摘要：成功的教學(xué)能收到事半功倍的效果；本文針對(duì)數(shù)學(xué)分析教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題提出幾點(diǎn)建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析教學(xué)；數(shù)學(xué)思想方法；微積分發(fā)展史；數(shù)學(xué)美

收稿日期：2006—12—15

作者簡(jiǎn)介：趙淑波(1975—)，女，漢族，安達(dá)人，碩士研究生，講師，主要研究方向泛涵分析和高等教育。

一、數(shù)學(xué)分析教學(xué)是滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

“沒(méi)有思想的數(shù)學(xué)等于廢了武功?！睆埖熘嬖谝黄恼轮兄赋觯骸拔⒎e分教學(xué)應(yīng)該怎樣做呢？揭示數(shù)學(xué)的思想當(dāng)然是第一位。”可見(jiàn)讓更多的人知道和掌握數(shù)學(xué)分析的思想方法，成為當(dāng)代數(shù)學(xué)分析教學(xué)的首要任務(wù)。數(shù)學(xué)思想與方法是統(tǒng)一的、不可分割的一個(gè)整體，統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想方法。所謂數(shù)學(xué)分析思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)分析所研究對(duì)象的統(tǒng)一的、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)分析的思想方法，一方面指數(shù)學(xué)分析自身的論證、運(yùn)算以及應(yīng)用的手段，另一方面還包括數(shù)學(xué)分析概念、理論、方法的產(chǎn)生及發(fā)展規(guī)律。學(xué)習(xí)基本的數(shù)學(xué)分析思想方法是形成和發(fā)展數(shù)學(xué)分析能力的基礎(chǔ)。

在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，我們習(xí)慣于按照定義——定理——推論——習(xí)題的邏輯順序展開(kāi)，學(xué)生只是被動(dòng)地接受一個(gè)一個(gè)概念，卻不知道為什么要這樣做。優(yōu)秀的學(xué)生要到后來(lái)才恍然大悟。一般的學(xué)生只能囫圇吞棗，不知所云。這充分說(shuō)明了我們對(duì)于隱含在知識(shí)背后的思想方法的教學(xué)價(jià)值未能高度重視，也就是我們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的地位認(rèn)識(shí)不夠造成的。

實(shí)際上，數(shù)學(xué)思想方法在科學(xué)研究中具有舉足輕重的地位和作用。在數(shù)學(xué)分析這樣一門大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)中的主干基礎(chǔ)課中，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，為該專業(yè)的研究和發(fā)展提供必要的數(shù)學(xué)思想方法和工具。從這個(gè)意義上講，就有必要把數(shù)學(xué)思想方法作為重要的教學(xué)內(nèi)容落實(shí)到數(shù)學(xué)分析教學(xué)的全過(guò)程之中。要通過(guò)教師堅(jiān)持不懈地、有意識(shí)地、有目的啟發(fā)誘導(dǎo)及反復(fù)滲透，進(jìn)而使學(xué)生通過(guò)自己的思維活動(dòng)去理解它、領(lǐng)悟它、掌握它。

在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中可以適時(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法?？梢栽谥v解新課中指出，也可以在復(fù)習(xí)舊知識(shí)中強(qiáng)調(diào)。數(shù)學(xué)分析的思想處處可以挖掘，比如數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象——函數(shù)，其概念本身則是以“靜”刻劃“動(dòng)”，以“定”描述“變”：一個(gè)數(shù)x，唯一的一個(gè)數(shù)y均是定值，但是，此是定義域中的任一個(gè)值，這就變了，動(dòng)了，因而對(duì)應(yīng)的也隨之而變了、動(dòng)了。數(shù)學(xué)分析的研究工具——極限的“ε-δ”定義：給定ε＞0，則此ε是定的，但此ε是任意給定的，這即是變了。當(dāng)然，相應(yīng)的δ也隨之而變。微積分的核心概念——導(dǎo)數(shù)與積分，是用極限定義的，固然也是“變量的靜態(tài)理論”的范疇內(nèi)的了。此理論的思想早在我國(guó)古代與古希臘就有了，如我國(guó)古代名家惠施的“飛鳥之影未嘗動(dòng)也”，古希臘之諾的“飛箭不動(dòng)說(shuō)”，就是例證。還比如：極限思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的始終，它向我們呈現(xiàn)出從有限過(guò)程中研究無(wú)限過(guò)程的對(duì)立統(tǒng)一的思維方法。再比如，各種類型的積分的計(jì)算，實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)中的化歸思想，即對(duì)復(fù)雜的積分的計(jì)算通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為基本的積分進(jìn)行計(jì)算。這些重要的理論思想都可以融于教學(xué)之中適時(shí)地以知識(shí)為載體向?qū)W生傳播。當(dāng)然開(kāi)展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)可能有一些困難，比如，時(shí)間緊，教學(xué)內(nèi)容多，學(xué)生不易接受。但重在教師有意識(shí)的點(diǎn)撥與滲透。

知識(shí)的記憶是短暫的，方法和思想的掌握是長(zhǎng)遠(yuǎn)的。知識(shí)使學(xué)生受益于一時(shí)，可方法和思想使學(xué)生受益于終生。真所謂“劍招可以生疏，劍法不能忘記”。

二、數(shù)學(xué)分析的教學(xué)是伴隨傳播微積分發(fā)展史的教學(xué)，微積分學(xué)是數(shù)學(xué)分析的核心，所以搞好數(shù)學(xué)分析的教學(xué)也就是抓好微積分的教學(xué)

談起微積分學(xué)，給人的印象是干巴巴的。概念、定理、公式，記憶再記憶;例題、習(xí)題、考題，練習(xí)再練習(xí)。其實(shí)，我們恰恰忽略了一個(gè)重要的問(wèn)題，那就是微積分學(xué)是人做出來(lái)的，必然有人的思想、情緒、感覺(jué)、文化、歷史傳統(tǒng)在起作用。如果看不到這一點(diǎn)的話，光彩照人的數(shù)學(xué)分析呈現(xiàn)給我們的只是一副骨架。那么如何使這些“枯燥”的知識(shí)富有活氣呢？微積分學(xué)發(fā)展史的傳授正是給骨架賦予肉體，讓它擁有活氣。牛頓——人類經(jīng)典物理學(xué)大師，他的名言、煮手表的故事如果出現(xiàn)在教學(xué)中，我想你的學(xué)生肯定不會(huì)困倦了，取而代之的是振奮。同時(shí)學(xué)生們一定會(huì)對(duì)如何做學(xué)問(wèn)、做人有所感悟，雖然可能對(duì)有些同學(xué)的影響是短暫的，但我們可以堅(jiān)持不懈地滲透，所謂近朱者赤，近墨者黑也。

講授發(fā)展史能使學(xué)生了解過(guò)去，是為了創(chuàng)造、把握未來(lái)，知其然，知其所以然。領(lǐng)略到微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造，它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過(guò)來(lái)廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。眾所周知的積分概念是由求某些面積、體積和弧長(zhǎng)引起的，微分是聯(lián)系到對(duì)曲線作切線的問(wèn)題和函數(shù)的極大值、極小值問(wèn)題而產(chǎn)生的。導(dǎo)數(shù)概念被用在經(jīng)濟(jì)管理方面，產(chǎn)生了兩個(gè)極為有用的量：邊際函數(shù)和彈性，給科學(xué)增添了豐富內(nèi)涵。諸如此類知識(shí)的教學(xué)引入會(huì)使學(xué)生們體會(huì)到微積分就在我們的身邊，它不再抽象、孤立和遙不可及。

同樣微積分發(fā)展史的教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生不僅看到簡(jiǎn)單到復(fù)雜，而且從中聽(tīng)到人類文明的腳步聲，從過(guò)去走到今天，從低級(jí)走向高級(jí)，從有限走向無(wú)限。

讓我們領(lǐng)略一下中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)微積分創(chuàng)立的貢獻(xiàn)，更能激發(fā)我們的民族自豪感。在微積分產(chǎn)生三個(gè)階段中的前兩階段——極限概念和求積的無(wú)限小方法，中國(guó)毫不遜色于西方。微積分思想在古代中國(guó)早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前7世紀(jì)莊子哲學(xué)中就有無(wú)限不可分和極限的思想，公元前3世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無(wú)窮、無(wú)限小、無(wú)窮大的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的“割圓術(shù)”求圓的面積和方錐的體積，它的極限思想和無(wú)窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。還有很多很多的故事都可以有步驟地進(jìn)入到學(xué)生的腦中，了解這些文化知識(shí)非但不能耽誤我們學(xué)生的學(xué)習(xí)，反而能給學(xué)生的學(xué)習(xí)增加源動(dòng)力?！翱巢癫挥?jì)磨刀功”。這些數(shù)學(xué)史的教育可以改變他們對(duì)數(shù)學(xué)分析的態(tài)度，使數(shù)學(xué)分析成為他們的知己和好朋友，受用一生。數(shù)學(xué)史的傳授可以在課堂中，也可以開(kāi)專題講座。我在上大學(xué)時(shí)我的老師就是這樣做的，給我們講了很多數(shù)學(xué)家的逸事，使我對(duì)數(shù)學(xué)分析有了更深的理解，因而現(xiàn)在我把這種思想傳給我的學(xué)生。

三、數(shù)學(xué)分析的教學(xué)是洋溢著數(shù)學(xué)美的教學(xué)，在教學(xué)中向?qū)W生展示微積分的美，師生共賞數(shù)學(xué)之美對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量將是十分有效的

學(xué)生們只有認(rèn)為它是美的，看到它的光環(huán)所在，才能喜愛(ài)它。正如愛(ài)一件物品一樣，你認(rèn)為它是美的才喜愛(ài)它，對(duì)它有興趣，而興趣是最好的老師。正如林群院士在兩會(huì)期間就科技創(chuàng)新問(wèn)題接受記者采訪時(shí)說(shuō)：“科學(xué)創(chuàng)新的必要條件之一是科學(xué)家的興趣?！薄爸敢茖W(xué)家產(chǎn)生大興趣還是小興趣，是從全局考慮還是從細(xì)節(jié)考慮，是非常重要的?！被谂d趣的重要性，就必須使學(xué)生看到數(shù)學(xué)分析的美。

其實(shí)數(shù)學(xué)的美無(wú)處不在，數(shù)字美，“一去二三里，煙村四五家，亭臺(tái)六七座，八九十枝花?！睌?shù)學(xué)公式美，數(shù)學(xué)思想美，數(shù)學(xué)語(yǔ)言美。1976年，英國(guó)一位著名數(shù)學(xué)家在就任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席演講時(shí)說(shuō)：數(shù)學(xué)的目的，就是用簡(jiǎn)單而基本的詞匯去盡可能多地解釋世界。如果我們積累起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)要一代一代傳下去的話，我們就必須不斷地努力把它們加以簡(jiǎn)化和統(tǒng)一。過(guò)去曾經(jīng)使成年人感到困惑的問(wèn)題，在今后的年代里，連孩子們都能容易地理解。這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力所在。再看看數(shù)學(xué)分析的極限，體現(xiàn)了意境美。極限是一個(gè)無(wú)限的過(guò)程，描寫極限的文化很多。莊周所著的《莊子》一書中的《天下篇》中，寫道“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！比龂?guó)時(shí)期的劉徽在他的《割圓術(shù)》中提出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！边@些都是反映極限思想的佳作。唐代大詩(shī)人李白的詩(shī)句“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見(jiàn)長(zhǎng)江天際流?！边h(yuǎn)望那逐漸消逝在碧色天邊的孤獨(dú)的帆影，只有不盡的滾滾長(zhǎng)江向東流去。一個(gè)“不盡”惟妙惟肖地描寫了極限的動(dòng)態(tài)過(guò)程。抽象的極限在這里具體生動(dòng)起來(lái)，極限的動(dòng)態(tài)美也使人真正的體會(huì)到了。還有詩(shī)句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”等。

無(wú)界也是相對(duì)來(lái)說(shuō)比較抽象的概念，可詩(shī)句“春色滿園關(guān)不住，一枝紅杏出墻來(lái)”，生動(dòng)且貼切地描述了無(wú)界變化的狀態(tài)，無(wú)論園子多大，紅杏都會(huì)出墻，至少有一枝?！八暮o(wú)閑田，農(nóng)夫猶餓死”，不管地種得多么多，至少還有一個(gè)農(nóng)夫被餓死。數(shù)學(xué)分析的和諧、統(tǒng)一美需要細(xì)細(xì)體會(huì)。牛頓——萊布尼茨公式，baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中f(x)定義［a，b］在上，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，也稱為微積分的基本定理。將表面上看起來(lái)毫無(wú)關(guān)系的微分和積分之間建起了一座橋梁，將積分的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)的逆運(yùn)算，巧妙地將對(duì)立的微分和積分統(tǒng)一起來(lái)，可謂“一橋飛架南北，天塹變通途”。數(shù)學(xué)分析中的微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ζ)(b-a)是一個(gè)連接局部性質(zhì)和整體性質(zhì)的橋梁。這個(gè)定理的左邊是整體性的，由區(qū)間［a，b］的端點(diǎn)所決定，右邊則是局部性的，由區(qū)間［a，b］內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（局部性）所決定。每一個(gè)學(xué)習(xí)微積分的人，如果不能欣賞這樣的美，等于進(jìn)了寶山之后卻空手而歸。數(shù)學(xué)分析的美還不只于此。課堂上如果能使學(xué)生體味到美的感覺(jué)，我想他們肯定不會(huì)倦怠，甚至是睡覺(jué)或逃課。

參考文獻(xiàn)：

〔1〕張奠宙.微積分教學(xué).從冰冷的美麗到火熱的思考.高等教學(xué)研究，2006.2.