在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多法則、公式等，是按照從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，通過(guò)對(duì)特例的觀察、分析、實(shí)驗(yàn)，從而歸納出一般性結(jié)論，即歸納法。

類比在數(shù)學(xué)知識(shí)延伸拓展過(guò)程中常借助于比較、聯(lián)想來(lái)啟發(fā)誘導(dǎo)以尋求思維的變異和發(fā)散。在歸納知識(shí)系統(tǒng)時(shí)又可用來(lái)串聯(lián)不同層次的類似內(nèi)容，幫助理解和記憶。在解決問(wèn)題時(shí)，無(wú)論是對(duì)于命題本身或解題方法，都是產(chǎn)生猜測(cè)、獲得命題的推廣或引伸的原動(dòng)力。因此，歸納法和類比法既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法。

歸納和類比都屬于合情推理，其結(jié)論需要演繹證明。猜想是歸納與類比的成果，它們都包含有猜想的成分，所以猜想本身就是一種合情推理，直截了當(dāng)一點(diǎn)，合情推理就是猜想。牛頓說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”因此，合理地設(shè)計(jì)富有猜想的教學(xué)過(guò)程，不僅可以很好地組織教學(xué)，而且還可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

一、歸納法

歸納法是通過(guò)對(duì)同一類事物的特殊對(duì)象的研究而得出一般性結(jié)論的方法，也就是由特殊到一般的推理方法。

1．歸納法具有發(fā)現(xiàn)真理、探索真理的作用

數(shù)學(xué)中的許多著名定理都是先運(yùn)用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)而后給予證明的。

如德國(guó)著名數(shù)學(xué)家哥德巴赫從3+7=10，3+17=20，13+17=30等算式中觀察出兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和等于一個(gè)偶數(shù)，他做了進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)

6=3+3，

8=3+5，

10=3+7=5+5，

12=5+7，

14=3+11=7+7，

16=3+13=5+11，

于是，他得出了：任何一個(gè)既不是素?cái)?shù)也不是素?cái)?shù)平方的偶數(shù)(即大于4的偶數(shù))，是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。這就是著名的哥德巴赫猜想，盡管到如今這還是一個(gè)猜想，但數(shù)學(xué)家們?cè)谧C明這個(gè)猜想的過(guò)程中，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明了許許多多的數(shù)學(xué)定理，為數(shù)學(xué)的發(fā)展乃至社會(huì)的發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn)。

2．歸納法在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中具有十分重要的意義

小學(xué)數(shù)學(xué)中幾乎所有的公式、法則和性質(zhì)都是通過(guò)不完全歸納法來(lái)認(rèn)識(shí)。因此，教師應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，吃透教材，給學(xué)生思維發(fā)散的機(jī)會(huì)，多引導(dǎo)、多啟發(fā)、多鼓勵(lì)，給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在課堂中逐漸掌握歸納法。如在教學(xué)“平均分”時(shí)，教師可以給出把若干個(gè)蘋(píng)果分給若干個(gè)同學(xué)的問(wèn)題，讓學(xué)生去解決，給學(xué)生提供任憑他們想象發(fā)揮的時(shí)間和空間，然后再歸納出最公平的分法——每人一樣多，從而得出平均分的概念。這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維，同時(shí)，在這一活動(dòng)中也讓學(xué)生更為深刻地理解和掌握了“平均分”的概念。教師在講解概念、法則、性質(zhì)、公式和例題時(shí)，要讓學(xué)生從不同側(cè)面、不同角度去聯(lián)想和推廣。又如，在教學(xué)長(zhǎng)方形時(shí)，可以讓學(xué)生充分發(fā)揮他們的想象力，畫(huà)出各種形狀不同、放置位置不同的長(zhǎng)方形。然后，引導(dǎo)他們歸納得出這些圖形的共同特征：(1)它們都是四邊形；(2)四個(gè)角都是直角；(3)對(duì)邊相等。這不但培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，同時(shí)還使學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形。在教學(xué)正方形時(shí)，學(xué)生就不會(huì)產(chǎn)生正方形不是長(zhǎng)方形的錯(cuò)誤。

不完全歸納法作為“合情推理”，小學(xué)生是很容易接受并掌握的。所以，不完全歸納法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中比比皆是。學(xué)生對(duì)定義、運(yùn)算性質(zhì)(定律)、數(shù)的整除性特征等知識(shí)的學(xué)習(xí)，無(wú)一不是通過(guò)不完全歸納法來(lái)理解、掌握的。這一得天獨(dú)厚的氛圍，對(duì)培養(yǎng)小學(xué)生的歸納能力帶來(lái)了極大的便利。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不完全歸納法被認(rèn)為是培養(yǎng)小學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的一項(xiàng)行之有效的重要方法。教師要抓住這一優(yōu)勢(shì)，幫助小學(xué)生掌握不完全歸納法。讓學(xué)生充分發(fā)揮他們的想象力，讓他們自己提出問(wèn)題，大膽猜想，突破一般思維定勢(shì)，敢于猜想。同時(shí)，還應(yīng)該創(chuàng)造條件，多設(shè)計(jì)一些與上例類似的習(xí)題，讓學(xué)生進(jìn)行不完全歸納法的練習(xí)，才能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸學(xué)會(huì)應(yīng)用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，設(shè)定猜想。

二、類比

類比法就是根據(jù)不同的兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，從而推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤耐评矸椒?。它是以比較為基礎(chǔ)的一種從特殊到特殊的推理方法。

類比法是由此及彼以及由彼及此的聯(lián)想方法，著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出“類比是一個(gè)偉大的引路人”，教師在教學(xué)中必須善于引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、類比，才能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的想象力，讓他們通過(guò)比較去發(fā)現(xiàn)、去認(rèn)識(shí)、去掌握知識(shí)。培養(yǎng)具有創(chuàng)造能力的人才，就要幫助他們學(xué)會(huì)歸納和類比。類比具有啟迪思維、提供線索、舉一反三的作用，對(duì)發(fā)展思維特別是創(chuàng)造性思維十分有利。和歸納一樣，類比在小學(xué)數(shù)學(xué)中也隨處可見(jiàn)。如通過(guò)類比，從加法、減法的運(yùn)算性質(zhì)(或定律)很容易聯(lián)想到乘法、除法的相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)(或定律)，由除法中各部分之間的關(guān)系，容易聯(lián)想到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等。

同時(shí)，類比法是系統(tǒng)掌握新知識(shí)、鞏固舊知識(shí)，使新舊知識(shí)融會(huì)貫通的有效方法。數(shù)學(xué)的發(fā)展是一個(gè)不斷地從原有知識(shí)向深度和廣度推進(jìn)的過(guò)程，所以，各個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)與知識(shí)之間必然存在著相似之處，更何況，許多知識(shí)的發(fā)展就是類比發(fā)現(xiàn)的結(jié)果。在實(shí)際教學(xué)中，教師必須有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生注意知識(shí)之間的比較，如分?jǐn)?shù)與除法的類比，分式與分?jǐn)?shù)的類比，乘法與加法的類比等。從舊知識(shí)去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，這不僅僅能起到事半功倍的效果，還將會(huì)大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，取得良好的學(xué)習(xí)效果。

如已知甲校學(xué)生數(shù)是乙校學(xué)生數(shù)的百分之四十，甲校女生數(shù)是甲校學(xué)生數(shù)的百分之三十，乙校男生數(shù)是乙校學(xué)生數(shù)的百分之四十二，那么兩校女生總數(shù)占兩校學(xué)生總數(shù)的百分之幾?

【思考】設(shè)甲校學(xué)生為40，則乙校學(xué)生為100，甲校的女生是12，乙校的女生是58，所以兩校女生總數(shù)占兩校學(xué)生總數(shù)的(12+58)÷(40+100)=50％。

總結(jié)此類問(wèn)題的特點(diǎn)是：已知和所求僅僅與百分比有關(guān)，而與具體數(shù)無(wú)關(guān)。于是，我們便可以用特殊值來(lái)巧求。掌握了這一類問(wèn)題的特點(diǎn)，我們就掌握了解決這類問(wèn)題的途徑和方法。那么，在解答下面更難一些的問(wèn)題時(shí)，心中便有數(shù)了。

某出版社出版的某種書(shū)，今年每?jī)?cè)的成本比去年增加百分之十，但仍然保持原售價(jià)，因此每本盈利下降了百分之四十。但今年的發(fā)行冊(cè)數(shù)比去年增加百分之八十，那么今年發(fā)行這種書(shū)獲得的總盈利比去年增加百分之幾?

教師就可以啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、類比來(lái)探索結(jié)果。

【思考】設(shè)去年每本盈利10元，則今年每本盈利6元。又設(shè)去年的發(fā)行冊(cè)數(shù)為100冊(cè)，則今年的發(fā)行冊(cè)數(shù)是180冊(cè)。

因此，今年獲得的總盈利比去年增加了：(6×180-10×100)÷(10×100)=8％。

連設(shè)兩個(gè)特殊值，使問(wèn)題得以巧妙地解決，充分體現(xiàn)出類比確實(shí)是一個(gè)偉大的引路人，類比是發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)，是創(chuàng)新的前提。

三、猜想

數(shù)學(xué)猜想是指根據(jù)某些數(shù)學(xué)現(xiàn)象而作出的預(yù)測(cè)性判斷，以及作出這些判斷的思維過(guò)程。數(shù)學(xué)家波利亞指出：“在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜想這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全作出詳細(xì)證明之前，你先得推測(cè)證明的思路，你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合，然后加以類比。你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果，是論證推理，即證明；但這個(gè)證明是通過(guò)合情推理，通過(guò)猜想而發(fā)現(xiàn)的?！币虼?，在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視猜想。學(xué)生在課堂上積極、主動(dòng)地探究，需要猜想來(lái)引發(fā)。沒(méi)有猜想，就不會(huì)有探究。徐利治說(shuō)：“探索性思維中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是提出一個(gè)有希望的合理的猜測(cè)?！?/p>

猜想是探索性思維的方向，具有定位性、開(kāi)拓性和創(chuàng)造性，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)證明的前兆。

當(dāng)前新課程改革課堂教學(xué)的主要模式是創(chuàng)設(shè)情境，提出猜想(通過(guò)歸納或類比)，驗(yàn)證猜想(一般由合情推理來(lái)完成)，深化理解，總結(jié)提高。

如在教學(xué)3的倍數(shù)的特征時(shí)，可以通過(guò)下面的教學(xué)過(guò)程來(lái)進(jìn)行。

①創(chuàng)設(shè)一個(gè)情景(如寫(xiě)出一些3的倍數(shù)的數(shù))；

②觀察分析(獨(dú)立探究——小組合作交流，提出猜想)；

③討論猜想(教師引導(dǎo)全班合作，對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證、修正，完善猜想：一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù))；

④探究猜想的成因(突出歸納推理——合情推理的重要意義)；

⑤小結(jié)(教師給出結(jié)論，強(qiáng)調(diào)猜想的正確性)；

⑥應(yīng)用；

⑦提高(9的倍數(shù)的特征如何?教師引導(dǎo)，尋找3與9的關(guān)系，通過(guò)類比來(lái)引導(dǎo)學(xué)生提出猜想)；

⑧驗(yàn)證猜想(得到9的倍數(shù)的特征是：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是9的倍數(shù))；

⑨課堂總結(jié)。

學(xué)生思維活躍，富于幻想，敢于猜想。但是，受知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的限制，有時(shí)會(huì)提出一些幼稚可笑甚至錯(cuò)誤的想法，這時(shí)教師非但不能諷刺打擊，給予抹殺，反而應(yīng)該加以鼓勵(lì)，給予正確引導(dǎo)。讓他們保持思維的積極性，給以他們敢想的勇氣。因?yàn)檫@些看似可笑、錯(cuò)誤的想法，總是蘊(yùn)含著孩子們的創(chuàng)造性思維的成果。那些不拘一格的猜想，就是創(chuàng)造性思維的體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)推理，“合情推理”是小學(xué)生特別容易接受的一種推理方式，讓學(xué)生形成推理的意識(shí)和習(xí)慣，這對(duì)于培養(yǎng)他們追求真理、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度具有十分重要的意義。鑒于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，必須時(shí)適地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“合情推理”、“猜想”得到的結(jié)果給予嚴(yán)格說(shuō)明(證明)的必要性。因?yàn)椋挥薪?jīng)過(guò)合情推理、嚴(yán)格論證的結(jié)論，才具有真理性，誰(shuí)也無(wú)法否認(rèn)。而凡是偏離這兩條原則獲得的結(jié)論，不管怎樣錯(cuò)綜復(fù)雜、撲朔迷離，終究會(huì)被推翻或淘汰。小學(xué)生長(zhǎng)期在這樣的環(huán)境的熏陶下，誠(chéng)實(shí)與正直的優(yōu)秀品質(zhì)將會(huì)慢慢地養(yǎng)成。