容性。相容性就是不矛盾性或和諧性，是指各公理不能互相抵觸，它們推導的真命題也不能互相矛盾，公理系統(tǒng)的相容性是數(shù)學系統(tǒng)和諧的基礎，也是基本要求。

除了數(shù)學各分支自身要形成相容的公理系統(tǒng)之外，數(shù)學還要求各分支之間互相協(xié)調(diào)，不能互相抵觸。有的系統(tǒng)之間，還形成密切的同構關系，在不同的數(shù)學系統(tǒng)之間，相容性是一致的。例如歐氏幾何與非歐幾何（羅式幾何、黎曼幾何）中平行公理是互否的命題，可在歐氏幾何中構造非歐幾何的模型，所以可以這樣說只要歐氏幾何無矛盾，那么非歐幾何也是無矛盾的。

2.數(shù)學運算系統(tǒng)的完整性

數(shù)學的運算法則、運算公式、運算結論都是完整的、準確的。特別是數(shù)學的運算語言，它把文字語言、符號語言、圖像語言完全融合到一個統(tǒng)一體中，互相印證、互相詮釋、互相轉化，達到了天衣無縫的完美。當擴充數(shù)系時，要建立新的理論和運算拓廣原有運算和關系時，要盡量保持原有的運算、關系的一致性，如有不一致，必須作一規(guī)定，使新系統(tǒng)與原有系統(tǒng)和諧。

3.數(shù)學推理系統(tǒng)的嚴密性

在我們?nèi)粘５臄?shù)學活動中，常常用到反證法，在這種方法中，往往不僅要用到系統(tǒng)的公理和定理，而且要用到其他分支的知識。在整個推理過程中要和諧。例如古希臘三大著名問題之一化圓為方，即作一個與給定圓面積相等的正方形。要證明用圓規(guī)和直尺不能作出等面積的正方形就需要用到數(shù) “=”的超越性。

在數(shù)學上的等式、解析式中出現(xiàn)“=”是和諧的體現(xiàn)。

二、平衡穩(wěn)定性

“和合思想”認為天地自然萬物處于平衡、和諧、有序的狀態(tài)。各個事物、要素互依、互涵、互補，處于全面的、立體的相互作用的過程之中。而數(shù)學的平衡穩(wěn)定性很好地體現(xiàn)了和合思想。

1.數(shù)學發(fā)展的平衡穩(wěn)定

數(shù)學科學與其它學科相比，一個重要的特點就是歷史的累積性、發(fā)展的平衡穩(wěn)定性。也就是說重大的數(shù)學理論總是在繼承和發(fā)展原有理論的基礎上建立起來的，他們不僅不會推翻原有的理論，而且總是包容原有的理論。比如天文學的“地心說”被“日心說”所代替，物理學中關于光的“粒子說”被“波動說”代替，化學中的“燃素說”被“氧化說”代替等等，而數(shù)學從來沒有發(fā)生過這樣的情況。這正如一位數(shù)學史家H?漢科爾所說：“在大多數(shù)學科里，一代人的建筑為下一代人所拆毀，一個人的創(chuàng)造被另一個人所破壞，唯獨數(shù)學，每一代人都在古老的大廈上添加一層樓”。數(shù)學的這一平衡穩(wěn)定性，正是數(shù)學學科能不斷煥發(fā)出無限活力和強大生命力根源。

2.數(shù)學學習過程的平衡穩(wěn)定

人們對知識的學習過程都含有一定的認知結構。而學生學習數(shù)學知識的過程不外乎“同化—順應—平衡”這樣一個相對穩(wěn)定的過程。同化就是把新的知識納入已有的認知結構，使原有的知識體系不斷得到充實豐富。順應就是新的知識不能納入原有的認知結構，就要對原有認知結構進行改造和提高，從而建立新的認知結構。平衡就是同化和順應后，都有一個鞏固階段，在這一階段對知識的理解和內(nèi)化是平衡穩(wěn)定的。人們對數(shù)學知識的學習正式在“同化—順應—平衡”這樣一個循環(huán)往復的過程中發(fā)展的。

3.數(shù)學方法的平衡穩(wěn)定

數(shù)學方法是認識數(shù)學客體過程中某種有規(guī)律的程序和手段，使理論用于實踐的中介，各種方法都和諧地存在在數(shù)學這個共同體中。比如常用的數(shù)學思維方法：觀察、分析、綜合、抽象、猜想、類比、歸納、演繹；還有常用的數(shù)學解題方法：比較方法、結構方法、模型方法、構造方法、化歸方法、映射反演法、幾何變換法、公理化方法等。這些方法，無論是在初等數(shù)學中，還是在高等數(shù)學中；無論是在幾何學中，還是在代數(shù)學中，都在廣泛的運用，始終處于平衡穩(wěn)定狀態(tài)中，不會因時間、空間、以及學科的變化發(fā)生變異。

幾何變換思想和方法，就是用運動和變化的觀點去研究幾何對象及其相互關系，探討圖形運動過程中不變的關系、不變量和變化關系、變化量，從中找出規(guī)律。在解題過程中，對圖形有關部分進行變換，化不規(guī)則為規(guī)則，化一般為特殊，化不利條件為有利條件。

三、有序對稱性

“凡物必有合”，“合”就是對稱、結合、統(tǒng)一。整個世界不僅和諧合理，而且陰陽和合的對稱。

1.數(shù)學的有序對稱美

在初等數(shù)學中研究的對稱性，可以描述的是一個圖形、一個式子各個部分的關系，也可以描述兩個圖形、式子的關系。圖形、式子的變換顯示著數(shù)學中的對稱美。

圖形對稱可稱為狹義對稱，例如中心對稱圖形、軸對稱圖形、旋轉對稱圖形是圖形位置的一種對稱。顯示一種對稱的美。

在許多概念中和方法、命題、公式、法則中也存在對稱性，也可稱為一種對稱。

在數(shù)學中，許多概念都是一正一反，相輔相成，成對出現(xiàn)的。例如數(shù)學運算中加與減、乘與除、乘方與開方、微分與積分等，都可認為是一陰一陽的對稱；減一個負數(shù)可變成加一個正數(shù)，除可以變成乘的運算，所以說它們之間又是統(tǒng)一有序的。在二元運算中通過交換律、結合律、分配律來反映其對稱性。

2.數(shù)學解題過程的有序結構

從文化的角度審視數(shù)學解題過程它是數(shù)學策略、數(shù)學邏輯、數(shù)學方法、數(shù)學知識、數(shù)學技能與程式化的有機結合，是一個有序結構的統(tǒng)一體。比如解方程過程的基本步驟是：去分母、去括號、移項合并、兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)。這是一個和諧的有序結構。破壞了這個有序結構，就會發(fā)生解題障礙。從思維過程看，它是“觀察——聯(lián)想——轉化”這樣一個有序過程。觀察是聯(lián)想的基礎，在觀察中認識所給題目的特征；聯(lián)想是轉化的橋梁，在聯(lián)想中尋找解題途徑；轉化是解題的手段，在轉化中確定解題方案，從而最終解決問題。

數(shù)學無論是從整體和局部，形式和內(nèi)容，還是結果和過程都體現(xiàn)著和合思想的精神和內(nèi)涵。我們用“和合思想”重新認識數(shù)學，發(fā)揮數(shù)學文化在教學中的教育功能，就能有效地培養(yǎng)學生科學素養(yǎng)和文化素養(yǎng)。

參考文獻：

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（作者單位：寧夏生態(tài)工程學校）