球有非常完美的對(duì)稱性，它有很多性質(zhì)都可以類比到圓的性質(zhì)中來(lái)研究，但是由于它的圖比較難畫，所以在研究起來(lái)又有些抽象，如果再把球與其他的幾何體進(jìn)行組合，那么它的難度就更大了，而這類題通常在競(jìng)賽中容易出現(xiàn). 本文對(duì)球與部分多面體組合的一些問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了便于研究此類問(wèn)題的思想與方法，供大家參考.

一、 正方體的內(nèi)切球與外接球

問(wèn)題教材［人民教育出版社高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下）］Ｂ８３頁(yè)練習(xí)：一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)是４ ，求這個(gè)球的體積．

延伸（１）正方體的內(nèi)切球的半徑與正方體的棱長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？

（２）與正方體各棱相切的球的半徑與正方體的棱長(zhǎng)之間的關(guān)系.

分析研究正方體的棱長(zhǎng)于它的內(nèi)切球、外接球及與棱相切的球的半徑之間的關(guān)系，重要的是要找到合適的截面.

為了便于理解正方體與球的關(guān)系，我們不妨用一個(gè)動(dòng)畫過(guò)程來(lái)體現(xiàn). 首先我們假設(shè)正方體的體中心放一個(gè)很小的小球，然后讓小球的半徑不斷增大，當(dāng)它大到一定程度時(shí)，就會(huì)與正方體的各個(gè)面相切，此時(shí)小球成為正方體的內(nèi)切球；然后再增大，小球就會(huì)沖破正方體各面，與正方體的各條棱相切；小球半徑繼續(xù)增大，最終只有正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在球的表面上，小球成為正方體的外接球. （如圖）

解設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a ，內(nèi)切球半徑為R內(nèi) ，與棱相切的球的半徑為R棱 ，外接球半徑為 R外 .圖１－１為球與正方體各面相切，截面為經(jīng)過(guò)上下底面中心及兩個(gè)相對(duì)側(cè)面的中心的平面截正方體及球所得到的平面圖形，易知， R內(nèi) =a.

圖１－２為球與各棱相切，截面為經(jīng)過(guò)正方體體中心及四條相對(duì)棱的中點(diǎn)的平面截正方體及球所得到的平面圖形，易知 R棱 = a .

圖１－３為正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在球的表面上，截面為經(jīng)過(guò)正方體對(duì)角線的平面截正方體及球所得到的平面圖形，易知R外 = a .

二 、 正四面體的內(nèi)切球與外接球

問(wèn)題正四面體棱長(zhǎng)為 a，求其內(nèi)切球和外接球的半徑．

分析如圖2-1，正四面體可以看作是一個(gè)正方體切去四個(gè)角而得到的，根據(jù)球與正方體的關(guān)系以及正四面體本身的對(duì)稱性，可以知道正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心重合，即為原正方體的體中心．

通過(guò)一個(gè)動(dòng)畫過(guò)程如圖2-2來(lái)研究，在正方體的體中心放一個(gè)小球，小球半徑不斷增大，大到一定程度時(shí)先與正四面體的各面相切，再繼續(xù)增大，之后就會(huì)和正四面體的各棱相切；小球繼續(xù)增大，最后正方體的各頂點(diǎn)在球的表面上，此時(shí)小球既是正方體的外接球也是正四面體的外接球. 由此，我們很容易由正方體的外接球半徑進(jìn)而得到正四面體的半徑. 再根據(jù)正四面體的高和一條斜高所確定的截面圖形及三角形相似可得內(nèi)切球半徑.

作好本題的重點(diǎn)就是選好截面，找到內(nèi)切球和外接球的半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系．

對(duì)于一般的三棱錐就沒(méi)有這樣的性質(zhì)了，但對(duì)于正棱錐來(lái)說(shuō)，他們的內(nèi)切球與外接球的球心雖然不重合，但它們都在高線上，我們?nèi)匀豢梢赃x擇軸截面來(lái)研究他們．

另外，我們?cè)谇笳拿骟w的內(nèi)切球半徑時(shí)，還可以用分割體積法來(lái)求. 而此法更不失一般性，多數(shù)多面體都可以用這種辦法來(lái)求其內(nèi)切球半徑.

簡(jiǎn)解設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 b，正四面體棱長(zhǎng)為a，正四面體內(nèi)切球半徑為 R內(nèi)，外接球半徑為 R外.

解法一由于正方體的外接球與正四面體外接球是同一球，所以R外 = b ，而a = b ，所以R外 = a，而正四面體的高為 a，所以R內(nèi) = a- a =a .

解法二 正四面體的內(nèi)切球球心與各頂點(diǎn)連線，把整個(gè)正四面體分成四個(gè)小三棱錐．所以正四面體的體積等于四個(gè)小三棱錐的體積之和，而每個(gè)小三棱錐的高為內(nèi)切球半徑，底面為正四面體的一個(gè)面，所以有V正四面體

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”