田佩章

教師們普遍反映估算“教師難教，學(xué)生難學(xué)”，“試題難出，正誤難判”。通過研究發(fā)現(xiàn)，問題是多方面的，除了教師對估算的教育價值認(rèn)識不足、教學(xué)策略失當(dāng)和經(jīng)驗積累不夠之外，還存在關(guān)于估算的本體性知識缺失的問題。小學(xué)估算涉及的數(shù)學(xué)學(xué)科知識很多，教師比較生疏的主要有：離散量和連續(xù)量；絕對誤差和相對誤差。反映在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，就是對“大約”和“差不多”的認(rèn)識普遍不清楚。

一、為什么“大約”不一定要“估算”？

某版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級上冊有一道練習(xí)題（以下稱《蠶吐絲》）為：一條蠶大約吐絲1500米，小紅養(yǎng)了6條蠶，大約吐絲多少米？

不少學(xué)生的算式是：1500×6≈1000×6=6000（米）或者1500×6≈2000×6=12000（米）。老師問：1500×6=9000（米）不是挺好的嗎？為什么要把1500米約等于1000米或2000米呢？他們異口同聲：這里有“大約”！

學(xué)生為什么會這樣認(rèn)為？調(diào)查發(fā)現(xiàn)，多數(shù)老師也說不清楚。有一定認(rèn)識的老師認(rèn)為，《蠶吐絲》問句中的“大約”實際上是承接著前面條件中的“大約”而來的。多數(shù)老師認(rèn)為這樣的問句中不應(yīng)該出現(xiàn)“大約”，這是在為難學(xué)生。因為大家都解釋不清楚，于是，大部分老師的做法是回避，考試題中也不會出現(xiàn)這樣的問題。

1.離散量和連續(xù)量。

小學(xué)生接觸到的現(xiàn)實世界的數(shù)量（圓周率除外）可以分為兩類：連續(xù)量和離散量。比如人數(shù)、課桌椅數(shù)是離散量，與自然數(shù)對應(yīng)。身高、體重、溫度、時間、距離、平均速度、正方形對角線的長度等是連續(xù)量，通過測量或計算得出，與正實數(shù)對應(yīng)?，F(xiàn)實世界里的所有測量數(shù)據(jù)都是近似數(shù)。比如小明身高140厘米，體重35千克，就是近似數(shù)，與身高約140厘米，體重約35千克，甚至表示為身高恰好140厘米，體重恰好35千克，沒有任何區(qū)別，雖然小明的身高、體重有一個準(zhǔn)確值，但是不可能無誤差地測出———準(zhǔn)確是相對的，誤差是絕對的。離散量都是準(zhǔn)確數(shù)，比如二（1）班有38人。但在一定的情境下，離散量也可以用整十、整百等近似數(shù)描述，比如某校有3000多名學(xué)生，3000人就是近似數(shù)。這樣描述不是因為這個學(xué)生數(shù)不是一個準(zhǔn)確值，而是因為這里只需要一個近似值。

《蠶吐絲》中的數(shù)學(xué)問題沒有任何錯誤，關(guān)鍵問題是：這里的“大約”與“兩個班大約多少人”的“大約”是兩回事！這里的大約吐絲1500米要視同準(zhǔn)確數(shù)———但是又確實是近似數(shù)！也就是說學(xué)生對這里的“大約”不理解。因為學(xué)生不知道“大約吐絲1500米”中不管有沒有“大約”，都是大約的意思：一條蠶吐絲的長度不可能恰好是1500米，而且也不可能每條蠶吐的絲都一樣長。事實上，這里的1500米就是一個統(tǒng)計量，用平均的方法得到。

事實上，這種錯誤認(rèn)識不是現(xiàn)在才出現(xiàn)的，在課程改革以前就已經(jīng)有過。筆者曾經(jīng)在一次數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)中遇到這樣一個問題：求圓柱體蓄水池大約能裝多少噸水，要求結(jié)果精確到十位。用計算器計算的結(jié)果是：199.3272噸，近似值應(yīng)該是多少？數(shù)學(xué)教研組形成了兩派意見?！叭ノ才伞闭J(rèn)為，結(jié)果應(yīng)該是190噸。因為最多只能裝199.3272噸，如果再多一點水就會溢出，因此應(yīng)該用去尾法?！八纳嵛迦肱伞闭J(rèn)為，應(yīng)該是200噸，只知道這里似乎應(yīng)該四舍五入，但是不能說服另一派。如果明白了關(guān)于近似量和準(zhǔn)確量的基本理論，顯然，后者是正確的，因為這道題里圓柱的直徑、周長、面積、體積、圓周率注入水的計量包括圓柱體本身都是近似的。

通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分老師對《蠶吐絲》中“大約”的理解沒有疑義，因為我們在生活中已經(jīng)建構(gòu)了“大約”一詞的使用方法。而學(xué)生則不然，他們?nèi)鄙龠@方面的生活經(jīng)驗。那么讓學(xué)生正確建構(gòu)“大約”的意義，能在合適的情景中正確使用“大約”就應(yīng)該成為教學(xué)目標(biāo)。

2.連續(xù)量的近似屬性教學(xué)。

既然我們應(yīng)該讓學(xué)生正確建構(gòu)“大約”的意義，能在合適的情景中正確使用“大約”，那么實現(xiàn)這個教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵期是什么時候呢？筆者認(rèn)為，是小學(xué)低年級測量和計數(shù)教學(xué)過程———厘米、米、毫米、千米、克、千克、噸、時、分、秒的認(rèn)識等。事實上，大多數(shù)國家及我國的香港和臺灣地區(qū)，在測量教學(xué)中十分重視讓學(xué)生明白所有測量的數(shù)據(jù)都是近似數(shù)這個道理。這樣，學(xué)生就會知道近似是測量數(shù)據(jù)的本質(zhì)屬性，無需再在前面冠以“大約”二字。

這樣說來，估算與測量教學(xué)關(guān)系密切，應(yīng)該在測量教學(xué)中讓學(xué)生正確認(rèn)識測量數(shù)據(jù)的近似屬性，筆者認(rèn)為這既是估算教學(xué)的基礎(chǔ)，同時也是培養(yǎng)數(shù)感的重要途徑。因此，從課程標(biāo)準(zhǔn)制定、教材建設(shè)、教師培訓(xùn)上都要給予足夠的重視。

現(xiàn)實情況是，我們的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》沒有重點強(qiáng)調(diào)要在測量教學(xué)中關(guān)注這一點，教師對這個基本理論知之甚少，更不用說形成教學(xué)理念。即使是教材編者似乎也不十分清楚：教材上的測量教學(xué)關(guān)鍵提示語沒有一句表達(dá)了近似這個要義，甚至有錯誤的理解。比如，某教材四年級上冊有一習(xí)題：小明身高約140厘米，體重35千克。哪是近似數(shù)，哪是準(zhǔn)確數(shù)？這里就把35千克錯誤地理解為準(zhǔn)確數(shù)。

筆者建議，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)教師基本數(shù)學(xué)知識培訓(xùn)，讓教師明白近似量和準(zhǔn)確量的區(qū)別。在二年級學(xué)習(xí)長度測量之初就應(yīng)增加測量教學(xué)時間，改進(jìn)測量教學(xué)。測量教學(xué)必須遵循“先估計、后測量、再評價是否準(zhǔn)確”的順序，要在測量結(jié)果的表述中讓學(xué)生體會到大約的含義，初步接觸四舍五入的方法，讓學(xué)生明白測量數(shù)據(jù)都是近似的。重視步測和目測，體會現(xiàn)實情景中近似表達(dá)測量數(shù)據(jù)的必要，構(gòu)建“大約”的意義，便于學(xué)生今后能明確地區(qū)分使用大約的語境。同樣，周長、面積、體積、質(zhì)量和時間測量的教學(xué)也應(yīng)該遵循這個原則。

二、什么是“差不多”？

數(shù)學(xué)新課程中有“多（少）些”，“多（少）得多，差不多”等準(zhǔn)確程度表述詞的使用教學(xué)，目的應(yīng)該是讓學(xué)生能根據(jù)實際判斷準(zhǔn)確程度和誤差大小。學(xué)生正確使用這些詞語的必要性從下面這個案例中可見一斑。

在四年級“可能性”學(xué)習(xí)中，老師讓各學(xué)習(xí)小組從裝有5個紅球、5個白球的口袋中有放回地摸球20次，預(yù)測并記錄紅、白球出現(xiàn)的次數(shù)，判斷其是否與預(yù)期（數(shù)學(xué)期望：摸出紅球、白球各10個）“差不多”，最后統(tǒng)計全班的數(shù)據(jù)，分析紅、白球出現(xiàn)的次數(shù)是否和預(yù)期的次數(shù)差不多。學(xué)生在判斷中，對紅、白球個數(shù)的差十分敏感，只要紅球與白球的次數(shù)存在差別，比如13次紅球、7次白球，95次紅球、105次白球，一概判斷說“與預(yù)期不符”，對老師期望學(xué)生表述的“紅球、白球差不多，白球大概占一半”不認(rèn)可。究其原因，學(xué)生長期擅長精算，對“差不多”一詞的用法還遠(yuǎn)沒有達(dá)到預(yù)期水平。學(xué)生根本沒有體會到95個和105個已經(jīng)非常接近預(yù)期（100個）了。

1.絕對誤差和相對誤差。

“差不多”的背后是模糊數(shù)學(xué)的思想，與概率論和集合論有密切關(guān)系。還是以上面摸球為例，在裝有5個紅球、5個白球的口袋中有放回地摸球200次，預(yù)期摸出紅球、白球各100次，結(jié)果摸出紅球95次、白球105次，與預(yù)期100次的絕對誤差是100-95和105-100，都是5次。而相對誤差則是5÷100=5%。在摸球次數(shù)較大的時候，判斷摸球次數(shù)是否與預(yù)期“差不多”要看相對誤差。很可能絕對誤差（指純數(shù)據(jù)）比較大，但相對誤差很小。顯然，這個“差不多”———相對誤差不大———對于學(xué)習(xí)估計、統(tǒng)計和可能性是至關(guān)重要的關(guān)鍵性知識。

那么，教師對這個詞的準(zhǔn)確用法是否明白呢？筆者在一次市級新課程教學(xué)觀摩會上，聽了一堂三年級“時分秒”課，其中有一個體驗“秒”的環(huán)節(jié)，老師讓學(xué)生閉上眼睛，聽老師發(fā)令后默數(shù)30秒再回頭，看估計30秒是否準(zhǔn)確。結(jié)果，這些同學(xué)回頭時間大約是28秒。筆者正驚嘆這些學(xué)生估計得真準(zhǔn)時，老師卻很遺憾地對他們說：“真可惜，不準(zhǔn)！”學(xué)生一片沮喪！那么，28秒對于30秒真的不準(zhǔn)嗎？這和上述摸到紅球、白球的次數(shù)是否差不多是同一個道理，28秒和30秒的相對誤差只有7%，已經(jīng)相當(dāng)準(zhǔn)了！這里本來應(yīng)該聽到的是老師的驚嘆和孩子們的歡呼的！顯然，老師對這個“差不多”不理解，讓學(xué)生失去了學(xué)習(xí)“差不多”的好機(jī)會。我們知道，市觀摩課的執(zhí)教者是素質(zhì)較高的年輕骨干教師，而且觀摩課往往經(jīng)過了一個教師群體長時間的“磨課”過程，所以這也反映出一個教師群體對“差不多”理解的偏差。

2.誤差的相對性觀念教學(xué)。

既然這個“差不多”如此重要，那么應(yīng)該在什么時候讓學(xué)生開始正確建構(gòu)“差不多”的概念，讓學(xué)生在合適的語境中正確使用“差不多”呢？筆者認(rèn)為，有兩個關(guān)鍵時期：第一個關(guān)鍵期是第一學(xué)段的測量和數(shù)的認(rèn)識，第二個關(guān)鍵期是第二學(xué)段的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用。

第一學(xué)段的測量教學(xué)要遵循“估測———實測———評價”的順序，讓學(xué)生體會“很準(zhǔn)確”、“多（少）得多”和“差不多”等詞語在實際情景中的用法；在“物價情景”中讓學(xué)生體會“便宜得多”、“貴得多”、“貴一點”、“便宜一點”和“差不多”的用法。類似于下面的教學(xué)活動就能較好地實現(xiàn)這個目標(biāo)。

①同樣的鉛筆盒，小商品市場每個10元，超市20元。同樣的旱冰鞋，超市每雙200元，精品店每雙210元。用“貴得多”、“差不多”、“便宜一點”和“便宜得多”評價一下三種商店的商品價格。

②舅舅從巴黎回來，給明明買了一輛賽車（價格是200元）和一盒法國巧克力（價格是50元）。舅舅讓明明猜，明明猜賽車150元，巧克力20元。你評價一下明明猜得怎樣。

③小組內(nèi)每個同學(xué)估計一下橡皮多少克，然后測量一下，再評價自己測量的準(zhǔn)確性。

④明明估測了教室的長和講臺的長，教室9米，講臺3米。實測結(jié)果是，教室8米50厘米，講臺3米50厘米。請你評價一下明明估測得怎樣。

⑤擲硬幣50次，估計出現(xiàn)正面的次數(shù)，評價估計的準(zhǔn)確性。

教師可以讓學(xué)生在上述活動中，通過估測和判斷自己的估測是否差不多，體會直至逐步正確建構(gòu)“差不多、差多了”等表示準(zhǔn)確性的詞語的使用方法，獲得數(shù)感，發(fā)展估算能力。

到第二學(xué)段在學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)之后，將第一學(xué)段習(xí)得的“差不多”的感性認(rèn)識用絕對誤差是實際量的百分之幾來進(jìn)行準(zhǔn)確描述（比實際多或少百分之幾）。

那么究竟怎樣的百分比對應(yīng)于“貴得多”和“差不多”呢？我們可以結(jié)合生活實際分析，設(shè)置問題可以把握這樣一個度：大數(shù)比小數(shù)多的百分?jǐn)?shù)小于30%和大于70%時，分別用“差不多”和“多得多”描述。我們小學(xué)數(shù)學(xué)中還可以將這個百分比更進(jìn)一步特殊化處理，比如小于20%和大于80%。

“大約”和“差不多”的正確使用應(yīng)該是小學(xué)估算教學(xué)的顯性目標(biāo)，它應(yīng)該是檢驗學(xué)生數(shù)感發(fā)展水平的重要指針。教師正確理解估算背后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，是正確認(rèn)識估算價值、選擇估算教學(xué)策略的前提。小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識的缺失已經(jīng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的重要障礙。如果以“教研員、教師都弄不清楚”為理由，對數(shù)學(xué)課程改革中與估算相類似的統(tǒng)計與概率、統(tǒng)籌、組合數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容不作要求，不考查，那么數(shù)學(xué)課程改革將只能是一句空話。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)本體性知識的補(bǔ)充和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高應(yīng)該成為當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)的重要內(nèi)容。