探究式教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)中的重要的教學(xué)方式之一，它是以探究為基本特征的一種教學(xué)活動(dòng)形式．?dāng)?shù)學(xué)課堂的探究包含著學(xué)生間的討論以及師生間的互動(dòng)與交流，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性和參與意識，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題的能力．讓學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的愉悅和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識．

1問題的產(chǎn)生

三棱錐是最簡單的多面體，三棱錐問題是立體幾何中的重要問題．熟練掌握三棱錐的有關(guān)知識與結(jié)論是學(xué)好立體幾何的重要環(huán)節(jié)，而在解決三棱錐問題時(shí)，常常遇到如何確定三棱錐的高的問題．其實(shí)，如果三棱錐頂點(diǎn)在底面的射影位置確定了，高也隨之確定了．

2問題的提出

（1） 如果三棱錐的三條側(cè)棱相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影位置如何？

（2） 如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角都相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影位置如何？

（3） 如果三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，那么頂點(diǎn)在底面上的射影位置如何？

3問題的求解

在教學(xué)中，不急于把解法過程拋給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)圖1生通過積極思考、探究，尋求上述3個(gè)問題的解決，困難不大，大部分學(xué)生能自主解決．

解：如圖1所示，三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，在底面上的射影為O，連結(jié)PO，OA，OB，OC，則 PO⊥面ABC．因?yàn)?PA=PB=PC， 所以 AO=BO=CO，所以O(shè)點(diǎn)為△ABC的外心．

變式探究1：若將（1）中條件換成“三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成的角相等”，那么結(jié)論有什么變化？（學(xué)生思考，動(dòng)手推理論證，會(huì)很快得出“外心”這一結(jié)論），如圖2.

解：點(diǎn)P在底面上的射影為O，連結(jié)PO，則PO⊥面ABC，在底面過O作OD⊥AB， OE⊥BC， OF⊥AC，垂足分別為D、E、F，連結(jié)PD，PE，PF，則 PD⊥AB， PE⊥BC， PF⊥AC，所以 ∠PDO， ∠PEO， ∠PFO分別為二面角P-AB-C，P-BC-A，P-AC-B的平面角.又因?yàn)?∠PDO=∠PEO=∠PFO， PO=PO=PO，所以 Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO，所以 OD=OE=OF. 所以O(shè)為△ABC的內(nèi)心．

變式探究2：對于問題（2）任意一個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影一定在底面三角形的內(nèi)部嗎？

（學(xué)生的探索欲望增強(qiáng)了，經(jīng)積極地思考后會(huì)想到三棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影可以在底面三角形的外部，也可以在三角形的一邊上）

圖2圖3變式探究3：對于問題（2）中，若結(jié)論不變則需對它的條件怎樣限定？條件還能做什么變化？（這時(shí)學(xué)生已很順利地可以寫出來了）

變式探究4：請大家對問題（3）的條件和結(jié)論作大膽聯(lián)想．構(gòu)造一些與本題目有關(guān)的命題．（學(xué)生的探索精神不斷增強(qiáng)，老師作適當(dāng)點(diǎn)撥，可能得出下列命題：

① 若一個(gè)三棱錐中有兩組對棱垂直，那么第三組對棱也垂直

② 若一個(gè)三棱錐中有兩組對棱垂直，那么頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的垂心）（求解過程略）

結(jié)論：（1） 如果三棱錐的三條側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所在的角相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影一定是底面三角形的外心．

（2） 如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等或頂點(diǎn)到底面各邊的距離相等且頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形的內(nèi)部，那么頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心．

（3） 如果三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直或有兩組對棱垂直，那么頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的垂心．

4問題的拓展

為了提高學(xué)生類比、遷移和拓展的能力，還要求學(xué)生再作思考，對問題（1）、（2）兩個(gè)不同條件同一結(jié)論的命題對一般棱錐是否成立呢？

（學(xué)生積極思考、探索，用同樣的推理方法可歸納出一般結(jié)論）

5問題的應(yīng)用

例如圖4，已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，P在底面ABC內(nèi)的射影為H．

求證：△APB的面積是△ABC和△AHB的面積的比例中項(xiàng)．

分析：師：欲證△APB的面積是△ABC和△AHB的面積的比例中項(xiàng)即證什么就可以了？

生：即證S²_△APB=S_△ABC·S_△AHB．

師：觀察如圖△APB，△ABC，△AHB有什么共同特點(diǎn)？

生：都有一條公共邊AB

師：由三角面積公式可知只需證什么？

生：只需證△APB中AB邊上的高是△ABC中AB邊上的高和△AHB中AB邊上的高的比例中項(xiàng).

由：由已知條件可知頂點(diǎn)P在底面的射影H如何？

生：頂點(diǎn)P在底面的射影H是△ABC的垂心．

師：連接CH并延長交AB于D，連接PD，所證結(jié)論可轉(zhuǎn)化為什么？

生：PD²=CD·HD

師：如圖在△PCD中由PD²=CD·HD想到什么？

生：射影定理．

下面請同學(xué)們整理證明過程（請一位同學(xué)寫在黑板上，供教師做講評）

證明：因?yàn)镻A，PB，PC兩兩垂直，

所以 H為△ABC的垂心．

連結(jié)CH并延長交AB于D，連結(jié)PD．

由三垂線定理知 PD⊥AB，

由條件知PC⊥面ABP， 所以 PC⊥PD．

在Rt△CPD中，由射影定理得

PD²=CD·HD．

所以 AB²·PD²=AB·CD·AB．

即 S²_△APB=S_△ABC·S_△AHB．

圖4圖5師：剛才我們分析所用的方法稱為執(zhí)果索因法（也叫分析法），我們證題一般用的由因?qū)Чǎㄒ步芯C合法）．前者是從結(jié)果（論）出發(fā)，尋求結(jié)果（論）成立的原因（條件），一直追溯到已知，即從未知，看需知，逐步靠攏已知；后者是從條件出發(fā)一直到推出結(jié)果，即從已知，看可知，逐步推向未知．兩者是完全不同的推理方法，請同學(xué)們注意：執(zhí)果索因法是分析問題、尋求思路的一種有效方法．遇到問題，兩者聯(lián)用，在似乎“山窮水盡疑無路”之時(shí)，都能尋求到解（證）題的途徑，達(dá)到“柳暗花明又一村”的境地．

6問題的鞏固

（1） 如圖5，平面α內(nèi)有Rt△ABC，∠C=90°，P是平面α外一點(diǎn)，PA=PB=PC．P點(diǎn)到平面α的距離是40 cm， AC=18 cm．求：點(diǎn)P到BC的距離．

（2） 若一個(gè)棱錐的底面至少是一個(gè)四邊形，并且頂點(diǎn)與底面各邊的距離都相等，那么底面多邊形（）

A） 是正多邊形．（B） 必有內(nèi)切圓．

（C） 必有外接圓．

（D） 既有內(nèi)切圓又有外接圓．

（3） 已知三棱錐的三條側(cè)棱長分別為a，b，c，且a²+b²+c²=ab+bc+ca，則頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的（）

（A） 垂心．（B） 重心．（C） 內(nèi)心．（D） 外心．

（4） 從平面α外一點(diǎn)P向α引垂線和若干條斜線，若這些斜線與α所成的角都相等，則（）

（A） 斜足一定是一正多邊形的頂點(diǎn)．

（B） 垂足是以斜足為頂點(diǎn)的多邊形的內(nèi)心．

（C） 垂足是以斜足為頂點(diǎn)的多邊形的外心．

（D） 垂足是以斜足為頂點(diǎn)的多邊形的垂心．

（5） 已知一個(gè)四棱錐底面的順次三個(gè)角之比為2∶3∶4，又棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等，則底面的四個(gè)角中最小的角的度數(shù)是（）

（A） 30°．（B） 45°．（C） 50°．（D） 60°．

7對探究式教學(xué)的思考和總結(jié)

教學(xué)實(shí)踐證明，探究式教學(xué)可調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提高，課堂的學(xué)習(xí)氣氛也活躍起來．通過探究式教學(xué)，培養(yǎng)了學(xué)生敢說、愿說、想說，培養(yǎng)了學(xué)生提出問題能力、動(dòng)手實(shí)踐能力、分析論證能力及創(chuàng)新思維能力，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)探究、互相合作和實(shí)事求是的精神．

參考文獻(xiàn)

卜照澤．對一道數(shù)學(xué)高考題的探究式教學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2005（9）

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文