沈致遠(yuǎn)

數(shù)學(xué)公式分為三大類(lèi)：恒等式、等式、不等式。

恒等式的變量取任何數(shù)值都相等。例如：(x+y)2=x2+2xy+y2，無(wú)論x、y取何值，此式兩邊都相等。就像天平兩邊等重，兩臂永遠(yuǎn)持平。

等式的變量必須取特定數(shù)值才相等。例如：x2=1，只有x=1或x=-1，此等式兩邊才相等。就像天平稱(chēng)物，放上特定砝碼兩臂才持平。

顧名思義，不等式的兩邊不相等。例如：x>0，x是正數(shù)都行；x<0，x是負(fù)數(shù)都行。就像天平之兩臂向左或向右傾斜而失去平衡。

數(shù)學(xué)公式也有性格。恒等式的性格寬宏大量，對(duì)變量數(shù)值沒(méi)有任何約束，可隨心所欲。等式的性格一絲不茍，對(duì)變量約束得非常嚴(yán)格，只能取特定數(shù)值，差一點(diǎn)也不行。以上是兩個(gè)極端，不等式介乎其中，其性格隨和而有原則，變量有很大的活動(dòng)空間，但不能逾越界限。

數(shù)學(xué)公式在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。物理學(xué)之守恒定律最重要的有三：能量守恒定律、動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律，均以相應(yīng)的等式表示。任何物理過(guò)程，其總能量、總動(dòng)量和總角動(dòng)量過(guò)程前后必須相等，差一點(diǎn)也不行?？茖W(xué)家愛(ài)追根究底：能量、動(dòng)量、角動(dòng)量為什么守恒？德國(guó)著名女?dāng)?shù)學(xué)家諾特（A. E. Noether, 1882-1935）證明的“諾特定理”給出了回答，這三個(gè)守恒定律均與時(shí)空性質(zhì)有密切關(guān)系。能量守恒由于時(shí)間平移不變性，動(dòng)量守恒由于空間平移不變性，角動(dòng)量守恒由于空間旋轉(zhuǎn)不變性。換言之：能量、動(dòng)量、角動(dòng)量之守恒分別為時(shí)間、空間、方向均勻性之表現(xiàn)。譬如，想象你在完全沒(méi)有摩擦力其平如鏡的冰上自由滑行，由于冰面均勻———二維空間平移不變，按動(dòng)量（等于質(zhì)量與速度之乘積）守恒定律，你會(huì)以等速一直向前滑行；如發(fā)現(xiàn)在某處滑行速度突然改變，那一定是該處冰面有異———二維空間不再平移不變。可見(jiàn)，等式一旦注入物理內(nèi)容，就變得鮮活起來(lái)。

物理學(xué)的定律、定理及方程大多以等式表示，但別以為不等式不重要。以物理學(xué)中兩個(gè)著名不等式為例，說(shuō)明其重要性。

熱力學(xué)第二定律又名“增熵定律”：封閉系統(tǒng)中的熵不會(huì)自動(dòng)減少。以數(shù)學(xué)公式表示：熵隨時(shí)間之變化率大于零，是一個(gè)不等式。按照熱力學(xué)定義，熵是能量差額除以絕對(duì)溫度（攝氏度加273度）。將冰塊置入保溫瓶?jī)?nèi)熱水中，略等片刻，發(fā)現(xiàn)冰塊溶化而水溫降低。冰塊溶化所吸收的能量等于水溫降低所放出的能量，能量差額之絕對(duì)值相等；冰塊的溫度比水的溫度低，所以冰塊溶化所增加的熵比水溫降低所減少的熵多，故為增熵過(guò)程，符合熱力學(xué)第二定律。

“這有什么稀奇？”這確實(shí)不稀奇，但有誰(shuí)見(jiàn)過(guò)保溫瓶中的溫水自動(dòng)變回?zé)崴捅鶋K？為什么沒(méi)有？因?yàn)榇四孢^(guò)程減熵，違反熱力學(xué)第二定律。

有人不服氣，說(shuō)：“將溫水置入冰箱不就結(jié)出冰塊了嗎？”對(duì)不起！他忘記了增熵定律的先決條件“封閉系統(tǒng)”，置入冰箱中的溫水向外放出熱量才會(huì)結(jié)出冰塊，已不再符合封閉系統(tǒng)條件。

熱力學(xué)第二定律非常重要，大到宇宙演化小到日常生活，其作用無(wú)處不在。信手拈來(lái)幾個(gè)減熵過(guò)程的例子：瀑布從深潭躍起飛向懸崖之巔（李白：“遙看瀑布掛前川，飛流直下三千尺”之逆過(guò)程）；落英躍上枝頭變回鮮花（晏殊：“無(wú)可奈何花落去”之逆過(guò)程）；坑內(nèi)灰燼變回篆書(shū)竹簡(jiǎn)，冢中枯骨復(fù)活為敢言儒生（秦始皇焚書(shū)坑儒之逆過(guò)程）。這類(lèi)事不可能！為什么？因?yàn)檫`反熱力學(xué)第二定律那個(gè)增熵不等式。讀者不妨試試，會(huì)想出更多有趣的例子來(lái)。一個(gè)增熵不等式，就演化出這么多故事，誰(shuí)說(shuō)數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味？

物理學(xué)中另一個(gè)著名不等式是“測(cè)不準(zhǔn)原理”，德國(guó)物理學(xué)家海森堡（Werner Heisenberg, 1901-1976）證明：量子力學(xué)中的一對(duì)“共軛量”不可能同時(shí)測(cè)準(zhǔn)。例如：能量與時(shí)間、動(dòng)量與空間、角動(dòng)量與方向均為共軛量，在原則上無(wú)法同時(shí)測(cè)準(zhǔn)。測(cè)不準(zhǔn)原理以不等式表示：一對(duì)共軛量偏差額之乘積大于“普朗克常量”，兩者此長(zhǎng)彼消。

別被測(cè)不準(zhǔn)原理的“測(cè)”字所誤導(dǎo)，以為只適用于測(cè)量。其實(shí)這是翻譯失真，英文是：Uncertainty principle，按理應(yīng)譯為“不確定性原理”，其含意是：一對(duì)共軛物理量的數(shù)值具有不確定性，這是量子世界固有之本性，即使不去測(cè)量也存在。例如：動(dòng)量與空間尺度是一對(duì)共軛量，微觀粒子所處的空間尺度越小，粒子的動(dòng)量及其不確定性就越大；因?yàn)槟芰堪瑒?dòng)能，相應(yīng)的能量及其不確定性也隨之增大。原子的尺度約為一百億分之一米，與之相應(yīng)的能量是原子外層價(jià)電子所具有的化學(xué)能。核子的尺度約為一千萬(wàn)億分之一米，大約是原子尺度的十萬(wàn)分之一，與之相應(yīng)的能量是核能。核能大于化學(xué)能約十萬(wàn)倍，這是因?yàn)楫a(chǎn)生核能的核子運(yùn)動(dòng)局限于極其微小空間內(nèi)。

根據(jù)海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理，空間越小所蘊(yùn)藏的能量就越大。聰明的讀者會(huì)問(wèn)：“在無(wú)窮小空間內(nèi)是否蘊(yùn)藏著無(wú)窮大能量？”這取決于兩個(gè)因素：一是海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理是否普遍適用。多數(shù)物理學(xué)家傾向于肯定；二是許多物理學(xué)家相信，空間有一個(gè)最小尺度———“普朗克長(zhǎng)度”約為一千億億億億分之一米，大約是核子尺度的一萬(wàn)億億分之一，相應(yīng)的普朗克能量約為核能的一萬(wàn)億億倍！這雖然不是無(wú)窮大，現(xiàn)有技術(shù)水平離此極限還遠(yuǎn)著呢。石油價(jià)格飛漲導(dǎo)致能源危機(jī)，根本解決之道：鉆進(jìn)更小的空間中去尋找更大的能量，海森堡如是說(shuō)。他那個(gè)不等式好厲害！

夠了！不妨輕松一下。美國(guó)一些家長(zhǎng)具有恒等式性格，對(duì)子女管教寬宏大量放任自流，造成有些子女逃課甚至輟學(xué)，這是一個(gè)極端。中國(guó)許多家長(zhǎng)具有等式性格，對(duì)子女嚴(yán)加管束一絲不茍，造成子女不堪重負(fù)嚴(yán)重影響身心健康，這是另一個(gè)極端。兩極取其中，不等式性格的家長(zhǎng)對(duì)子女教育成長(zhǎng)比較有利。對(duì)此我有親身體會(huì)：幼年喪父，我兄弟三人全靠寡母獨(dú)力支撐撫養(yǎng)成人。母親史國(guó)瑞系出名門(mén)，畢業(yè)于蘇州高等師范學(xué)校。她教子有方，讓我們兄弟按個(gè)人志趣愛(ài)好自由發(fā)展，只要不干壞事。這不就是典型的不等式性格嗎？如今回想起來(lái)，仍覺(jué)受益終身。

（陳放薦自2007年3月18日《解放日?qǐng)?bào)》）

責(zé)編：葉萬(wàn)軍