[摘要] 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型并非只是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推理過程，而是一種經(jīng)濟(jì)分析活動(dòng)。就其最終目標(biāo)來看，旨在借助數(shù)學(xué)工具解釋經(jīng)濟(jì)理論，表述經(jīng)濟(jì)規(guī)律。本文通過生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的構(gòu)造，闡述了經(jīng)濟(jì)理論先行原則的具體運(yùn)用，展現(xiàn)了避免經(jīng)濟(jì)分析隨意化的具體方法。

[關(guān)鍵詞] 西方經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)模型生產(chǎn)函數(shù)成本函數(shù)

一、生產(chǎn)函數(shù)的構(gòu)造

在生產(chǎn)理論中，要研究總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量、邊際產(chǎn)量隨著勞動(dòng)投入的變化而增減的規(guī)律?？偖a(chǎn)量是先增后減，在增加階段，先以遞增的速率增加，達(dá)到一定程度后，再以遞減的速率增加；在減少階段，則是以遞增的速率減少。這一過程體現(xiàn)了邊際報(bào)酬遞減規(guī)律的作用。這一規(guī)律，無論是從歷史還是現(xiàn)實(shí)的角度看都有科學(xué)意義，在此規(guī)律作用下，在技術(shù)水平不變的情況下，，當(dāng)不變生產(chǎn)要素已經(jīng)充分利用時(shí)，繼續(xù)追加可變要素，不僅生產(chǎn)效率不會(huì)提高，反而降低，最終表現(xiàn)為總產(chǎn)量的減少。就平均產(chǎn)量與邊際產(chǎn)量的關(guān)系而言，當(dāng)邊際產(chǎn)量大于平均產(chǎn)量時(shí)，平均產(chǎn)量上升，當(dāng)邊際產(chǎn)量小于平均產(chǎn)量時(shí)，平均產(chǎn)量下降，當(dāng)邊際產(chǎn)量等于平均產(chǎn)量時(shí)，平均產(chǎn)量達(dá)到最大值。即平均產(chǎn)量線與邊際產(chǎn)量線相交于平均產(chǎn)量線的最高點(diǎn)。這些理論，是依據(jù)大量生產(chǎn)活動(dòng)實(shí)踐總結(jié)出來的，較好地解釋了經(jīng)濟(jì)活動(dòng)規(guī)律。為了形象直觀、精煉準(zhǔn)確的表述這些內(nèi)容，我構(gòu)造了一個(gè)非初等函數(shù):

當(dāng)0

當(dāng)時(shí)，由于在[10，20+]上連續(xù)，在（10，20+)內(nèi)可導(dǎo)，且由此得到：

進(jìn)而得到：

用這一模型可以反映總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量、邊際產(chǎn)量的變化規(guī)律。當(dāng)10

再進(jìn)一步求出APL，令A(yù)PL=APL，解出L=，在該點(diǎn)，平均產(chǎn)量達(dá)到最大。至此，就完整地表達(dá)了總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量、邊際產(chǎn)量之間的關(guān)系。

在這一模型的構(gòu)造中，根據(jù)總產(chǎn)量先升后降的特征，可以構(gòu)造一條開口向下的拋物線，這條拋物線在其上升階段，其切線斜率是遞減的，即生產(chǎn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是遞減的，這反映出總產(chǎn)量增加的速率是遞減的。但根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，總產(chǎn)量在增加階段，其增加的速率是先遞增，后遞減，因此，要有一段其切線斜率是遞增的曲線。容易想到，上凹的拋物線其上升部分切線斜率是遞增的，即相應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是遞增的。將這兩條凹向不同的拋物線連接，就能模擬產(chǎn)量的變化規(guī)律，較好的發(fā)揮數(shù)學(xué)模型對(duì)于經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象及其規(guī)律的詮釋功能，為進(jìn)一步運(yùn)用模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量變化趨勢(shì)奠定基礎(chǔ)。

二、成本函數(shù)的構(gòu)造

其基本思想是：相對(duì)于給定的產(chǎn)量q，求出使成本最低的要素投入組合（L，k），進(jìn)而確定此時(shí)的成本，即，成本是產(chǎn)量和要素價(jià)格的函數(shù)。

首先要求出擴(kuò)張路線方程。由于擴(kuò)張路線是均衡點(diǎn)的軌跡，因而在擴(kuò)張路線上，必滿足均衡條件:，由此即得擴(kuò)張路線方程。其次，與生產(chǎn)函數(shù)聯(lián)立，求出使成本最低的要素投入組合（L，k）， ，要素投入量也是產(chǎn)量和要素價(jià)格的函數(shù)。最后，將L，K代入，即得。

例如，設(shè)，則擴(kuò)張路線方程為，由此解出代入后求得 。

若w及r是常數(shù)，則就是產(chǎn)量q的一元函數(shù)，通常我們用三次函數(shù)來表現(xiàn)它:，根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論先行的原則，可確定系數(shù)的符號(hào)。

1.所以是固定成本。從短期看廠商能改變勞動(dòng)力的使用量，改變?cè)牧?、燃料等的投入量，但不能變?dòng)廠房規(guī)模、機(jī)器設(shè)備數(shù)量等，既存在固定成本，故>0從長(zhǎng)期看，廠商的全部生產(chǎn)要素投入量都可以變動(dòng)，如廠房規(guī)模、機(jī)器設(shè)備數(shù)量等，因此，不存在固定成本和可變成本的區(qū)別，故=0，于是知:≥0。

2.由于邊際成本為正（總成本總是隨著產(chǎn)量的增加而增加的），所以γ>0。又因?yàn)?，當(dāng)q充分大時(shí)，上式遵從α的符號(hào)。由于>0所以α>0。

3.由于>0 所以沒有實(shí)數(shù)根，從而 。

4.是邊際成本，當(dāng)q=0時(shí)，邊際成本是遞減的，故。

上述過程從數(shù)學(xué)角度看，無非是討論了三次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與系數(shù)的關(guān)系，但從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度看，卻表現(xiàn)出總成本與邊際成本的變化規(guī)律。兩者的一致性反映了數(shù)學(xué)模型反映現(xiàn)實(shí)的正確性，不一致之處則凸顯出數(shù)學(xué)模型的局限性。這正說明，用數(shù)學(xué)模型模擬經(jīng)濟(jì)活動(dòng)規(guī)律的工作，還存在著較大的發(fā)展空間。

在研究經(jīng)濟(jì)問題時(shí)，經(jīng)濟(jì)直覺是本，數(shù)學(xué)工具是末。在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)工具的重要性時(shí)，更要強(qiáng)調(diào)經(jīng)濟(jì)直覺的重要性，經(jīng)濟(jì)直覺經(jīng)過論證形成了經(jīng)濟(jì)理論。因此，必須堅(jiān)持經(jīng)濟(jì)理論先行原則，才能恰如其分的運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，避免因陷入繁雜的數(shù)學(xué)推理而淹沒以至誤導(dǎo)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究方向。