著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家Polya的名著《怎樣解題》中的“解題表”風(fēng)靡全球。該表從普遍性和常識(shí)性的角度出發(fā)，把問題的解決過程分為四個(gè)步驟：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧問題。作為中學(xué)教師，有必要在教學(xué)中讓學(xué)生養(yǎng)成一個(gè)良好的解題習(xí)慣。好的解題習(xí)慣不僅有助于問題的解決，而且有利于良好思維品質(zhì)的培養(yǎng)。培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑應(yīng)該是多方面多角度，而在教學(xué)實(shí)踐中貫徹“解題表”中的四個(gè)步驟，不失為較為有效的方法。在四個(gè)步驟中，我們應(yīng)該重視“弄清問題”和“回顧問題”，“弄清問題”實(shí)際上指正確地審題，它往往決定了方法的優(yōu)劣；而“回顧問題”就意味著多方位地反思該問題，包括檢驗(yàn)問題、一題多解以及推廣問題，它決定了解題的準(zhǔn)確性。

（一） 審題與再審題

正確的審題應(yīng)該由審題與再審題兩部分組成，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力更應(yīng)該讓學(xué)生養(yǎng)成“再審題”的解題習(xí)慣。學(xué)生解題時(shí)往往粗枝大葉地看一下條件、結(jié)論，然后憑直覺按某一思路做下去，這樣的結(jié)果不是舍近求遠(yuǎn)，就是誤入歧途。GPolya強(qiáng)調(diào)：“回答一個(gè)你尚未弄清的問題是愚蠢的?！比魧W(xué)生有“再審題”的習(xí)慣，當(dāng)解題受阻時(shí)，再回頭仔細(xì)觀察分析題目中條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，從中得到新的啟發(fā)與聯(lián)想，就不難解決問題了。

1.1 在審題與再審題中挖掘隱含條件

所謂隱含條件，是指題目中含而未露、不易察覺的固有條件。解題時(shí)，若忽視對(duì)隱含條件的挖掘，很容易使求解過程陷入困境，或是得到錯(cuò)誤的結(jié)論。

分析：按常規(guī)思維展開組合式是無法求解的。若能從原始式子中發(fā)現(xiàn)組合數(shù)存在的意義，即0?蕎22-n?蕎2n，0?蕎5n-25?蕎2n，(n?綴Ｎ），則不難得出n=8，代入原方程可求出x=15或x=2。

1.2 在審題與再審題中確定解題方向

例2在△ABC中，|BC|=8，AB，AC邊上的中線分別為CD，BE，已知|CD|+|BE|＝15，求△ABC的重心G的軌跡方程，并說明軌跡表示的圖形。

分析：以BC為x軸、BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系后，設(shè)G(x，y)，由C(4，0)，B(-4，0)，重心G分別為CD和BE的定比分點(diǎn)，得：

然后由|CD|+|BE|=15，將D，E的坐標(biāo)代入，但化簡的過程非常復(fù)雜，讓人望而生畏。此時(shí)，回頭再審題，發(fā)現(xiàn)條件為|CD|+|BE|=15，結(jié)論為求點(diǎn)G的軌跡，能否把條件與結(jié)論掛上鉤呢？

那么點(diǎn)G到B，C兩定點(diǎn)的距離和為定值10，所以點(diǎn)G的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的一個(gè)橢圓，2a=10，5=5;2c=8，c=4，∴b=3因此點(diǎn)G的軌跡方程為：

表示的曲線是以為(-4，0)，(4，0)焦點(diǎn)，長軸長為10，并去掉與x軸的交點(diǎn)的橢圓。

評(píng)注：審題與再審題在此題中的體現(xiàn)是對(duì)條件“|CD|+|BE|=15”的觀察角度及其處理方法，一開始僅僅把它作為一個(gè)等量關(guān)系來對(duì)待，容易入手但難以走到頭；再次審題時(shí)把它作為一個(gè)方程來對(duì)待，迎刃而解。解題中要對(duì)關(guān)鍵的條件再三推敲，以期找到解題的方向。

1.3 在審題與再審題中促使知識(shí)正遷

解題的過程實(shí)際上是一個(gè)知識(shí)的不斷遷移過程，知識(shí)的遷移若是正向的，就能有助于問題的解決。在解題中，正確的審題與再審題，有助于知識(shí)的正遷移。

評(píng)注：兩種思路，前者從條件直接出發(fā)，通過代數(shù)運(yùn)算得出結(jié)果；后者從幾何角度重新審視條件，雖然解題步驟相當(dāng)，但審題角度完全不同。值得注意的是：代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化也是我們解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，不同知識(shí)之間的這兩種方法的實(shí)施，很大程度上決定于“審題與再審題”。

（二） 反思與再反思

2.1 通過反思與再反思，檢驗(yàn)問題

這個(gè)結(jié)果正確嗎？

說明：此題是2002年蘇州高一的統(tǒng)考試卷上的一個(gè)題目，命題者與絕大多數(shù)的學(xué)生、老師在當(dāng)時(shí)均未意識(shí)到此題是一個(gè)錯(cuò)題。但現(xiàn)在想來，這個(gè)錯(cuò)誤應(yīng)該是不難發(fā)覺的。利用基本不等式求最值，等號(hào)的是否成立是關(guān)鍵，我們應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生這種檢驗(yàn)與反思的習(xí)慣。

2.2 通過反思與再反思，拓展問題

前蘇聯(lián)的教育家贊可夫說：“要以知識(shí)本身吸引學(xué)生學(xué)習(xí)，使學(xué)生感到認(rèn)識(shí)新事物的樂趣，體驗(yàn)克服困難的喜悅?！苯逃睦韺W(xué)認(rèn)為：思維是從提出問題開始的。因此，當(dāng)一個(gè)問題得到解決時(shí)，并為學(xué)生充分理解后，學(xué)生獲得的信息沒有什么不確定性，稱為飽和信息。此時(shí)，教師應(yīng)抓住學(xué)生的思維轉(zhuǎn)折點(diǎn)，將原問題進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)已知問題進(jìn)行一般化、特殊化或逆向思考，拓寬與引申問題，在熟悉的問題中，延伸出新問題，從而激活學(xué)生的思維。

通過這一組問題的補(bǔ)充，步步深入，從一般到特殊，使學(xué)生對(duì)這個(gè)特殊的函數(shù)有了充分認(rèn)識(shí)與理解。

反思，既是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，又是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的沃土，數(shù)學(xué)教師只要細(xì)心耕耘這片沃土，就能產(chǎn)生四個(gè)“有助于”：一是有助于防止學(xué)生思考中的失誤，因?yàn)檫@種失誤是會(huì)經(jīng)常發(fā)生的；二是有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)思維中不受一解、一法、一式的限制，拓展思路，養(yǎng)成多向思維的習(xí)慣，培養(yǎng)思維的靈活性；三是有助于聯(lián)想，能把與此有關(guān)的知識(shí)、方法聯(lián)系起來，進(jìn)而擴(kuò)大和加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)，起到舉一反三的作用；四是有助于發(fā)現(xiàn)新的方法和技巧，從已知發(fā)現(xiàn)未知的數(shù)學(xué)真理。

解題是中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的心臟。Polya強(qiáng)調(diào)指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練?！彼幸痪涿裕骸罢莆諗?shù)學(xué)就是意味著善于解題?！蔽覀円匾曉诮忸}過程中發(fā)展學(xué)生的思維、培養(yǎng)學(xué)生的能力、促進(jìn)學(xué)生良好思維品質(zhì)的構(gòu)成。所有這些，需要學(xué)生具備良好的解題習(xí)慣，而審題與反思的習(xí)慣，正是學(xué)生普遍缺乏但又十分重要的方面。作為一線的中學(xué)教師，有必要在教學(xué)過程中注重對(duì)學(xué)生解題習(xí)慣的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成教育。

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