，，

(武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430063)

噪聲可以理解為“妨礙人們感覺(jué)器官對(duì)所接收的信源信息理解的因素”，它是影響圖像質(zhì)量的主要因素。因此，有必要對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理來(lái)提高圖像的質(zhì)量。

小波特有的時(shí)頻分析能力使其在圖像處理領(lǐng)域獲得了較好的效果。特別是Mallat和Mayer提出的多分辨分析(MRA)小波理論[1]為圖像去噪提供了更理想的工具。一般可以將傳統(tǒng)的小波去噪的方法分為三大類(lèi)[2]：第一類(lèi)方法是基于小波變換模極大值原理的方法，此方法在去噪過(guò)程中存在一個(gè)由模極大值重構(gòu)小波系數(shù)的問(wèn)題，計(jì)算量非常大；第二類(lèi)方法是基于小波系數(shù)尺度之間的相關(guān)性原理進(jìn)行圖像去噪，需要進(jìn)行多次迭代，還需估計(jì)噪聲方差；第三類(lèi)方法是小波閾值去噪方法，該方法其閾值的選取比較困難，而且閾值的選取還依賴(lài)于噪聲的方差。

由于傳統(tǒng)小波存在上述缺點(diǎn)，第二代提升小波產(chǎn)生，所有的傳統(tǒng)小波都可以由提升方法中的基本提升和對(duì)偶提升分解而成，提升方法能夠包容傳統(tǒng)所有的小波。

1 二代小波變換的基本原理

1994年，Swelden[3]提出了一種不依賴(lài)于傅里葉變換的新的小波構(gòu)造方法——提升方法，被稱(chēng)之為第二代小波或整數(shù)小波變換。二代小波提升算法的基本原理如下。

1.1 分裂

將一個(gè)信號(hào)sj分為一個(gè)奇數(shù)數(shù)列與偶數(shù)數(shù)列，即：split(sj)=(dj-1,sj-1)

(1)

1.2 預(yù)測(cè)

dj-1=oddj-1-P(evenj-1)=dj-1-P(sj-1)

(2)

1.3 更新(提升)

通過(guò)一算子U產(chǎn)生一個(gè)新的子數(shù)據(jù)集sj-1,更新過(guò)程可定義為：

sj-1=evenj-1+U(dj-1)=sj-1+U(dj-1)

(3)

對(duì)于更新之后的數(shù)據(jù)子集sj-1再進(jìn)行上面一樣的分裂，預(yù)測(cè)和更新的過(guò)程，經(jīng)過(guò)n次分解后原始數(shù)據(jù)sj可表示為{dj-n,dj-n+1,…dj-1}。

1.4 重構(gòu)(反變換)

重構(gòu)數(shù)據(jù)過(guò)程中的提升公式與分解公式基本相同，區(qū)別僅在于計(jì)算次序與正負(fù)號(hào)，可表示為：

sj-1=sj-1-U(dj-1)

dj-1=dj-1+P(sj-1)

sj=Merge(dj-1,sj-1)

(4)

2 二代小波在圖像去噪中的應(yīng)用

在小波變換中，不同的圖像存在不同的最佳分解尺度，它們由圖像本身的特點(diǎn)所決定，在小波變換中應(yīng)該根據(jù)具體圖像來(lái)自適應(yīng)地確定其分解尺度，這樣才能得到對(duì)該圖像更好的分解效果。第二代小波具有非常好的靈活性，通過(guò)選擇不同的預(yù)測(cè)算子和修正算子可以得到具有較好的適應(yīng)性小波變換[4]。尺度適應(yīng)性算法的原理是要求在圖像分解的每一層上，使得預(yù)測(cè)適應(yīng)于圖像在相應(yīng)尺度的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。其基本思路是：構(gòu)造合適的預(yù)測(cè)濾波器和修正濾波器，使得在每一個(gè)尺度下的分解滿足優(yōu)化條件。由此提出一個(gè)尺度選擇的能量最大差異準(zhǔn)則：若所選擇的尺度使得所有尺度上分解結(jié)果的能量差異達(dá)到最大，則所選擇尺度就是最佳分解尺度。

(5)

相鄰兩尺度的能量之差定義為：

(6)

其中上面公式中的k為小波變換的點(diǎn)數(shù)。

定義適應(yīng)度函數(shù)用于評(píng)價(jià)不同尺度分解效果：

(7)

式中的1，2…，j為待選尺度。如果F(1，2…,j)為最大值，則j-1為最佳分解尺度。

根據(jù)噪聲在小波變換域中的特征知道，噪聲的強(qiáng)度隨著分解尺度J的增大而降低[5]，如果在各個(gè)尺度上使用相同全局閾值λ，雖然可使計(jì)算簡(jiǎn)單，但在一定程度上“過(guò)扼殺”了小波系數(shù)的傾向。所以對(duì)噪聲圖像做尺度適應(yīng)性二代小波變換后，對(duì)每一層的細(xì)節(jié)信號(hào)部分(即高頻部分)都要進(jìn)行閾值處理，傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)可以很好保留圖像邊緣的局部特征，但重構(gòu)后的圖像會(huì)產(chǎn)生一些振蕩或紋理不清晰等現(xiàn)象，而軟閾值函數(shù)處理結(jié)果相對(duì)平滑得多，但會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。基于以上軟硬閾值的不足，本文采用改進(jìn)的閾值函數(shù)來(lái)進(jìn)行閾值處理，改進(jìn)的閾值函數(shù)定義如下：

式中，μ∈R,并且μ>1.0.

(8)

(9)

β=dj-J/(dj-J+Si-J)

(10)

(11)

很容易看出當(dāng)|WJ，(j,k)|≥λ,

(12)

(13)

(14)

從上面的(14)(15)式中可以看出，當(dāng)μ→∞,式(14)正是經(jīng)典的硬閾值法，而當(dāng)μ→1,式(15)是經(jīng)典的軟閾值法。所以上面(9)式提出的改進(jìn)的閾值算法可以很好的折中軟硬閾值。

對(duì)于圖像中的噪聲來(lái)說(shuō)，噪聲的小波系數(shù)值隨分解層數(shù)J增加而減小。所以(12)式中λ與J的取值成反比。

根據(jù)上面收縮閾值函數(shù)對(duì)分解后的每一層的高頻部分進(jìn)行處理后，高頻系數(shù)中的噪聲部分得到極大的消減，然后由處理后的高頻部分與正變換得到的低頻部分在每一層上根據(jù)上面(4)式給出的重構(gòu)方法重新得到新的圖像。

為了衡量圖像去噪性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，我們常用信噪比來(lái)測(cè)量圖像噪聲量，這種方法常被用來(lái)作為圖像去噪效果評(píng)價(jià)的指標(biāo)。信噪比單位是分貝(db)，其定義為：

SNR=10×log10(powerimage/powernoise)

(15)

(16)

如果去噪后的圖像信噪比SNR值越大，則圖像去噪效果就越好。

3 實(shí)驗(yàn)分析與結(jié)論

為了驗(yàn)證提出的二代小波對(duì)噪聲圖像去噪的效果，本實(shí)驗(yàn)選取噪聲圖像進(jìn)行二代小波變換后按照尺度適應(yīng)性算法進(jìn)行閾值處理，處理后效果圖對(duì)比見(jiàn)圖1～5及表1。

圖1 噪聲圖像

圖2 二維中值濾波

圖3 小波軟閾值去噪

圖4 小波硬閾值去噪

圖5 尺度適應(yīng)性二代小波去

表1 不同去噪效果信噪比(SNR)對(duì)比

通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以很明顯地看出尺度適應(yīng)性二代小波對(duì)圖像去噪效果更好，去噪后圖像的信噪比大大地提高、更加清晰、邊緣與紋理信息也更加豐富。

第二代小波變換是對(duì)傳統(tǒng)小波理論的進(jìn)一步發(fā)展，研究還在起步階段，其理論研究尚需要進(jìn)一步深入。

[1] Gonzalez R C, Woods R E, Eddins S L.Digital Image Processing Using Matlab[M].Beijing: publishing House of Electronics Industry, 2005.

[2] 趙瑞珍.小波理論及其在圖像、信號(hào)處理中的算法研究[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2001.

[3] Sweldens W.The lifting scheme: a custom-design construction for biorthononal wavelets[C].University of South Carolina, 1994:1-39.

[4] 王志武，丁國(guó)清，顏國(guó)正，等.自適應(yīng)提升小波變換與信號(hào)去噪[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2002(2)：28-30.

[5] 謝榮生，李漢杰，孫 楓，等，基于多小波噪聲方差閾值的信號(hào)濾波方法[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，23(2)：51-54.