，，

(武漢理工大學 能源與動力工程學院，武漢 430063)

噪聲可以理解為“妨礙人們感覺器官對所接收的信源信息理解的因素”，它是影響圖像質(zhì)量的主要因素。因此，有必要對圖像進行去噪處理來提高圖像的質(zhì)量。

小波特有的時頻分析能力使其在圖像處理領域獲得了較好的效果。特別是Mallat和Mayer提出的多分辨分析(MRA)小波理論[1]為圖像去噪提供了更理想的工具。一般可以將傳統(tǒng)的小波去噪的方法分為三大類[2]：第一類方法是基于小波變換模極大值原理的方法，此方法在去噪過程中存在一個由模極大值重構小波系數(shù)的問題，計算量非常大；第二類方法是基于小波系數(shù)尺度之間的相關性原理進行圖像去噪，需要進行多次迭代，還需估計噪聲方差；第三類方法是小波閾值去噪方法，該方法其閾值的選取比較困難，而且閾值的選取還依賴于噪聲的方差。

由于傳統(tǒng)小波存在上述缺點，第二代提升小波產(chǎn)生，所有的傳統(tǒng)小波都可以由提升方法中的基本提升和對偶提升分解而成，提升方法能夠包容傳統(tǒng)所有的小波。

1 二代小波變換的基本原理

1994年，Swelden[3]提出了一種不依賴于傅里葉變換的新的小波構造方法——提升方法，被稱之為第二代小波或整數(shù)小波變換。二代小波提升算法的基本原理如下。

1.1 分裂

將一個信號sj分為一個奇數(shù)數(shù)列與偶數(shù)數(shù)列，即：split(sj)=(dj-1,sj-1)

(1)

1.2 預測

dj-1=oddj-1-P(evenj-1)=dj-1-P(sj-1)

(2)

1.3 更新(提升)

通過一算子U產(chǎn)生一個新的子數(shù)據(jù)集sj-1,更新過程可定義為：

sj-1=evenj-1+U(dj-1)=sj-1+U(dj-1)

(3)

對于更新之后的數(shù)據(jù)子集sj-1再進行上面一樣的分裂，預測和更新的過程，經(jīng)過n次分解后原始數(shù)據(jù)sj可表示為{dj-n,dj-n+1,…dj-1}。

1.4 重構(反變換)

重構數(shù)據(jù)過程中的提升公式與分解公式基本相同，區(qū)別僅在于計算次序與正負號，可表示為：

sj-1=sj-1-U(dj-1)

dj-1=dj-1+P(sj-1)

sj=Merge(dj-1,sj-1)

(4)

2 二代小波在圖像去噪中的應用

在小波變換中，不同的圖像存在不同的最佳分解尺度，它們由圖像本身的特點所決定，在小波變換中應該根據(jù)具體圖像來自適應地確定其分解尺度，這樣才能得到對該圖像更好的分解效果。第二代小波具有非常好的靈活性，通過選擇不同的預測算子和修正算子可以得到具有較好的適應性小波變換[4]。尺度適應性算法的原理是要求在圖像分解的每一層上，使得預測適應于圖像在相應尺度的結構特點。其基本思路是：構造合適的預測濾波器和修正濾波器，使得在每一個尺度下的分解滿足優(yōu)化條件。由此提出一個尺度選擇的能量最大差異準則：若所選擇的尺度使得所有尺度上分解結果的能量差異達到最大，則所選擇尺度就是最佳分解尺度。

(5)

相鄰兩尺度的能量之差定義為：

(6)

其中上面公式中的k為小波變換的點數(shù)。

定義適應度函數(shù)用于評價不同尺度分解效果：

(7)

式中的1，2…，j為待選尺度。如果F(1，2…,j)為最大值，則j-1為最佳分解尺度。

根據(jù)噪聲在小波變換域中的特征知道，噪聲的強度隨著分解尺度J的增大而降低[5]，如果在各個尺度上使用相同全局閾值λ，雖然可使計算簡單，但在一定程度上“過扼殺”了小波系數(shù)的傾向。所以對噪聲圖像做尺度適應性二代小波變換后，對每一層的細節(jié)信號部分(即高頻部分)都要進行閾值處理，傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)可以很好保留圖像邊緣的局部特征，但重構后的圖像會產(chǎn)生一些振蕩或紋理不清晰等現(xiàn)象，而軟閾值函數(shù)處理結果相對平滑得多，但會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象?；谝陨宪浻查撝档牟蛔?，本文采用改進的閾值函數(shù)來進行閾值處理，改進的閾值函數(shù)定義如下：

式中，μ∈R,并且μ>1.0.

(8)

(9)

β=dj-J/(dj-J+Si-J)

(10)

(11)

很容易看出當|WJ，(j,k)|≥λ,

(12)

(13)

(14)

從上面的(14)(15)式中可以看出，當μ→∞,式(14)正是經(jīng)典的硬閾值法，而當μ→1,式(15)是經(jīng)典的軟閾值法。所以上面(9)式提出的改進的閾值算法可以很好的折中軟硬閾值。

對于圖像中的噪聲來說，噪聲的小波系數(shù)值隨分解層數(shù)J增加而減小。所以(12)式中λ與J的取值成反比。

根據(jù)上面收縮閾值函數(shù)對分解后的每一層的高頻部分進行處理后，高頻系數(shù)中的噪聲部分得到極大的消減，然后由處理后的高頻部分與正變換得到的低頻部分在每一層上根據(jù)上面(4)式給出的重構方法重新得到新的圖像。

為了衡量圖像去噪性能評價標準，我們常用信噪比來測量圖像噪聲量，這種方法常被用來作為圖像去噪效果評價的指標。信噪比單位是分貝(db)，其定義為：

SNR=10×log10(powerimage/powernoise)

(15)

(16)

如果去噪后的圖像信噪比SNR值越大，則圖像去噪效果就越好。

3 實驗分析與結論

為了驗證提出的二代小波對噪聲圖像去噪的效果，本實驗選取噪聲圖像進行二代小波變換后按照尺度適應性算法進行閾值處理，處理后效果圖對比見圖1～5及表1。

圖1 噪聲圖像

圖2 二維中值濾波

圖3 小波軟閾值去噪

圖4 小波硬閾值去噪

圖5 尺度適應性二代小波去

表1 不同去噪效果信噪比(SNR)對比

通過實驗可以很明顯地看出尺度適應性二代小波對圖像去噪效果更好，去噪后圖像的信噪比大大地提高、更加清晰、邊緣與紋理信息也更加豐富。

第二代小波變換是對傳統(tǒng)小波理論的進一步發(fā)展，研究還在起步階段，其理論研究尚需要進一步深入。

[1] Gonzalez R C, Woods R E, Eddins S L.Digital Image Processing Using Matlab[M].Beijing: publishing House of Electronics Industry, 2005.

[2] 趙瑞珍.小波理論及其在圖像、信號處理中的算法研究[D].西安：西安電子科技大學，2001.

[3] Sweldens W.The lifting scheme: a custom-design construction for biorthononal wavelets[C].University of South Carolina, 1994:1-39.

[4] 王志武，丁國清，顏國正，等.自適應提升小波變換與信號去噪[J].計算機工程與應用，2002(2)：28-30.

[5] 謝榮生，李漢杰，孫 楓，等，基于多小波噪聲方差閾值的信號濾波方法[J].哈爾濱工業(yè)大學學報，2002，23(2)：51-54.