〔關(guān)鍵詞〕 反證法；否定性命題；唯一性命題

〔中圖分類號(hào)〕 G633.63〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2007）10（B）—0049—01

Ⅰ.關(guān)于否定性的命題

當(dāng)命題中含有“不存在”、“不可能”之類的否定性結(jié)論時(shí)，命題可采用反證法.

例1：圓內(nèi)非直徑的兩弦相交不能互相平分.

已知：弦AB、CD相交于P.

求證：AB、CD不能互相平分.

分析：這個(gè)命題的結(jié)論是否定的，是“不能互相平分”，它的反面是“能互相平分”.結(jié)論的反面比結(jié)論本身易證，可用反證法.

證明：假設(shè)AB、CD互相平分.

∵AB、CD不是直徑，

∴點(diǎn)P與O不重合.

連接OP，

∵AP=PB，∴OP⊥AB.

同理可證OP⊥CD.

這就是說，過點(diǎn)P有兩條直線AB、CD都垂直于OP，這與“過一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾.

∴ AB、CD不能互相平分.

Ⅱ.某些唯一性的命題

命題中含有“唯一存在”、“只有一個(gè)”之類的結(jié)論，宜用反證法.

例2：求證兩直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).

已知：直線a和b交于點(diǎn)O.

求證：直線a和b只有一個(gè)交點(diǎn)O.

證明：假設(shè)直線a和b相交不只有一個(gè)交點(diǎn)O，那么a和b至少有兩個(gè)交點(diǎn)O、P.這時(shí)，直線a是由O、P兩點(diǎn)確定的直線，直線b也是由O、P兩點(diǎn)確定的直線.這樣，由O、P兩點(diǎn)就確定了兩條直線.這與公理“兩點(diǎn)只能確定一條直線”相矛盾.

∴兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).

Ⅲ.關(guān)于“最多”、“最少”之類結(jié)論的命題

例3：求證三角形的內(nèi)角中，最多只能有一個(gè)鈍角.

已知：任意一個(gè)三角形.

求證：三個(gè)內(nèi)角中，最多只能有一個(gè)鈍角.

證明：假設(shè)還有一個(gè)內(nèi)角是鈍角，則這兩個(gè)內(nèi)角和大于180°，這與“三角形內(nèi)角和定理”相矛盾.

∴三角形的內(nèi)角中，最多只能有一個(gè)鈍角.

Ⅳ.難于直接使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論的命題

例4：一個(gè)三角形中有兩個(gè)角的平分線相等，則這個(gè)三角形是等腰三角形.

已知：△ABC中，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線.且BE=CF.

求證：△ABC是等腰三角形.

證明：假設(shè)AB>AC，則∠ACB>∠ABC.

于是∠BCF>∠CBE.

在△BCF和△CBE中，BC= BC，BE=CF，∠BCF>∠CBE，

∴ BF >CE.(1)

作平行四邊形BEGF，則∠1=∠FBE=∠CBE<∠FCE.

而FC=FG，連結(jié)CG，則∠FGC=∠FCG.

∴∠2>∠3，∴CE>GE，即BF

故AB>AC不成立.

同理，可證AB

∴只有AB=AC.

Ⅴ.某些起始命題

在各個(gè)數(shù)學(xué)分支中，按照公理化方法，最初建立的僅是數(shù)量不多的定義和公理.因此，對(duì)于證明某些起始性質(zhì)或定理的預(yù)備知識(shí)不夠.直接證明有困難，宜用反證法.

例5：切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

已知：直線AT是⊙O的切線，A為切點(diǎn).

求證：AT⊥OA.

分析：到學(xué)切線性質(zhì)為止，關(guān)于切線的知識(shí)僅知道兩條：①切線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；②圓心到切線的距離等于半徑.沒有更多的定理可作論證依據(jù)，此時(shí)，可用反證法.

證明：假設(shè)AT與OA不垂直.過O作OM⊥AT，交AT于M.

由垂線段最短，得OM

∵圓心到直線AT的距離小于半徑，∴AT與⊙O相交.這與已知相矛盾.

∴AT⊥OA.

以上幾類命題，用反證法一般都能收到良好的效果.此外，涉及到對(duì)象無法一一列舉的命題，如：求證素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，以及某些定理的逆命題不宜用反證法.不過，這在初中階段很少出現(xiàn)，所以這里不再贅述.

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