新學(xué)期開始以后，同學(xué)們一定感覺到，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流已成了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式．探索是充滿趣味的，但探索有時(shí)候又是十分艱難的，怎樣通過(guò)探索活動(dòng)來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？本文以圖形中的探索規(guī)律題為例加以說(shuō)明，以期對(duì)大家有所幫助.

例1(2005年玉林市中考試題)觀察下列球的排列規(guī)律(其中●是實(shí)心球，○是空心球)：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……

從第1個(gè)球起到第2004個(gè)球止，共有實(shí)心球___________個(gè)．

思維點(diǎn)撥：觀察這些球的排列規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)它們是以●○○●●○○○○○這10個(gè)球?yàn)橐唤M重復(fù)交替出現(xiàn)，且每組中共有3個(gè)是實(shí)心球，因此，這2004個(gè)球可以分成200組，這200組中共有600個(gè)是實(shí)心球，剩下的4個(gè)球●○○●中又有2個(gè)是實(shí)心球．所以，從第1個(gè)球起到第2004個(gè)球止，共有實(shí)心球602個(gè)．

解答：應(yīng)該填602．

例2（2005年寧夏回族自治區(qū)中考試題）“◆”代表甲種植物，“★”代表乙種植物，為美化環(huán)境，采用如圖所示方案種植．按此規(guī)律第六個(gè)圖案中應(yīng)種植乙種植物_________株．

思維點(diǎn)撥：觀察所給的三個(gè)圖案，可以知道：第一個(gè)圖案中，甲種植物有1株，乙種植物有4株；第二個(gè)圖案中，甲種植物有4株，乙種植物有9株；第三個(gè)圖案中，甲種植物有9株，乙種植物有16株；……；第n個(gè)圖案中，甲種植物有n2株，乙種植物有（n+1）2株.因此，第六個(gè)圖案中，甲種植物有36株，乙種植物有49株.

解答：應(yīng)該填49.

點(diǎn)悟：本題實(shí)質(zhì)是每個(gè)圖案中都包含著兩個(gè)正方形，一個(gè)是由◆構(gòu)成的正方形，另一個(gè)是由★構(gòu)成的正方形．

例3用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案：

(1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚________塊；

(2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚________塊．

思維點(diǎn)撥：我們可以將所給的三個(gè)圖案中的黑色地面磚、白色地面磚的塊數(shù)逐一列出來(lái)，再進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的規(guī)律：

第1個(gè)圖案中，黑色地面磚有1塊，白色地面磚有6=2+4×1塊；

第2個(gè)圖案中，黑色地面磚有2塊，白色地面磚有10=2+4×2塊；

第3個(gè)圖案中，黑色地面磚有3塊，白色地面磚有14=2+4×3塊；

……

因此，第n個(gè)圖案中，黑色地面磚有n塊，白色地面磚有2+4n塊.顯然，n每確定一個(gè)值，我們都可以知道相應(yīng)圖案中的黑色地面磚、白色地面磚的塊數(shù).

解答：(1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚(2+4×4)塊，即18塊；(2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚（4n+2）塊．

點(diǎn)悟：本題還可以轉(zhuǎn)換思維的角度，得到第n個(gè)圖案中有白色地面磚[4(n+1)-2]塊，其表達(dá)的形式并不惟一.

例4(2006年江蘇省泰州市中考試題)如圖，每個(gè)正方形點(diǎn)陣均被一直線分成兩個(gè)三角形點(diǎn)陣，根據(jù)圖中提供的信息，用含n的等式表示第n個(gè)正方形點(diǎn)陣中的規(guī)律__________．

思維點(diǎn)撥：此題滲透著數(shù)形結(jié)合的思想.每個(gè)正方形點(diǎn)陣均被一直線分成兩個(gè)三角形點(diǎn)陣，因此，這些正方形點(diǎn)陣可以用算式分別表示為：

第1個(gè)正方形點(diǎn)陣……………………1=12；

第2個(gè)正方形點(diǎn)陣……………………1+（1+2）=1+3=4=22；

第3個(gè)正方形點(diǎn)陣………(1+2)+(1+2+3)=3+6=9=32；

第4個(gè)正方形點(diǎn)陣……(1+2+3)+(1+2+3+4)=6+10=16=42；

……

第n個(gè)正方形點(diǎn)陣…………………………………

1+2+3+…（n-1）+1+2+3+…n=n(n-1)/2+n(n+1)/2=n²．

解答：第n個(gè)正方形點(diǎn)陣中的規(guī)律用含n的等式表示為：

1+2+3+…（n-1）+1+2+3+…n=n2或+n(n-1)/2+n(n+1)/2=n²．

點(diǎn)悟：對(duì)于圖形與算式結(jié)合的探索規(guī)律問(wèn)題，用算式一一列出并對(duì)已知算式進(jìn)行適當(dāng)變化，更有助于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)律．

例5（2006年山東省青島市中考試題）如圖，下列幾何體是由棱長(zhǎng)為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色(底面不涂色)，則第n個(gè)幾何體中只有兩個(gè)面涂色的小立方體共有________個(gè)．

思維點(diǎn)撥：通過(guò)對(duì)按一定規(guī)律在地面上擺成的幾何體進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納，我們可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律，并將兩個(gè)面涂色的小立方體個(gè)數(shù)與幾何體的序數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用列表的方法表示出來(lái)：

兩個(gè)面涂色的小立方第n個(gè)幾何體

4=4×1 n=1

12=4×3=4×(2×2-1) n=2

20=4×5=4×(2×3-1) n=3

28=4×7=4×(2×4-1) n=4

則第n個(gè)幾何體中只有兩個(gè)面涂色的小立方體共有4(2n-1)個(gè)．

解答：4(2n-1).

點(diǎn)悟：當(dāng)然也可以得出第n個(gè)幾何體中只有兩個(gè)面涂色的小立方體共有（8n-4）個(gè).本題在考查圖形探索規(guī)律的同時(shí)，還考查了閱讀理解能力.這道題與蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)課本第105頁(yè)的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”相類似.同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中可要重視課本習(xí)題的研究呀！

責(zé)任編輯/沈紅艷

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。