倡導(dǎo)積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式，是高中新課標(biāo)的基本理念之一．它要求“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)”．在高中新課標(biāo)的實(shí)施建議中也建議數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“既要有教師的講授和指導(dǎo)，也有學(xué)生的自主探索與合作交流．教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問(wèn)題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程”^［1］.新課標(biāo)的實(shí)驗(yàn)教材在廣東已推行了一年多，這一理念有沒(méi)有得到真正落實(shí)?實(shí)施過(guò)程中存在著哪些問(wèn)題?下面筆者結(jié)合曾觀(guān)摩的一節(jié)公開(kāi)課，運(yùn)用數(shù)學(xué)任務(wù)框架理論，來(lái)作些剖析與探討．應(yīng)用數(shù)學(xué)任務(wù)框架解析和診斷課堂，在國(guó)內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)教育界還處于剛剛起步階段，筆者愿拋磚引玉，引起更多的人對(duì)此關(guān)注．

1課例再現(xiàn)

觀(guān)摩課在廣州×中高一(4)班進(jìn)行，這是重點(diǎn)中學(xué)的一個(gè)理科實(shí)驗(yàn)班，生源很好．執(zhí)教的H老師是一位教齡4年的年輕教師．課題是北師大版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材必修1中的“對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)”．這一個(gè)內(nèi)容在以前的多個(gè)版本的教材中都一直存在，H老師有意回避以前一些傳統(tǒng)的教法，立足于教會(huì)學(xué)生學(xué)，試圖在課堂上讓學(xué)生進(jìn)行一系列的自主學(xué)習(xí)，探究活動(dòng)，為此分別設(shè)計(jì)了3個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，為了便于分析，我們把每個(gè)環(huán)節(jié)作較為詳細(xì)的敘述．

1．1環(huán)節(jié)1：

教師讓學(xué)生自己閱讀課本第109頁(yè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)部分，教師四周巡視，并小聲詢(xún)問(wèn)個(gè)別同學(xué)．約用時(shí)2分鐘．

然后教師問(wèn)：課本上的表格中是否包括了對(duì)數(shù)函數(shù)的所有性質(zhì)?

眾生答：不是．教師追問(wèn)：是否還有其他性質(zhì)?

生1：還有單調(diào)性．

生2：還有奇偶性．

生2補(bǔ)充道：既非奇又非偶．

教師繼續(xù)追問(wèn)：還有其他性質(zhì)嗎?看到?jīng)]有學(xué)生能回答.

教師說(shuō)：反函數(shù)沒(méi)有提到吧!以后隨著時(shí)間的推移，大家會(huì)慢慢了解其他一些性質(zhì)．

1．2環(huán)節(jié)2：

教師讓學(xué)生先閱讀課本第109～第110頁(yè)例4，約2分鐘．

接著教師問(wèn)：例4中，求對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的關(guān)鍵是什么?同桌可以互相討論一下．

片刻后點(diǎn)生3回答：對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零．

教師接著道：例4比較簡(jiǎn)單，能設(shè)計(jì)一個(gè)稍微復(fù)雜的題目嗎?可以討論一下．2分鐘后教師點(diǎn)生4上講臺(tái)板演，寫(xiě)下：

1．3環(huán)節(jié)3：

H老師先要求學(xué)生閱讀課本第110頁(yè)例5．兩分鐘后，教師問(wèn)：例5的設(shè)計(jì)意圖是什么？

生8回答：考察對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的變化．

教師復(fù)述學(xué)生8的回答后，接著追問(wèn)道：你是怎樣解第3小題的？

生8：作差法來(lái)做的．

教師想進(jìn)一步挖掘例5，問(wèn)道：在例5的基礎(chǔ)上，大家想一想a的變化對(duì)函數(shù)圖像有什么影響？一起探索一下．接著教師利用幾何畫(huà)板演示對(duì)數(shù)函數(shù)圖像隨著a的變化而變化的動(dòng)畫(huà)．然后點(diǎn)生9回答剛才的問(wèn)題．

生9：a＞1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)；0＜a＜1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)是減函數(shù)．

教師繼續(xù)望著生9，生9補(bǔ)充道：當(dāng)a越大，y越?。?/p>

教師追問(wèn)：當(dāng)a越大，y越??？這說(shuō)法對(duì)不對(duì)？沒(méi)對(duì)a分類(lèi)吧！

生9馬上糾正道：當(dāng)a＞1時(shí)，a越大，y增長(zhǎng)越慢；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a越大，y增長(zhǎng)越快．

教師追問(wèn)：增長(zhǎng)越快？函數(shù)是往下畫(huà)哪！

生9進(jìn)一步糾正：減小越快．

教師又問(wèn)其他同學(xué)意見(jiàn)，

生10站起來(lái)說(shuō)：當(dāng)a＞1時(shí)，在第一象限，a越大，函數(shù)圖像越靠近x軸，在第四象限，a越大，函數(shù)圖像越靠近y軸；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在第一象限，a越大，函數(shù)圖像越靠近x軸，在第四象限，a越大，函數(shù)圖像越靠近y軸．

接下來(lái)教師對(duì)以上探討出的結(jié)論進(jìn)行鞏固訓(xùn)練和反饋，要求學(xué)生做以下練習(xí)：

如圖1是三個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_ax， y=log_bx， y=log_cx (a，b，c＞0，且a，b，c均不為1）的圖像，試比較a，b，c的大小．

教師問(wèn)：誰(shuí)能迅速判斷出a，b，c的大小嗎？

點(diǎn)生11回答：a，b都大于1，c＜1，所以c最?。?/p>

教師追問(wèn)：那a，b的大小呢？

生11低頭沉思．

教師又點(diǎn)生12回答：b＞a，因?yàn)閍越大，在第一象限，函數(shù)圖像越靠近x軸．

教師接著說(shuō)：很好！還有其他方法嗎？

圖1圖2生13馬上接著回答：在y軸上過(guò)l作一條平行于x軸的直線(xiàn)（教師同時(shí)在黑板上畫(huà)出圖2），由與圖像的交點(diǎn)可以看出b＞a＞c．教師在進(jìn)行一題多解后，又進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，問(wèn)道：例5能推廣嗎？學(xué)生中沒(méi)有反應(yīng)．片刻后，

生14舉手回答：可把第（1）小題變成比較log₂5．3，log₂4．7，log_0．58的大?。?/p>

然后師生一起通過(guò)換底得到三者的大小關(guān)系．

接著教師又問(wèn)：若把log_0．58換成log₃0．5，能看出誰(shuí)最小嗎？

生眾：log₃0．5，因?yàn)樗鼮樨?fù)．

教師繼續(xù)追問(wèn)：log_ax什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？

生15回答：當(dāng)a＞1，0＜x＜1或者0＜a＜1，x＞1時(shí)．

在此教師作了一個(gè)簡(jiǎn)單小結(jié)：a，x分別落在區(qū)間（0，1）和（1，+∞)上時(shí)是負(fù)，同時(shí)落在其中一個(gè)區(qū)間上時(shí)為正．接著教師又給出一組推廣：比較大?、?log₂5.3+log₂4.7， 2log₂5; ② log₃5+log₃9， 2log₃7; ③ log₅7+log₅17， 2log₅12．學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)當(dāng)計(jì)算前面的和，再與后面比較，并得到一般化規(guī)律：當(dāng)a＞1時(shí)，log_ab+log_ac≤2log_ab+c/2；當(dāng)0＜a＜1時(shí)結(jié)論相反．

圖3教師進(jìn)一步問(wèn)：能聯(lián)系圖像解釋嗎？此時(shí)教室內(nèi)一片沉寂，2分鐘后，H老師看沒(méi)有能回答，又快下課，就直接借助圖3講解：梯形ABCD的中位線(xiàn)表示log_ab+log_ac/2，由圖3知很顯然應(yīng)小于log_ab+c/2，并告訴學(xué)生這也是對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，而且是更一般意義上的性質(zhì)—凸（凹）函數(shù)，最后要求學(xué)生課后去找相關(guān)資料進(jìn)一步研究一下凸（凹）函數(shù)．

2數(shù)學(xué)任務(wù)分析

在數(shù)學(xué)任務(wù)框架中，數(shù)學(xué)任務(wù)是指圍繞發(fā)展某個(gè)特定的數(shù)學(xué)技能、概念或思想而進(jìn)行的一個(gè)課堂活動(dòng)片段，包括問(wèn)題和師生圍繞問(wèn)題所進(jìn)行的教學(xué)活動(dòng)．一個(gè)任務(wù)既可以包含一節(jié)課中與某一復(fù)雜問(wèn)題相聯(lián)系的幾個(gè)問(wèn)題或擴(kuò)展活動(dòng)，也可以是整節(jié)課的內(nèi)容．一節(jié)果中可以只包含一個(gè)任務(wù)，也可以有幾個(gè)任務(wù)，上面三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)我們可以把它看成三個(gè)數(shù)學(xué)任務(wù)．在數(shù)學(xué)任務(wù)框架中，每個(gè)任務(wù)被劃分成三個(gè)階段：

（1） 課程材料階段，指以書(shū)面材料形式出現(xiàn)的、教科書(shū)以及教學(xué)輔導(dǎo)書(shū)中的或教師自己創(chuàng)造的問(wèn)題．

（2） 任務(wù)建立或組織階段，指教師在課堂上就關(guān)于應(yīng)該做什么、怎樣做、利用何種資料問(wèn)題與學(xué)生進(jìn)行的交流，包括教師對(duì)任務(wù)的口頭說(shuō)明、分發(fā)材料和工具、深度會(huì)談期望達(dá)到的目標(biāo)，或者僅僅是花少量的時(shí)間告訴學(xué)生開(kāi)始做黑板上列出的問(wèn)題．

（3） 任務(wù)實(shí)施或執(zhí)行階段，它由學(xué)生實(shí)際完成任務(wù)的方式來(lái)決定．現(xiàn)根據(jù)數(shù)學(xué)任務(wù)的這三個(gè)階段，對(duì)本課例的教學(xué)進(jìn)行診斷分析．

2．1探究性課堂需對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行“高認(rèn)知任

務(wù)”化處理教科書(shū)上的數(shù)學(xué)內(nèi)容，大多是以“數(shù)學(xué)結(jié)果”的形式出現(xiàn)，雖然根據(jù)新課標(biāo)編寫(xiě)的教科書(shū)在這方面有所改善，但很多知識(shí)內(nèi)容仍需要教師進(jìn)行再處理，使學(xué)生不斷知其然，還知其所以然，尤其是自主探究性課堂，更要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的再創(chuàng)造過(guò)程．為此必須對(duì)“結(jié)果的數(shù)學(xué)”進(jìn)行“高認(rèn)知數(shù)學(xué)任務(wù)”化處理，讓學(xué)生通過(guò)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，去體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程．而且這一過(guò)程中要保持學(xué)生較高的思維參與度和自主性．上述課例中，毫無(wú)疑問(wèn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，在這個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容上本可以也應(yīng)該進(jìn)行探究性活動(dòng)，還“死”的知識(shí)以活的過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像，再在圖像的基礎(chǔ)上，學(xué)生自己歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．如此處理既突出了本節(jié)課的重點(diǎn)，也體現(xiàn)新課標(biāo)的要求，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力、抽象概括能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)與交流能力．H老師為了強(qiáng)調(diào)能力目標(biāo)的完成，而忽視了這個(gè)重點(diǎn)知識(shí)目標(biāo)的達(dá)標(biāo)，無(wú)異于舍本逐末，也使得后面的很多探究活動(dòng)成了無(wú)源之水，無(wú)本之木．事實(shí)上，從課后與學(xué)生的交談中得知，部分學(xué)生不能完整地說(shuō)出對(duì)數(shù)函數(shù)有那些性質(zhì)，有的甚至臆斷出錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)．這顯然與H老師教學(xué)環(huán)節(jié)1的不當(dāng)處理有關(guān)．正所謂：要想使花發(fā)，必須給花兒以厚實(shí)的地基．

2．2探究性課堂需布置與組織高認(rèn)知的數(shù)學(xué)

任務(wù)根據(jù)美國(guó)匹茲堡大學(xué)QUASAR研究，把數(shù)學(xué)任務(wù)按認(rèn)知要求分成四種類(lèi)型：記憶型、無(wú)聯(lián)系的程序型、有聯(lián)系的程序型和做數(shù)學(xué)．教師布置或建立的任務(wù)的認(rèn)知水平，決定著學(xué)生后面思維的參與和探究活動(dòng)的水平．一節(jié)課中的所有任務(wù)，不一定都要求學(xué)生有高認(rèn)知的活動(dòng)參與，組織不同認(rèn)知類(lèi)型的活動(dòng)與教師的活動(dòng)目的(教學(xué)目標(biāo))有關(guān)．H老師的教學(xué)目標(biāo)是要提高學(xué)生的自學(xué)能力，讓學(xué)生自己提出和探究一些問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力和創(chuàng)新意識(shí)．與此相應(yīng)，“就應(yīng)該選擇具有使學(xué)生參與更復(fù)雜的思維方式的潛力的任務(wù)”，雖然這不能保證學(xué)生在高水平上的參與，但卻是一個(gè)必要條件，因?yàn)榈退降娜蝿?wù)實(shí)際上幾乎不可能產(chǎn)生高水平的參與^［3］．因此，我們說(shuō)自主探究性教學(xué)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)高認(rèn)知問(wèn)題情境——它不能是僅僅為了引入任務(wù)而設(shè)置的走過(guò)場(chǎng)式的“標(biāo)簽型”問(wèn)題情境，而應(yīng)該對(duì)后面的探究活動(dòng)持續(xù)地發(fā)揮作用，貫穿于整個(gè)探究活動(dòng)之中．

從前面課例中的三個(gè)任務(wù)可以看出，H老師布置任務(wù)的方式相同，都是先讓學(xué)生閱讀自學(xué)，然后教師提出一些具有探究性的問(wèn)題．如，你能設(shè)計(jì)一個(gè)稍微復(fù)雜的題目嗎?例5的設(shè)計(jì)意圖是什么?等等．應(yīng)該說(shuō)，這些問(wèn)題都具有較高的認(rèn)知水平，為后面任務(wù)實(shí)施階段的探究活動(dòng)，打下了好的基礎(chǔ)，，但令人遺憾的是，這種高水平在任務(wù)的實(shí)施階段沒(méi)有持續(xù)保持．正所謂：要想使花發(fā)，必須給花兒以持續(xù)的營(yíng)養(yǎng)．

2．3探究性數(shù)學(xué)任務(wù)的實(shí)施與執(zhí)行

如前所述，布置階段是高認(rèn)知水平的任務(wù)，在實(shí)施階段不一定有高認(rèn)知水平的學(xué)生參與．“做數(shù)學(xué)”的任務(wù)可能被演變成為“無(wú)聯(lián)系程序型”任務(wù)或者非數(shù)學(xué)活動(dòng)．已有研究表明，在任務(wù)的實(shí)施階段，學(xué)生的認(rèn)知參與程度最終決定他學(xué)了什么，而教師對(duì)學(xué)生思維和推理的支持方式和程度是決定高水平任務(wù)最終命運(yùn)的一個(gè)重要因素^［4］．為了使任務(wù)實(shí)施過(guò)程中認(rèn)知要求保持原有水平，教師應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

① 任務(wù)要建立在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上，要指向?qū)W生的最近發(fā)展區(qū)．

② 保持問(wèn)題的復(fù)雜性，當(dāng)學(xué)生遇到困難，需要幫助時(shí)，教師要通過(guò)搭腳手架給予幫助，而不是隨意降低問(wèn)題的難度，甚至是迫于學(xué)生的壓力或者教學(xué)進(jìn)度等原因而代學(xué)生完成．

③ 任務(wù)布置以后，要留給學(xué)生適量的時(shí)間．

④ 有時(shí)教師要親自或請(qǐng)學(xué)生示范高水平的行為.

⑤ 教師要維持對(duì)學(xué)生解釋和賦予意義的要求．

這正如面對(duì)一道數(shù)學(xué)難題，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生克服困難，努力思考，爭(zhēng)取成功，而不是要求學(xué)生放棄．上述課例的環(huán)節(jié)1中，H．老師只給學(xué)生2分鐘閱讀對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，部分學(xué)生都沒(méi)弄清課本上列出的對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，接著又問(wèn)表格中是否包括了對(duì)數(shù)函數(shù)的所有性質(zhì)?是否還有其他性質(zhì)?教師是希望學(xué)生回答他心中所想的反函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，但由于問(wèn)題提得唐突，又沒(méi)給學(xué)生足夠時(shí)間，所以很多學(xué)生面對(duì)老師的問(wèn)題無(wú)所適從，探究活動(dòng)只有戛然而止．類(lèi)似的情形也出現(xiàn)在環(huán)節(jié)2中，求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的本質(zhì)是對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0，H老師在教學(xué)中沒(méi)有充分揭示這一本質(zhì)，反而去追求其他方面的變式、發(fā)散，如對(duì)數(shù)的底的限制，二次根號(hào)下的限制．這種沒(méi)有抓住本質(zhì)的變式與發(fā)散是無(wú)味的，很容易讓學(xué)生感到無(wú)所適從，挫傷學(xué)生的探究熱情．環(huán)節(jié)3對(duì)課本例5的處理，相對(duì)來(lái)說(shuō)應(yīng)該是成功的，從任務(wù)的組織到實(shí)施都有較高的認(rèn)知要求，屬于“做數(shù)學(xué)”，學(xué)生的活動(dòng)體現(xiàn)了真正意義上的探究，最后教師拋出凸(凹)函數(shù)概念，是否恰當(dāng)和必要，值得商榷．筆者的觀(guān)點(diǎn)是，探究活動(dòng)也要掌握一個(gè)度，既要考慮學(xué)生目前的接受能力，也要考慮課標(biāo)與考綱的要求．更何況用圖3來(lái)解釋不等式log_ab+log_ac≤2log_ab+c/2 (a＞1)的意義、引出凸(凹)函數(shù)的概念是H老師拋給學(xué)生的，這是違背探究性課堂教學(xué)原則的．當(dāng)學(xué)生探究過(guò)程中出現(xiàn)困難時(shí)，教師應(yīng)該反思所提問(wèn)題是否大大超出學(xué)生的認(rèn)知水平．如果沒(méi)有超出，教師就要想方設(shè)法為學(xué)生的思維搭腳手架，給學(xué)生以幫助，而不是包辦代替學(xué)生的思維．正所謂：要想使花發(fā)，必須給花兒以精心的照料．

自主探究性學(xué)習(xí)方式是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的，也是廣大師生所期望的．但要想在課堂中真正實(shí)現(xiàn)，卻面臨著很多困難，作為一線(xiàn)教師應(yīng)該多學(xué)習(xí)，多研究，改變觀(guān)念，尋求策略，使自主探究性學(xué)習(xí)方式常駐于我們的課堂．

參考文獻(xiàn)

1中華人民共和國(guó)教育部制訂，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))．人民教育出版社，2003

2姚靜，宋偉倩，康劍平．他們?yōu)槭裁丛趹?yīng)用題上失敗了，課程·教材·教法，2003（5）

3Hennigsen，M，A.Stein，M.K.Mathematical Task and Inhibit High-level Mathematical Thinking and Reasoning，Journal for Research in Mathematical Education， 29(5)，546

4李忠如譯．實(shí)施初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)案例^［M］．上海：上海教育出版社，2001

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文