問題解決是上世紀(jì)80年代以來國(guó)際數(shù)學(xué)教育界提出的一個(gè)重要概念。問題解決的思想和實(shí)踐，影響了20多年數(shù)學(xué)教育的進(jìn)程，問題解決已成為近年來數(shù)學(xué)教育的主題之一。問題解決活動(dòng)是富有“挑戰(zhàn)性”和“啟發(fā)性”的。在數(shù)學(xué)教育的歷史上，問題解決對(duì)改善課堂教學(xué)曾經(jīng)發(fā)揮過重要作用。美國(guó)斯坦福大學(xué)的波利亞教授，在40年前就倡導(dǎo)“如何解決問題”，為當(dāng)時(shí)枯燥無味的數(shù)學(xué)課堂，引進(jìn)了生動(dòng)有趣的學(xué)習(xí)活動(dòng)。他提倡的“解決問題”的教學(xué)活動(dòng)，經(jīng)過“實(shí)驗(yàn)”、“觀察”到“發(fā)現(xiàn)”，揭開了新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。在目前數(shù)學(xué)課程改革深入發(fā)展的今天，問題解決的理論依然具有十分重要的意義。

一、問題解決的含義

問題解決的實(shí)質(zhì)是學(xué)習(xí)者面對(duì)新的情境所進(jìn)行的數(shù)學(xué)思維，通過解決一系列非常規(guī)的問題，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力得到增強(qiáng)，而不僅僅是獲得新的技能。所謂問題，是指對(duì)學(xué)習(xí)者來說沒有現(xiàn)成方法可以解決的情境狀態(tài)，它需要學(xué)習(xí)者經(jīng)過思考和探索才能解決。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些練習(xí)不能算作問題，一些反復(fù)操練的常規(guī)應(yīng)用題也不能算作問題。問題解決和我們平時(shí)講的“解題”或“練習(xí)”有重大的區(qū)別。

如果將“問題解決”與“練習(xí)”作一個(gè)比較的話，不難發(fā)現(xiàn)它們之間存在著許多不同。第一，練習(xí)著重尋找答案，而問題解決著重尋找解決問題的途徑與方法，更強(qiáng)調(diào)過程性。第二，練習(xí)往往針對(duì)某個(gè)知識(shí)或技能點(diǎn)，著重對(duì)某項(xiàng)數(shù)學(xué)技能的練習(xí)，問題解決著重“如何”將一般知識(shí)和技巧運(yùn)用到新情況中，具有綜合性的特點(diǎn)。第三，練習(xí)著重快速獲得正確答案，而問題解決著重如何尋求創(chuàng)造性的方法．問題解決是一種探索和研究的活動(dòng)，它需要一個(gè)過程。第四，練習(xí)可以對(duì)某一類習(xí)題反復(fù)演練，問題解決中的“問題”具有新穎性。從這些比較看小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，問題解決是一個(gè)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的歷程，目前我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)問題解決的活動(dòng)是不夠的。

認(rèn)知心理學(xué)的研究進(jìn)一步揭示了問題解決的含義，明確了問題解決的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)思考。問題解決中的認(rèn)知成分是問題解決活動(dòng)的一個(gè)本質(zhì)特點(diǎn)。對(duì)學(xué)生來說，一個(gè)數(shù)學(xué)問題就是學(xué)生有興趣并希望得到解答的一個(gè)任務(wù)，但還沒有一種現(xiàn)成的數(shù)學(xué)方法讓他們用來得到這種解答。因此，數(shù)學(xué)思維是問題解決活動(dòng)的本質(zhì)。在一定程度上，“問題解決”和“思維”是同義的，可以交替使用。

進(jìn)一步，問題解決活動(dòng)涉及“高級(jí)”思考過程。在問題解決的過程中，學(xué)生在嘗試尋找“答案”時(shí)，不是簡(jiǎn)單地應(yīng)用已知的信息，而是對(duì)信息進(jìn)行加工，重新組織若干已知的規(guī)則，形成新的高級(jí)規(guī)則，用以達(dá)到一定的目標(biāo)。原來已有的有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，是問題解決過程中的思維素材。另一方面，問題解決的過程對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展具有促進(jìn)作用。在解決問題中，小學(xué)生會(huì)根據(jù)解決問題的目的對(duì)已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行組織，找出對(duì)當(dāng)前問題適用的對(duì)策。問題一旦解決，學(xué)生的思維能力隨之而發(fā)生變化。因此，小學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題則有助于思維的新穎性和獨(dú)創(chuàng)性等的發(fā)展。

二、問題解決的過程

波利亞的研究是上世紀(jì)80年代以來問題解決研究的基礎(chǔ)。波利亞在《怎樣解題》中提出了著名的啟發(fā)式問題解決的模式，并詳細(xì)論述了一系列啟發(fā)式的策略。1980年代以后，不同學(xué)派的學(xué)者用各自的理論解釋問題解決，強(qiáng)調(diào)不同的問題解決的要素，從而構(gòu)成了不同的問題解決的模式。這些模式實(shí)際上反映了問題解決的不同方面。

第一種模式是信息加工的模式。隨著現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的發(fā)展，許多認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為問題解決是認(rèn)知科學(xué)研究的重要領(lǐng)域，現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)是數(shù)學(xué)教育]：作者研究問題解決的天然伙伴。1980年代以來，很多認(rèn)知心理學(xué)家對(duì)問題解決中的思維過程進(jìn)行研究。

現(xiàn)代的認(rèn)知心理學(xué)把解決問題看作是一種認(rèn)知的活動(dòng)。他們認(rèn)為，認(rèn)知科學(xué)涉及發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)存的問題如何與解題者記憶中的概念和觀念聯(lián)系起來。因此，問題解決實(shí)際上是把問題與記憶中的圖式聯(lián)系起來的過程。問題解決包含了問題表征和表征分析兩個(gè)過程，這兩個(gè)過程又可以分成具體的子過程。

美國(guó)心理學(xué)家安德森強(qiáng)調(diào)“問題空間”的概念。他認(rèn)為可以把問題解決看成是對(duì)問題空間的搜索，問題解決的任務(wù)在于找出一種能把初始狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)檫_(dá)到目標(biāo)的目標(biāo)狀態(tài)的操作序列。問題解決的信息加工模式包含了以下幾個(gè)基本的要素：1．問題任務(wù)的環(huán)境；2．長(zhǎng)期記憶；3．工作記憶。他還進(jìn)一步指出了解決問題的過程，學(xué)生面對(duì)問題的任務(wù)情境，從長(zhǎng)期記憶中復(fù)現(xiàn)出工作記憶，并在工作記憶中不斷調(diào)整并形成問題的空間，即問題的心理表象。因此，外在的問題環(huán)境和內(nèi)在的問題空間之間的差異和交互作用是解決問題的關(guān)鍵。

第二種模式是元認(rèn)知模式。在認(rèn)知心理學(xué)看來，解決問題的過程既是一個(gè)認(rèn)知過程，也是一個(gè)元認(rèn)知的過程，包括解決問題過程中的自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié)，元認(rèn)知行為是問題解決的驅(qū)動(dòng)力量，它影響各個(gè)階段的解決問題的活動(dòng)。數(shù)學(xué)問題解決的元認(rèn)知過程涉及知識(shí)、執(zhí)行過程和情感因素三個(gè)系統(tǒng)。

1．知識(shí)的系統(tǒng)。長(zhǎng)期記憶中的相關(guān)知識(shí)是解決問題的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)者的知識(shí)是解決問題的重要變量。在解決問題的過程中，學(xué)習(xí)者經(jīng)歷了知識(shí)的激活和重組。當(dāng)學(xué)習(xí)者面臨一個(gè)問題情境時(shí)，存在于長(zhǎng)期記憶中的絕大多數(shù)信息并沒有被調(diào)動(dòng)起來，只有少部分信息進(jìn)入工作記憶中。

2．執(zhí)行要素的系統(tǒng)。執(zhí)行要素即認(rèn)知過程方面的要素，包括：計(jì)劃、監(jiān)控、評(píng)價(jià)和修正思維。在這些要素中，調(diào)節(jié)是核心因素。所謂調(diào)節(jié)是指對(duì)于所從事的認(rèn)知活動(dòng)的自我意識(shí)、自我分析和自我調(diào)整。元認(rèn)知在問題解決中主要是指自我調(diào)節(jié)。

3．情感因素的系統(tǒng)。所謂情感因素，在這里是指學(xué)生解決問題的愿望和決心等。學(xué)生的信念、對(duì)問題的態(tài)度等情感因素也影響學(xué)生解決問題的表現(xiàn)。學(xué)生的信念包括數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀和自我意識(shí)等。情感和信念對(duì)于解決問題的重要性是明顯的。

第三種模式是社會(huì)應(yīng)用模式。近年來出現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)主義的數(shù)學(xué)教育學(xué)派從社會(huì)應(yīng)用的角度考察問題解決，把數(shù)學(xué)的問題解決看作應(yīng)用數(shù)學(xué)的一種經(jīng)驗(yàn)的過程。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn)不是引進(jìn)抽象的數(shù)學(xué)概念，而是現(xiàn)實(shí)世界的情境，現(xiàn)實(shí)世界來自于學(xué)生的世界。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種經(jīng)驗(yàn)的過程。這個(gè)過程有兩個(gè)基本點(diǎn)：其一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起始點(diǎn)是學(xué)生現(xiàn)實(shí)的世界；其二，上述的起始點(diǎn)也就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終點(diǎn)。

第四種模式是人文數(shù)學(xué)的模式。美國(guó)一些數(shù)學(xué)教育家1986年發(fā)起有關(guān)人文數(shù)學(xué)的討論，中心問題是數(shù)學(xué)和人文學(xué)科的關(guān)系，對(duì)用邏輯來定義學(xué)校數(shù)學(xué)性質(zhì)并忽略其人文特性進(jìn)行挑戰(zhàn)。人文數(shù)學(xué)的問題解決模式強(qiáng)調(diào)了以下幾點(diǎn)：1．注重學(xué)生生活的情境。問題解決，不是主要集中于文字題，而要發(fā)展一種問題的情境，學(xué)生在這種情境中產(chǎn)生問題并解決問題。這種問題稱為真實(shí)的問題。2．即使是解一個(gè)給定的問題，也必須理解這個(gè)問題。所謂理解就是：這個(gè)問題由何而來，是否值得進(jìn)行思考等。3．注重交流和合作的解決問題的方式，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)作為語(yǔ)言的功能并發(fā)展學(xué)生合作的技能。解決問題應(yīng)該包括課堂教學(xué)中集體活動(dòng)的形式。4．以不同形式提出問題并使之與問題解決整合起來。這種整合提供了一種氣氛，使學(xué)生有一種情感的因素參與其中。5．在解決問題的思維過程中，直覺思維等思維形式是重要的，而不僅僅是邏輯思維。人文數(shù)學(xué)的方法有助于促進(jìn)學(xué)生自我指導(dǎo)、激發(fā)動(dòng)機(jī)，有助于學(xué)生生活和現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系。

美國(guó)心理學(xué)家奧蘇伯爾等認(rèn)為，問題解決一般要經(jīng)歷下面四個(gè)階段：第一階段：呈現(xiàn)問題情境命題。第二階段：明確問題最終目標(biāo)與已知條件。第三階段：填補(bǔ)空隙過程。學(xué)生看清了“已知條件”和“目標(biāo)”之間的空隙或差距，并建立聯(lián)系。這一過程是解決問題過程的核心。第四階段：解答之后的檢驗(yàn)。心理學(xué)家澳勒斯根據(jù)發(fā)明家解決問題的經(jīng)驗(yàn)，探索創(chuàng)造性問題解決的過程，將此過程劃分為四個(gè)階段：即準(zhǔn)備、孕育、明朗和驗(yàn)證。

杜威就提出了五步模式。第一步產(chǎn)生一種懷疑，即產(chǎn)生認(rèn)知上的困惑感；第二步嘗試從情境中識(shí)別出問題；第三步使問題情境中的命題與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，激活頭腦中有關(guān)的已有知識(shí)與方法，又進(jìn)一步對(duì)這些知識(shí)和方法重新進(jìn)行組織或轉(zhuǎn)換，提出解決問題的假設(shè)；第四步，需對(duì)假設(shè)作檢驗(yàn)；第五步，將成功的答案組合到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，解決問題中策略性知識(shí)等具有遷移的作用，它可以應(yīng)用于許多新的情況。在不少的實(shí)際問題中，這五步是交錯(cuò)使用的。

三、問題解決與新課程改革

問題解決是目前我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革的一個(gè)重要問題。應(yīng)該把學(xué)生引導(dǎo)到問題解決活動(dòng)中去，生動(dòng)活潑的、思考性的、現(xiàn)實(shí)的問題解決活動(dòng)應(yīng)該成為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要內(nèi)容。小學(xué)數(shù)學(xué)教材應(yīng)當(dāng)努力創(chuàng)造一種鼓勵(lì)學(xué)生探索、解決問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的課堂環(huán)境。

實(shí)際上，強(qiáng)調(diào)解決問題也是目前國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的重要趨勢(shì)。目前，在國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革方面有如下動(dòng)態(tài)：1．強(qiáng)調(diào)解決問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用，是國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)熱點(diǎn)問題。例如，在英國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)課程的五個(gè)目標(biāo)中，首要的目標(biāo)是關(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)及其思想方法的基本要求，這一目標(biāo)伸延與滲透到其余教學(xué)目標(biāo)中，并構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)基本框架。2．強(qiáng)調(diào)綜合活動(dòng)，是國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的又一個(gè)熱點(diǎn)問題。例如，在日本學(xué)習(xí)指導(dǎo)綱要中，提倡綜合活動(dòng)(跨學(xué)科的綜合活動(dòng))。3．強(qiáng)調(diào)非常規(guī)問題，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，也是國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究中一個(gè)熱點(diǎn)問題。對(duì)開放性問題的研究已經(jīng)成為一個(gè)研究和實(shí)踐的重點(diǎn)。

從上世紀(jì)80年代以來，解決問題的理論不斷得到發(fā)展。目前有兩個(gè)動(dòng)向值得注意，一是對(duì)數(shù)學(xué)思維特別是對(duì)數(shù)學(xué)推理的研究；二是對(duì)提出問題的研究。把提出問題作為一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)來處理，一方面老師提出問題，也稱為課堂中的布題；另一方面也重點(diǎn)要培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中把解決問題作為一個(gè)目標(biāo)領(lǐng)域，這樣安排并不是空泛的，而是有一個(gè)比較完整的設(shè)置，理解這樣的課程設(shè)置對(duì)我們進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革是非常重要的。在新課程中，解決問題是發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的重要途徑，也是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)思維的重要途徑。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)解決問題提出了具體要求，解決問題總體目標(biāo)是：“初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題”。具體要求包括：(1)逐步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題并能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能解決問題；(2)形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神；(3)學(xué)會(huì)與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果；(4)逐步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)。

在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，解決問題不僅僅是四大目標(biāo)領(lǐng)域之一。同時(shí)，解決問題的要求貫穿在四個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容中(數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合應(yīng)用)。在新課程中，解決問題有兩個(gè)基本的課程渠道：(1)應(yīng)用題的教學(xué)；(2)實(shí)踐與綜合應(yīng)用。實(shí)踐與綜合應(yīng)用的范圍很廣，可以發(fā)展學(xué)生多方面的能力，特別是發(fā)展學(xué)生解決問題的意識(shí)和能力。

總之，解決問題在數(shù)學(xué)新課程中處于十分重要的地位。如何在教材設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)中體現(xiàn)這些要求，是十分重要的研究課題。

(作者單位：華東師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所)

責(zé)任編輯：沈本領(lǐng)