柯西不等式結(jié)構(gòu)整齊，是證明不等式和求函數(shù)最值的有力工具；柯西不等式形式多變，其代數(shù)、幾何、向量、概率等各種表現(xiàn)形式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各分支間的緊密聯(lián)系和內(nèi)在溝通．高中新教材新增了向量、概率等高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，這使得柯西不等式煥發(fā)了新的生機(jī)和與活力，利用其向量和概率形式解題的研究論文如雨后春筍般涌現(xiàn)．本文試歸納總結(jié)這些表現(xiàn)形式，并由此思考在解題教學(xué)中如何有效利用柯西不等式這個解題工具和教學(xué)素材．

1柯西不等式的幾種表現(xiàn)形式

2對柯西不等式的思考

2．1關(guān)于各種形式的統(tǒng)一

代數(shù)型、向量型、概率型柯西不等式的證明方法均是構(gòu)造二次函數(shù)、配方并利用判別式，由此可見這種方法乃是柯西不等式的本質(zhì)證明方法，其他所謂證明只不過是幾種表現(xiàn)形式間的相互詮釋．例如，點(diǎn)到直線距離公式等幾何推論的證明，除了本文給出的利用代數(shù)型柯西不等式外，也可利用向量型柯西不等式②．證明方法的相同和所處理問題的相似(均是求最值問題的工具)，暗示了這四種表現(xiàn)形式之間的內(nèi)在統(tǒng)一性．

2．2關(guān)于構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處命題是近年來高考命題的指導(dǎo)思想，因此教師在平時教學(xué)和復(fù)習(xí)中巧妙設(shè)計問題，適時的將中學(xué)數(shù)學(xué)知識串聯(lián)起來，幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，就顯得十分的必要．由于柯西不等式的表現(xiàn)形式多樣，涵蓋了代數(shù)、幾何、向量、概率等眾多內(nèi)容；因此，在教學(xué)中以柯西不等式為出發(fā)點(diǎn)設(shè)計問題，串聯(lián)三角、向量、復(fù)數(shù)、圓錐曲線等知識塊，以點(diǎn)帶面的將知識綜合化系統(tǒng)化，必能取得良好的教學(xué)效果．

由于柯西不等式問題涉及向量、概率等新增內(nèi)容，因此，以柯西不等式的探究為橋梁，可以溝通新增內(nèi)容與其他知識間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)新、舊知識和思想方法的融合，促進(jìn)新增內(nèi)容的教學(xué)．

2．3關(guān)于一題多解

一題多解在解題教學(xué)中具有特殊的地位，適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)學(xué)生一題多解確實(shí)可以起到融會知識開拓思路的作用：然而，如果只是羅列多種解法，盲目的要求學(xué)生尋求“多解”，則會陡增學(xué)生負(fù)擔(dān)，浪費(fèi)教學(xué)資源．^［３］很多中學(xué)數(shù)學(xué)雜志喜歡發(fā)表有關(guān)一題多解的文章，其中有些文章中，對同一問題常會羅列出“利用柯西不等式”、“利用點(diǎn)到直線距離”、“利用向量數(shù)量積性質(zhì)”、“利用方差”等多種解法，而由上面的論述可知這些方法本質(zhì)上是相同的；如果我們把握了問題的實(shí)質(zhì)也就無須挖空心思的拼湊“多種解法”或“巧妙解法”，而是將主要精力放在通性通法的學(xué)習(xí)和掌握上，這無疑更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)．

當(dāng)然，有時由于教學(xué)中的具體需要，也可以適時的介紹柯西不等式的各種表現(xiàn)形式．比如說為了增強(qiáng)學(xué)生對方差的概念和性質(zhì)的理解和靈活運(yùn)用，不妨介紹構(gòu)造方差模型的方法；為了突出向量性質(zhì)的重要性，不妨介紹一下利用數(shù)量積不等式的應(yīng)用，如此等等．

2．4關(guān)于教師的自主學(xué)習(xí)

以前人們常說“要給學(xué)生一杯水，教師就應(yīng)該有一桶水”，這句話屢遭批駁，但從某種角度上講總是有些道理的．教師作為教學(xué)活動的主導(dǎo)者，應(yīng)該具有對教學(xué)活動的宏觀控制能力；對于具體數(shù)學(xué)問題，教師應(yīng)善于居高臨下的加以把握：這就要求教師在大學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，不斷的自主學(xué)習(xí)，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)教材和數(shù)學(xué)問題的整體理解和把握能力，柯西不等式問題就是個很適合教師自主學(xué)習(xí)研修的數(shù)學(xué)問題．內(nèi)積空間和概率論是大學(xué)知識，“點(diǎn)到直線距離公式”等都是中學(xué)內(nèi)容，而教師自主學(xué)習(xí)的目的就是聯(lián)系初、高等知識，尋求不同表現(xiàn)形式的統(tǒng)一形態(tài)，凸現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)內(nèi)核，從而能夠居高臨下的處理問題，使學(xué)生領(lǐng)會問題的實(shí)質(zhì)及相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法．

參考文獻(xiàn)

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3任念兵．淺談解題教學(xué)中值得注意的幾個傾向性問題．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005（2）

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文