[摘要]“數(shù)學(xué)題組”的實際訓(xùn)練效果超過十幾道乃至幾十道題目的訓(xùn)練效果，能夠充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)和學(xué)生的主體作用，從而達到優(yōu)化課堂教學(xué)，提高教學(xué)效率，提高學(xué)生素質(zhì)的目的。本文結(jié)合實際教學(xué)例子探討了數(shù)學(xué)題組優(yōu)化設(shè)計的有關(guān)問題。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 教學(xué)效率 題組設(shè)計

問題是數(shù)學(xué)的心臟，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要通過解題訓(xùn)練來完成對基礎(chǔ)知識的掌握、基本技能的訓(xùn)練和基本數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。而題組是問題一種集中的、典型的表現(xiàn)形式。筆者多年的教學(xué)實踐和教學(xué)研究表明，單個問題不如題組教學(xué)效果好。一個由三、五個題目組成的“數(shù)學(xué)題組”訓(xùn)練效果超過十幾道乃至幾十道題目的訓(xùn)練效果。并且教師精心設(shè)計的題組在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個階段起著不可代替的作用，能夠充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)和學(xué)生的主體作用。學(xué)生積極參與教學(xué)不僅有利于發(fā)展思維，促進知識的掌握，提高解題能力，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、自信心等非智力因素，從而達到優(yōu)化課堂教學(xué)，提高學(xué)生素質(zhì)的目的。

一、數(shù)學(xué)題組及其設(shè)計要求

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的和任務(wù)早已不再是簡單的知識傳授及方法傳導(dǎo)，教師作為一個引導(dǎo)者、研究者站在這個舞臺上，必須去發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，去調(diào)動學(xué)生積極地去思考問題、分析問題、解決問題。而在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師就數(shù)學(xué)題組的設(shè)計方面對學(xué)生的的學(xué)習(xí)效率和對知識的掌握程度有著密切的關(guān)聯(lián)。所謂數(shù)學(xué)題組，是指圍繞某一訓(xùn)練目標(biāo)，精選一批有代表性的問題，將知識、方法與技巧融化其中，讓學(xué)生在解題的過程中去感知題組內(nèi)在的規(guī)律性，發(fā)現(xiàn)題組內(nèi)蘊含的知識和方法。如果要充分發(fā)揮題組在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)有的功能，切實提高教學(xué)的效果，就要注意數(shù)學(xué)題組設(shè)計的具體要求。

1.結(jié)構(gòu)性

數(shù)學(xué)題組是一種復(fù)合題型，它的結(jié)構(gòu)特征是按照特定的目的把若干個相近或互相延伸、還可以是不同類型的題目串在一起。因此，題組的設(shè)計必須能夠凸顯數(shù)學(xué)概念外延的基本結(jié)構(gòu)，突出問題的基本特征，即對問題特征的診斷；能夠凸顯隱含在數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系的基本結(jié)構(gòu)，突出解決問題的思路，積累解決問題的經(jīng)驗與方法的特征。

2.靈活性

能夠多角度地體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與數(shù)量關(guān)系的特征；能夠讓學(xué)生多角度地展開數(shù)學(xué)的思維，尋求解決方法。

3.針對性

指的是練習(xí)設(shè)計的目的要明確，思路要清晰。根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生實際，有的放矢地進行設(shè)計，要注意練習(xí)的實效。同時，相對于不同的課型，其針對性也有明顯區(qū)別。

（1）新授課。鋪墊練習(xí)，即針對知識遷移的需要，練習(xí)題具承上啟下的作用；探究練習(xí)，主要針對學(xué)生在探究過程中可能出現(xiàn)的困難或障礙，練習(xí)題具啟發(fā)性；鞏固練習(xí)，主要針對學(xué)生形成數(shù)學(xué)技能或數(shù)學(xué)知識運用的需要，練習(xí)題具典型性。

（2）練習(xí)課。反饋練習(xí)，即針對學(xué)生平時練習(xí)中出現(xiàn)的主要問題，練習(xí)題具反思性；變式練習(xí)或發(fā)展練習(xí)，主要針對學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的需要，練習(xí)題具思考性。

（3）復(fù)習(xí)課。聯(lián)系與對比的練習(xí)，即針對知識的回憶與整理的需要，練習(xí)題呈結(jié)構(gòu)性；綜合性練習(xí)，主要針對知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)與能力的提高，練習(xí)呈綜合性。

4.層次性

數(shù)學(xué)題組的設(shè)計應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律和不同層次學(xué)生的要求，設(shè)計由淺到深，由簡單到復(fù)雜，由單項練習(xí)到綜合練習(xí)等不同梯度的練習(xí)題，即根據(jù)他們認知結(jié)構(gòu)的最近發(fā)展區(qū)架設(shè)鋪墊，考慮學(xué)生學(xué)習(xí)過程的實際需要，考慮學(xué)生認知心理的特點，考慮大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)的需要和教師因材施教的需要。具體要求是：體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題在不同層次上的認知(技能)要求；讓學(xué)生領(lǐng)會從簡單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系。

因此，數(shù)學(xué)題組設(shè)計的關(guān)鍵是：第一，精選題目構(gòu)成題組。從紛繁復(fù)雜的題海中精選好題，每三、五個組成一組。第二，規(guī)范訓(xùn)練提煉思想。重視解題的探究、解答、反思、總結(jié)、對比、提煉各個環(huán)節(jié)的細節(jié)落實。每組題目都必須達到預(yù)期效果。

二、例析數(shù)學(xué)題組的設(shè)計

教學(xué)中進行題組設(shè)計時不僅要有明確的目的性，做到與教學(xué)內(nèi)容形成統(tǒng)一整體，而且還應(yīng)注意設(shè)計的層次性，注重數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透。因此，盡管數(shù)學(xué)題組的形式是豐富多樣的，但是在教學(xué)中必須注重形式背后的內(nèi)容實質(zhì)，切忌重形式，忽略內(nèi)容的實效性。

1.“拆卸型”題組

“拆卸型”題組是對于一個較復(fù)雜的題目或知識點，將它支解成若干部分來設(shè)計題目的一種題組。這種題組是結(jié)合學(xué)生的認知水平和學(xué)生的思維能力而設(shè)計的，使學(xué)生對知識比較容易接受，特別是基礎(chǔ)一般的學(xué)生效果更突出。例如，在高一的“反函數(shù)”一節(jié)中，對于反函數(shù)的概念比較復(fù)雜，為了進一步使學(xué)生更好的理解，我是這樣設(shè)計題組：

（1）函數(shù)y=2x+3x-1的定義域是（），值域是（）。

（2）函數(shù)y=2x+3x-1中，若用y來表示x，則x＝（）， 此時的x，y的取值范圍與原來的函數(shù)定義域和值域有何關(guān)系?

（3）上題所求的x=＝(y)表達式中，若調(diào)換x，y的位置，即y＝(x)則此時的x，y與原函數(shù)的定義域和值域有何關(guān)系?y＝(x) 是函數(shù)嗎?為什么?

（4）若原函數(shù)改為y=x2，按上面的步驟求得的y＝(x)是不是函數(shù)?為什么?

（5）若把原函數(shù)改為y=f(x)，則反解，而x＝(y)，調(diào)換x，y的位置而得到的y＝(x)，原函數(shù)滿足什么條件時，y＝(x)才是函數(shù)?

通過上面的題組，最后提出反函數(shù)的定義。因為反函數(shù)的定義相當(dāng)抽象，對于一般的學(xué)生來說在理解上比較難，因此上面的“拆卸型”題組設(shè)計時，把反函數(shù)的定義分解成幾部分，對各個部分逐個解決，最后水到渠成。

上述“一題多問”式的“拆卸型”題組突出了在一定量的信息中，從不同層次，不同角度出發(fā)提出問題與解決問題，突出數(shù)學(xué)概念外延的基本結(jié)構(gòu)，因此需要考慮問題設(shè)計的結(jié)構(gòu)性與層次性。

2.“引入型”題組

新課的引入通常是復(fù)習(xí)舊知識而引入新課的，但是單從知識點的引入往往會使學(xué)生停留在知識的表面上，因此得不到應(yīng)有的復(fù)習(xí)效果?！耙胄汀鳖}組是通過一系列的題目，讓學(xué)生從動手，動腦的過程中復(fù)習(xí)與本節(jié)相關(guān)的原有知識要點，從而類比引出新課。例如，在學(xué)習(xí)“雙曲線及其標(biāo)準方程”中，我設(shè)計如下題組：

（1）在△ABC中，已知其周長為18，B(一4，0)，C(4，O)，則頂點A的軌跡方程是（）

（2）在△ABC中，已知B(一4，0)，C (4，0)，若∣∣AB∣—∣AC∣∣＝8時，則頂點A的軌跡方程是（）， 若∣∣AB∣—∣AC∣∣＝6時， 則頂點A 的軌跡方程是（）。

（3）在平面上，已知點P(x，y)，點F1（-C，0），F(xiàn)2（C，0），∣∣PF1∣—∣PF2∣∣=2a，若a=c時，則點P的軌跡方程是（）；若a＜c時，則點P的軌跡方程是（）。

上面的題組中，從橢圓的定義引入，同時通過計算，讓學(xué)生類比歸納出雙曲線的定義，不僅加強了學(xué)生的計算能力，也進一步培養(yǎng)了學(xué)生的類比、歸納、抽象和概括能力。

3.“復(fù)習(xí)型”題組

數(shù)學(xué)的知識本身具有系統(tǒng)性和層次性的。“復(fù)習(xí)型”題組是在單元復(fù)習(xí)課或總復(fù)習(xí)課中，精心設(shè)計一些習(xí)題題組，把相關(guān)的內(nèi)容有機聯(lián)系起來，保持知識的連貫性，并且使知識的應(yīng)用隨著題目的連貫而逐步展開的題組例如在總復(fù)習(xí)中解幾圓錐曲線中橢圓這一部分內(nèi)容，考綱要求為：掌握橢圓標(biāo)準方程及其幾何性質(zhì)，會根據(jù)所給條件畫橢圓，了解橢圓的一些實際應(yīng)用。我們設(shè)計題組目標(biāo)為：熟練掌握橢圓定義，標(biāo)準方程，熟悉并會求幾何性質(zhì)中有關(guān)量，能根據(jù)所給條件運用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準方程，會應(yīng)用橢圓定義解決有關(guān)問題?？稍O(shè)置如下題組：第一組復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識和基本方法。

題組一：①橢圓的x216+y225=1中心坐標(biāo)是（），長軸長是（），短軸長是（），坐標(biāo)方程是（）。

②橢圓x216+y225=1兩準線間距離是（），一焦點到對應(yīng)準線距離是（），橢圓一點(4，125)到兩焦點距離是（）。

③橢圓x2a2+y2b2上一點P(3， 到兩焦點距離分別為6.5和3.5，則橢圓方程為（）。

④若△ABC兩頂點A、B坐標(biāo)分別為(一3，0)，(3，0)，而周長為2O，則點C的軌跡是（）。

⑤方程x225-m+y216+m表示焦點在Y軸上的橢圓，則m的取值范圍是（）。

讓學(xué)生獨立完成后，對其進行重點評講，指出所應(yīng)用的知識點，基本方法和基本數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生存在問題進行評析，最后與學(xué)生一起歸納小結(jié)。然后，再布置第二套題組，鞏固消化前面內(nèi)容再加進適當(dāng)?shù)木C合題進一步提高能力。如：

題組二：①求中心在原點，長軸在Y軸上，離心率為63，準線方程為y=3的橢圓方程。

②已知橢圓x224+y249上一點與橢圓兩焦點F1、F2連線互相垂直，求△PF1F2的面積。

③P是橢圓上一點，F(xiàn)1、F2是兩焦點，求∣PF1∣∣PF2∣的最大值。

④在橢圓x2a2+y2b2=1中，內(nèi)接△ABC一邊BC與長軸重合，求△ABC重心的軌跡。

因此，“復(fù)習(xí)型” 題組把復(fù)習(xí)中變“講—練—講”為“練—講—練”，使學(xué)生在主動探索中鞏固消化了所學(xué)知識，更進一步達到了應(yīng)有的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

4.“變式型”題組

“變式型”題組是對教學(xué)中的定理和命題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景下設(shè)計一系列的變式習(xí)題，以暴露問題的本質(zhì)，揭示不同知識點的內(nèi)在聯(lián)系的一種題組。它具有一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能夠喚起學(xué)生好奇心和求知欲，因而能夠產(chǎn)生主動參與的動力，保持其參與教學(xué)活動的興趣和熱情。變式的方法主要有條件一般化、特殊化，變更背景、聯(lián)系實際、變更條件和結(jié)論或探索題。

總之，教師在習(xí)題的設(shè)計過程中，要充分考慮題組的自身特點，從學(xué)生的角度去思考問題，習(xí)題設(shè)計要由淺入深，由易到難，由具體到抽象由特殊到一般，層層深入，步步啟發(fā)，既要注意題與題之間的連貫性，連接的趣味性，題目的針對性和開放性，同時要保持知識的網(wǎng)絡(luò)性和整體性。不同的題組，有著各自不同的功能，因此，精心而準確設(shè)計的題組在教學(xué)中發(fā)揮著不可替代的作用，對于提高教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)起著重要作用，也是優(yōu)化課堂教學(xué)的一種途徑。

參考文獻：

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[2]王文清.數(shù)學(xué)題組教學(xué)法的理論與實踐解答與講解[M].石油大學(xué)出版社，2004.

（作者單位：浙江三門縣三門中學(xué)）