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(武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,武漢 430063)
噪聲可以理解為“妨礙人們感覺(jué)器官對(duì)所接收的信源信息理解的因素”,它是影響圖像質(zhì)量的主要因素。因此,有必要對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理來(lái)提高圖像的質(zhì)量。
小波特有的時(shí)頻分析能力使其在圖像處理領(lǐng)域獲得了較好的效果。特別是Mallat和Mayer提出的多分辨分析(MRA)小波理論[1]為圖像去噪提供了更理想的工具。一般可以將傳統(tǒng)的小波去噪的方法分為三大類(lèi)[2]:第一類(lèi)方法是基于小波變換模極大值原理的方法,此方法在去噪過(guò)程中存在一個(gè)由模極大值重構(gòu)小波系數(shù)的問(wèn)題,計(jì)算量非常大;第二類(lèi)方法是基于小波系數(shù)尺度之間的相關(guān)性原理進(jìn)行圖像去噪,需要進(jìn)行多次迭代,還需估計(jì)噪聲方差;第三類(lèi)方法是小波閾值去噪方法,該方法其閾值的選取比較困難,而且閾值的選取還依賴(lài)于噪聲的方差。
由于傳統(tǒng)小波存在上述缺點(diǎn),第二代提升小波產(chǎn)生,所有的傳統(tǒng)小波都可以由提升方法中的基本提升和對(duì)偶提升分解而成,提升方法能夠包容傳統(tǒng)所有的小波。
1994年,Swelden[3]提出了一種不依賴(lài)于傅里葉變換的新的小波構(gòu)造方法——提升方法,被稱(chēng)之為第二代小波或整數(shù)小波變換。二代小波提升算法的基本原理如下。
將一個(gè)信號(hào)sj分為一個(gè)奇數(shù)數(shù)列與偶數(shù)數(shù)列,即:split(sj)=(dj-1,sj-1)
(1)
dj-1=oddj-1-P(evenj-1)=dj-1-P(sj-1)
(2)
通過(guò)一算子U產(chǎn)生一個(gè)新的子數(shù)據(jù)集sj-1,更新過(guò)程可定義為:
sj-1=evenj-1+U(dj-1)=sj-1+U(dj-1)
(3)
對(duì)于更新之后的數(shù)據(jù)子集sj-1再進(jìn)行上面一樣的分裂,預(yù)測(cè)和更新的過(guò)程,經(jīng)過(guò)n次分解后原始數(shù)據(jù)sj可表示為{dj-n,dj-n+1,…dj-1}。
重構(gòu)數(shù)據(jù)過(guò)程中的提升公式與分解公式基本相同,區(qū)別僅在于計(jì)算次序與正負(fù)號(hào),可表示為:
sj-1=sj-1-U(dj-1)
dj-1=dj-1+P(sj-1)
sj=Merge(dj-1,sj-1)
(4)
在小波變換中,不同的圖像存在不同的最佳分解尺度,它們由圖像本身的特點(diǎn)所決定,在小波變換中應(yīng)該根據(jù)具體圖像來(lái)自適應(yīng)地確定其分解尺度,這樣才能得到對(duì)該圖像更好的分解效果。第二代小波具有非常好的靈活性,通過(guò)選擇不同的預(yù)測(cè)算子和修正算子可以得到具有較好的適應(yīng)性小波變換[4]。尺度適應(yīng)性算法的原理是要求在圖像分解的每一層上,使得預(yù)測(cè)適應(yīng)于圖像在相應(yīng)尺度的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。其基本思路是:構(gòu)造合適的預(yù)測(cè)濾波器和修正濾波器,使得在每一個(gè)尺度下的分解滿足優(yōu)化條件。由此提出一個(gè)尺度選擇的能量最大差異準(zhǔn)則:若所選擇的尺度使得所有尺度上分解結(jié)果的能量差異達(dá)到最大,則所選擇尺度就是最佳分解尺度。
(5)
相鄰兩尺度的能量之差定義為:
(6)
其中上面公式中的k為小波變換的點(diǎn)數(shù)。
定義適應(yīng)度函數(shù)用于評(píng)價(jià)不同尺度分解效果:
(7)
式中的1,2…,j為待選尺度。如果F(1,2…,j)為最大值,則j-1為最佳分解尺度。
根據(jù)噪聲在小波變換域中的特征知道,噪聲的強(qiáng)度隨著分解尺度J的增大而降低[5],如果在各個(gè)尺度上使用相同全局閾值λ,雖然可使計(jì)算簡(jiǎn)單,但在一定程度上“過(guò)扼殺”了小波系數(shù)的傾向。所以對(duì)噪聲圖像做尺度適應(yīng)性二代小波變換后,對(duì)每一層的細(xì)節(jié)信號(hào)部分(即高頻部分)都要進(jìn)行閾值處理,傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)可以很好保留圖像邊緣的局部特征,但重構(gòu)后的圖像會(huì)產(chǎn)生一些振蕩或紋理不清晰等現(xiàn)象,而軟閾值函數(shù)處理結(jié)果相對(duì)平滑得多,但會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。基于以上軟硬閾值的不足,本文采用改進(jìn)的閾值函數(shù)來(lái)進(jìn)行閾值處理,改進(jìn)的閾值函數(shù)定義如下:
式中,μ∈R,并且μ>1.0.
(8)
(9)
β=dj-J/(dj-J+Si-J)
(10)
(11)
很容易看出當(dāng)|WJ,(j,k)|≥λ,
(12)
(13)
(14)
從上面的(14)(15)式中可以看出,當(dāng)μ→∞,式(14)正是經(jīng)典的硬閾值法,而當(dāng)μ→1,式(15)是經(jīng)典的軟閾值法。所以上面(9)式提出的改進(jìn)的閾值算法可以很好的折中軟硬閾值。
對(duì)于圖像中的噪聲來(lái)說(shuō),噪聲的小波系數(shù)值隨分解層數(shù)J增加而減小。所以(12)式中λ與J的取值成反比。
根據(jù)上面收縮閾值函數(shù)對(duì)分解后的每一層的高頻部分進(jìn)行處理后,高頻系數(shù)中的噪聲部分得到極大的消減,然后由處理后的高頻部分與正變換得到的低頻部分在每一層上根據(jù)上面(4)式給出的重構(gòu)方法重新得到新的圖像。
為了衡量圖像去噪性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),我們常用信噪比來(lái)測(cè)量圖像噪聲量,這種方法常被用來(lái)作為圖像去噪效果評(píng)價(jià)的指標(biāo)。信噪比單位是分貝(db),其定義為:
SNR=10×log10(powerimage/powernoise)
(15)
(16)
如果去噪后的圖像信噪比SNR值越大,則圖像去噪效果就越好。
為了驗(yàn)證提出的二代小波對(duì)噪聲圖像去噪的效果,本實(shí)驗(yàn)選取噪聲圖像進(jìn)行二代小波變換后按照尺度適應(yīng)性算法進(jìn)行閾值處理,處理后效果圖對(duì)比見(jiàn)圖1~5及表1。
圖1 噪聲圖像
圖2 二維中值濾波
圖3 小波軟閾值去噪
圖4 小波硬閾值去噪
圖5 尺度適應(yīng)性二代小波去
表1 不同去噪效果信噪比(SNR)對(duì)比
通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以很明顯地看出尺度適應(yīng)性二代小波對(duì)圖像去噪效果更好,去噪后圖像的信噪比大大地提高、更加清晰、邊緣與紋理信息也更加豐富。
第二代小波變換是對(duì)傳統(tǒng)小波理論的進(jìn)一步發(fā)展,研究還在起步階段,其理論研究尚需要進(jìn)一步深入。
[1] Gonzalez R C, Woods R E, Eddins S L.Digital Image Processing Using Matlab[M].Beijing: publishing House of Electronics Industry, 2005.
[2] 趙瑞珍.小波理論及其在圖像、信號(hào)處理中的算法研究[D].西安:西安電子科技大學(xué),2001.
[3] Sweldens W.The lifting scheme: a custom-design construction for biorthononal wavelets[C].University of South Carolina, 1994:1-39.
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