摘要：對(duì)稱(chēng)問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是近幾年高考中的熱點(diǎn)，主要有點(diǎn)、直線、曲線關(guān)于點(diǎn)和直線對(duì)稱(chēng)兩種。中點(diǎn)坐標(biāo)公式或兩條直線垂直的條件是解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的重要工具。解析幾何中的中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題最終都可以歸結(jié)為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題加以解決。

關(guān)鍵詞:點(diǎn)；直線；中心對(duì)稱(chēng)；軸對(duì)稱(chēng)

對(duì)稱(chēng)思想是近幾年高考中的熱點(diǎn)，它主要分為中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)兩種，解對(duì)稱(chēng)問(wèn)題要把握對(duì)稱(chēng)的實(shí)質(zhì)，掌握其解題方法，提高解題的準(zhǔn)確性和解題的速度，它主要有以下幾種情況:

(一)中心對(duì)稱(chēng)

⒈ 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

⒉ 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

例1:求直線 x+y-2=0 關(guān)于點(diǎn)P(a，b)對(duì)稱(chēng)的直線方程.

分析一:在已知直線上z任取兩點(diǎn)A、B，再分別求出A、B關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′、B′，然后由兩點(diǎn)式可得所求直線方程.

解:在直線x+y-2=0上取兩點(diǎn)A(0，2)、B(1，1)，則它們關(guān)于P(a，b)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)分別為 A′(2a，2b-2)、B(2a-1，2b-1)，由兩點(diǎn)式得所求直線為:

分析二:中心對(duì)稱(chēng)的兩條直線是互相平行的，并且這兩條直線與對(duì)稱(chēng)中心的距離相等.

解:設(shè)所求直線方程為x+y+λ=0，則

點(diǎn)評(píng):方法三為相關(guān)點(diǎn)法，是求曲線方程的一種常用方法，可進(jìn)一步推廣:曲線C:f(x，y)=0關(guān)于點(diǎn)P(a，b)對(duì)稱(chēng)的曲線C′的方程為f(2a-x，2b-y)=0.特別的， 曲線f(x，y)=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的曲線方程為: f(-x，-y)=0.

(二)軸對(duì)稱(chēng)

⒈ 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)

例2:M(-1，3)關(guān)于直線:x+y-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′的坐標(biāo).

解二:過(guò)點(diǎn)M(-1，3)與直線l 垂直的直線的斜率k=1，則直線方程為x-y+4=0.

設(shè)M關(guān)于直線l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′，則E為線段MM′的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知:M′的坐標(biāo)為(-2，2)

解三:設(shè)M′(a，b)， 線段MM′的垂直平分線上的任意一點(diǎn)為A(x，y).

∵M(jìn)A=M′A ， ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2

這就是已知直線 l的方程

故點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(-2，2)

⒉ 直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)

例3:⑴求直線a:2x+y-4=0關(guān)于直線l :3x+4y-1=0對(duì)稱(chēng)的直線b的方程.

⑵求直線 l1:2x-y+3=0關(guān)于直線l :2x-y+4=0對(duì)稱(chēng)的直線l2 的方程.

分析:由平面幾何知識(shí)知，若a、b關(guān)于直線 l對(duì)稱(chēng)，則應(yīng)具有以下性質(zhì):①當(dāng)a、b相交時(shí)，則對(duì)稱(chēng)軸是a、b交角的平分線(且通過(guò)交點(diǎn)); 當(dāng)a、b平行時(shí)，則a、b與對(duì)稱(chēng)軸的距離相等. ②若點(diǎn)A在直線a上，則點(diǎn)A關(guān)于直線 l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B一定在直線b上，并且AB⊥l ;AB的中點(diǎn)在l 上.

⑴解一:由

2x+y-4=03x+4y-1=0得a與l的交點(diǎn)Ｅ為（３，２）則E(3，-2)一定在b上，設(shè)b的斜率為k，于是

(三)特殊的對(duì)稱(chēng)關(guān)系

點(diǎn)(a，b)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(a，-b)；

點(diǎn)(a，b)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-a，b)；點(diǎn)(a，b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-a，-b)；點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(b，a)；點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線y=x+m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(b-m，a+m)；點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線y=-x+m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(m-b，m-a).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。