開放題是指“那些答案不唯一，開放并在設(shè)問的方式上要求學(xué)生進(jìn)行多方位、多角度、多層次探索的數(shù)學(xué)題。”開放題又分為條件開放題、結(jié)論開放題、條件與結(jié)論都開放以及策略開放題等。

一、 開放題可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力

1.1 觀察開放題的條件與結(jié)論是應(yīng)變的觸角

例1（2005年上海高考題）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC 則△ABC的形狀一定是（）

(a)等腰直角三角形，(b)直角三角形，(c)等腰三角形，(d)等邊三角形。

解：因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為?仔，由題設(shè)有2cosBsinA=sinC，推出2cosBsinA=sinC=sin?仔-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 推出sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0?圯-?仔＜A-B＜?仔?圯A-B=0∴A=B

故(c)是正確的選擇支。

將這一高考題搖身一變，就可以成為第二輪復(fù)習(xí)考試題例，或例2?；A(chǔ)差的學(xué)生一籌莫展，不知如何下手，這是為什么呢？當(dāng)然這是中等偏下的學(xué)生，優(yōu)等生當(dāng)然不會(huì)這樣。

1.2 比較是應(yīng)變的重要方法

通過比較， 發(fā)現(xiàn)上面兩題， 后者是前者的條件開放題; 而下面的例3也是條件與策略同時(shí)開放的進(jìn)一步開放題。

二、 聯(lián)想是培養(yǎng)應(yīng)變能力的橋梁

古希臘哲學(xué)家亞里士多德說:“我們的思維是從與正在尋求的事物相類似的事物， 相反的事物， 或者與它相接近的事物開始進(jìn)行的， 以后， 便追尋與它相關(guān)聯(lián)的事物，由此產(chǎn)生聯(lián)想?！甭?lián)想是客觀事物普遍聯(lián)系的規(guī)律和大腦的聯(lián)結(jié)功能在心理思維的反映。想象是伴隨著聯(lián)想， 聯(lián)想是想象的初級(jí)階段， 而聯(lián)想喚起對(duì)公式的回憶， 并觸發(fā)靈感。聯(lián)想分有意聯(lián)想與無意聯(lián)想， 前者是有意志、有目的地聯(lián)想; 后者則相反。它又是以觀察為基礎(chǔ)， 以想象為翅膀， 以記憶為保證， 以思維為核心的重要方法。

例3在△ABC中，若方程x2-xsinAcosB+sinC=0 的二根之和等于二根之積的一半，試判定此三角形的形狀？

分析：這是一個(gè)開放題，它還是一個(gè)條件開放題，由韋達(dá)定理：方程的兩根之和與兩根之積分別為 學(xué)生一籌莫展的原因，歸根到底是能力不強(qiáng)，進(jìn)一步分析是基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢，理解能力、應(yīng)變能力、分析問題能力、解決問題的能力與類比聯(lián)想能力不強(qiáng)所致。

三、 理解能力是學(xué)生掌握知識(shí)的起點(diǎn)

什么是理解能力呢？所謂理解就是通過思維與想象把感性認(rèn)識(shí)提高到理性認(rèn)識(shí)，除理解數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理及其知識(shí)體系之外，還要理解解題策略與數(shù)學(xué)思想方法。

3.1 觀察與分析是理解的基礎(chǔ)

(a)等腰直角三角形，(b) 直角三角形，(c)等腰三角形，(d)等邊三角形。

用設(shè)計(jì)提問培養(yǎng)學(xué)生的觀察與分析能力：①觀察已知的三角等式，左邊分別是角A、B 的正弦，而右邊是第3個(gè)角的一半的余弦的平方，如何化簡(jiǎn)才能使其統(tǒng)一？②用什么公式才能達(dá)此目的——降冪公式。③什么降冪公式？如何進(jìn)一步推導(dǎo)？推導(dǎo)的目標(biāo)是什么？

3.2 抽象與概括是理解的關(guān)鍵

知識(shí)是對(duì)經(jīng)驗(yàn)的概括，技能是對(duì)一系列行為方式的概括，能力則是對(duì)思維材料進(jìn)行加工活動(dòng)的過程的概括。關(guān)于判定三角形的形狀，其條件既可以是三個(gè)角的三角函數(shù)的關(guān)系，又可以是帶三角函數(shù)系數(shù)的一元二次方程，用韋達(dá)定理概括的條件。只有能抽象與概括的知識(shí)，才能在應(yīng)變能力的應(yīng)用中得心應(yīng)手。

以上4道題都是從三角函數(shù)入手，用三角函數(shù)的兩角和（或差）的公式來判定三角形的形狀；也可以用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，從a2=b2?圯a=ba2=b2?圯a=b而證明，從策略開放而得出的抽象與概括是理解的關(guān)鍵。

四、 類比聯(lián)想是培養(yǎng)應(yīng)變能力的翅膀

數(shù)學(xué)教師又提出例6例7 ，這是用對(duì)偶類比方式，為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維而編造出來的，并且，兩道選擇題，只解一道，讀者證另一道。這也是類比聯(lián)想的結(jié)果。所謂類比就是一種相似。它是從一種特殊到另一種特殊的推理。

(a)等腰直角三角形，(b)直角三角形，(c)等腰三角形，(d)等邊三角形。

(a)等腰直角三角形，(b)直角三角形，(c)等腰三角形，(d)等邊三角形。

為了培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、理解和類比聯(lián)想的能力，還可以引導(dǎo)學(xué)生一題多解，把三角函數(shù)通過正、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再判斷三角形的形狀，讓學(xué)生感受到“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”。

綜上所述，我們以類比為方法，以聯(lián)想為手段，以探索為方式，得出用開放題來培養(yǎng)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)、猜想、創(chuàng)新能力的行之有效的方法。正如波利亞說：“得自許多類似情況的類比結(jié)論比得自較少情況的類比結(jié)論要強(qiáng)。但是這里質(zhì)量仍然比數(shù)量更為重要，清晰的類比模糊的相似更有價(jià)值。”

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。