一

“圓的認(rèn)識(shí)”，這是小學(xué)里常被老師選作公開(kāi)課執(zhí)教的教學(xué)內(nèi)容。從各類(lèi)報(bào)刊或網(wǎng)絡(luò)中，我們可以搜索到近百份關(guān)于這一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)。如何教學(xué)“半徑、直徑”這兩個(gè)概念，在設(shè)計(jì)教學(xué)方案前我思考了3個(gè)問(wèn)題。

第一：成人頭腦中建構(gòu)的“半徑、直徑”概念是什么?對(duì)教學(xué)有什么啟示?反思我們成人頭腦中建構(gòu)的概念，也許對(duì)我們的教學(xué)不無(wú)啟發(fā)。

第二：學(xué)生現(xiàn)在在哪里?學(xué)生應(yīng)走向哪里?這兩個(gè)問(wèn)題是關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)的確定、課堂教學(xué)目標(biāo)的擬定。

第三：傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是什么?教學(xué)時(shí)有哪些不足?

二

課堂教學(xué)時(shí)，我在學(xué)生初步會(huì)用圓規(guī)畫(huà)圓之后，組織學(xué)生將圓規(guī)兩腳之間的距離確定為3厘米，并在紙上畫(huà)下這個(gè)圓，認(rèn)識(shí)了圓心。后繼課堂教學(xué)實(shí)錄如下：

師：我們已經(jīng)找到了圓心。如果問(wèn)你，這是一個(gè)多大的圓?那怎么說(shuō)?

(問(wèn)題的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述。學(xué)生從他們已有的認(rèn)知出發(fā)，應(yīng)該能說(shuō)出“半徑”或“直徑”這兩個(gè)詞來(lái)。至于學(xué)生先說(shuō)“半徑”還是“直徑”，我想這里無(wú)先后順序之區(qū)別，跟隨學(xué)生的發(fā)言相機(jī)處理。)

生：量它的直徑就知道了。

師：他剛才說(shuō)了一個(gè)詞，是——

生：直徑。

(教師板書(shū)：直徑。)

師：那什么叫直徑呢?

生：從一個(gè)點(diǎn)向中心引一條直線。

生：從一個(gè)邊緣畫(huà)到它的對(duì)面。

生：把圓對(duì)折形成的一條線。

師：看來(lái)，現(xiàn)在讓我們用語(yǔ)言來(lái)表述什么是直徑，不容易說(shuō)清楚。如果用筆畫(huà)，大家能畫(huà)出來(lái)嗎?大家試一試，在圓里畫(huà)一條直徑。

學(xué)生試畫(huà)直徑。

師：誰(shuí)愿意到前面來(lái)展示一下你畫(huà)的直徑?

一位學(xué)生展示畫(huà)的直徑，并作介紹：從圓的一端到另一端，而且通過(guò)圓心。

師：直徑是一條——

生：直線?……線段!

(當(dāng)學(xué)生說(shuō)出“直徑是一條直線”時(shí)，我選擇了沉默、等待，片刻的停頓，引發(fā)學(xué)生大腦內(nèi)部發(fā)生認(rèn)知沖突，繼而在他們自己意識(shí)到錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上改變自己的想法，重建觀念。教師追問(wèn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)“直徑是線段”的理解更為深刻。)

師：為什么不說(shuō)是直線呢?

生：直線是無(wú)限長(zhǎng)的，而線段的長(zhǎng)度是有限的。

師：直徑是線段。我們來(lái)找一找它的兩個(gè)端點(diǎn)在哪兒?一個(gè)端點(diǎn)在——圓上，另一個(gè)端點(diǎn)——也在圓上，而且——通過(guò)圓心。

師：你知道這條直徑長(zhǎng)多少嗎?

生：6厘米。

師：是不是呢?大家用直尺量一量。

學(xué)生操作。

師：這是一個(gè)直徑為——6厘米的圓。這個(gè)圓多大呀?還可以怎么說(shuō)呢?

生：這是一個(gè)半徑為3厘米的圓。

師：他的發(fā)言中說(shuō)了一個(gè)詞——半徑。大家能畫(huà)一條半徑嗎?

學(xué)生操作畫(huà)半徑，并展示、介紹所畫(huà)的半徑。

師：半徑是一條——線段，它的一端在——圓心，另一端在圓上。這條半徑長(zhǎng)多少?你是怎么知道的?

生：6除以2等于3，半徑的長(zhǎng)是直徑的一半。

生：我用尺量，半徑是3厘米。

(由于“直徑”的教學(xué)處理較為詳細(xì)，這里教學(xué)“半徑”的處理與教學(xué)“直徑”大致相同。學(xué)生具有學(xué)習(xí)“直徑”的經(jīng)驗(yàn)支持，比較順暢地建構(gòu)了對(duì)“半徑”的理解。)

師：謝謝你的動(dòng)手操作，驗(yàn)證了剛才一位同學(xué)發(fā)言中談到的半徑與直徑長(zhǎng)度之間的關(guān)系。我們動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，認(rèn)識(shí)了圓的——圓心、半徑、直徑。接下來(lái)，我們搞一個(gè)小比賽。請(qǐng)大家拿好鉛筆、直尺，同桌中左邊的同學(xué)畫(huà)半徑，右邊的同學(xué)畫(huà)直徑，在相同的時(shí)間內(nèi)，比一比，看誰(shuí)畫(huà)得多!準(zhǔn)備好了嗎?開(kāi)始!

學(xué)生畫(huà)直徑、半徑。大約40秒鐘后教師叫“?！?。學(xué)生匯報(bào)：畫(huà)半徑的最多畫(huà)了11條；畫(huà)直徑的，最多畫(huà)了7條。

師：誰(shuí)快呀?

生：直徑。

生：半徑。

生：兩條半徑才能等于一條直徑，就是說(shuō)，他最多畫(huà)了7條直徑，把它化為半徑的話，應(yīng)該乘以2，那就有14條半徑了。那畫(huà)半徑的只畫(huà)了11條，差了3條。

師：你的意思我明白了。就是他畫(huà)了7條直徑，一條直徑可以看作兩條半徑，那如果算半徑的話，就畫(huà)了14條。是畫(huà)直徑的贏了，對(duì)嗎?

生：對(duì)!

(原先設(shè)想是比賽結(jié)果視課堂教學(xué)實(shí)際情形而定，誰(shuí)輸誰(shuí)贏是次要的．關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生借助這一活動(dòng)領(lǐng)悟圓的半徑和直徑有無(wú)數(shù)條。實(shí)際教學(xué)時(shí)，好勝的學(xué)生“糾纏”于畫(huà)直徑的“贏”了，但他的解釋卻帶來(lái)了意外的收獲。學(xué)生不僅體會(huì)到半徑和直徑有無(wú)數(shù)條，還鞏固了半徑和直徑的屬性、位置的認(rèn)識(shí)。)

師：這樣的想法有道理，很有意思。誰(shuí)贏誰(shuí)輸不太重要，大家有沒(méi)有回頭反思一下，如果沒(méi)有時(shí)間限制，你能畫(huà)多少條半徑?直徑呢?

生：無(wú)數(shù)條。

師：那也就是說(shuō)，一個(gè)圓的半徑有多少條?直徑呢?

生：無(wú)數(shù)條。

師：它們的長(zhǎng)度呢?

生：分別相等。

(以上游戲活動(dòng)，重在讓學(xué)生通過(guò)體悟初步建立“難以言說(shuō)、只能意會(huì)”的無(wú)限觀念，并通過(guò)反思，實(shí)現(xiàn)“自反抽象”。)

三

從以上課堂教學(xué)片斷的實(shí)錄可以看出，在教師的組織、引導(dǎo)下，學(xué)生用“自己的理解”建立對(duì)半徑、直徑的認(rèn)識(shí)。教學(xué)效果如何呢?在上完這節(jié)課后，我組織全班學(xué)生各自獨(dú)立完成了一份練習(xí)：

1．用自己的語(yǔ)言描述半徑、直徑。

2．畫(huà)圖。

(1)用圓規(guī)畫(huà)一個(gè)半徑為2厘米的圓，并用字母O、r分別標(biāo)出它的圓心、半徑。

(2)用圓規(guī)畫(huà)一個(gè)直徑為3厘米的圓，并用字母O、d分別標(biāo)出它的圓心、直徑。

3．判斷。

(1)從圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等。( )

(2)兩端都在圓上的線段，叫做直徑。( )

(3)畫(huà)一個(gè)直徑為4厘米的圓，圓規(guī)兩腳間的距離應(yīng)是4厘米。( )

(4)直徑3厘米的圓比半徑2厘米的圓大。( )

學(xué)生練習(xí)完成情況如下表：

由以上練習(xí)后的統(tǒng)計(jì)可以看出：這節(jié)課的教學(xué)效果比較好。一節(jié)課的教學(xué)效果如何，影響著我的教學(xué)實(shí)驗(yàn)性探索的信心。說(shuō)實(shí)話，做教師，頭腦中總是給自己繃緊著一根弦：教學(xué)實(shí)驗(yàn)、教學(xué)探索，不能以犧牲教學(xué)質(zhì)量為代價(jià)。

就此，引發(fā)我對(duì)概念教學(xué)的兩點(diǎn)思考。

思考之一：小學(xué)生獲得怎樣的數(shù)學(xué)概念?

由前面的分析與實(shí)踐可見(jiàn)，小學(xué)生獲得的不是那幾句條文式的數(shù)學(xué)定義，而是豐富的、鮮活的數(shù)學(xué)概念意象。在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生僅憑單純機(jī)械記憶概念的形式定義是不行的。

心理學(xué)的現(xiàn)代研究表明：數(shù)學(xué)概念的心理表征在大多數(shù)情況下并非是相應(yīng)的形式定義，而是一種由多種成分組成的復(fù)合物；而且，與形式定義的各個(gè)明顯特征，如明確性、一義性、不變性、抽象性等相比，人們關(guān)于數(shù)學(xué)概念的心理表征又具有一些不同的特征。正因?yàn)榇?，人們提出要明確區(qū)分“概念定義”與“概念意象”。

所謂“概念意象”，就是指與所說(shuō)的概念直接相聯(lián)系的各種心理成分的總和，包括相應(yīng)的心智圖像、對(duì)其性質(zhì)及相關(guān)過(guò)程的記憶等。

數(shù)學(xué)教學(xué)，就是對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不斷完善的過(guò)程，教師和學(xué)生通過(guò)不斷地構(gòu)建，尋求達(dá)成一致，而這種一致又是建立在豐富的概念意象的基礎(chǔ)之上，即實(shí)現(xiàn)概念意象與概念定義的整合。形式定義由于概念意象的補(bǔ)充而變得豐富和生動(dòng)起來(lái)，從而就不再是一種空洞的定義。學(xué)生對(duì)概念形式定義的理解要以概念意象作支撐，概念意象的建立要把握概念定義中的本質(zhì)屬性，所獲得的概念定義做到嚴(yán)密性與描述性統(tǒng)一，表現(xiàn)為學(xué)生能用自己的數(shù)學(xué)理解表述概念。

思考之二：小學(xué)生怎樣獲得數(shù)學(xué)概念?

已有的研究表明，小學(xué)生數(shù)學(xué)概念的獲得有兩種方式：概念的形成和同化。概念的形成是指學(xué)生依靠直接經(jīng)驗(yàn)，從大量的具體例子出發(fā)，以感覺(jué)、知覺(jué)和表象為基礎(chǔ)，通過(guò)分析綜合、抽象概括，從個(gè)別到一般，從具體到抽象，逐步地把握一類(lèi)事物的本質(zhì)。而當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)新概念時(shí)，利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的概念與新概念建立聯(lián)系，從而掌握新概念的本質(zhì)屬性，這種獲得概念的方法稱(chēng)作“概念的同化”。一般地說(shuō)，低年級(jí)兒童在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，“概念的形成”用得多一些。

由以上教學(xué)案例可以探析學(xué)生數(shù)學(xué)概念獲得的機(jī)制。一些數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程，可被看作是相關(guān)樸素觀念的澄清過(guò)程，即學(xué)生對(duì)教學(xué)前概念向概念改造、提升的過(guò)程。所謂教學(xué)前概念，就是指學(xué)生在教學(xué)新概念之前就已持有的概念。學(xué)生的這些教學(xué)前概念包括了對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)象的自己的看法和理解。他們?cè)谧约阂延械闹R(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，通過(guò)與他人的交流活動(dòng)，澄清自己模糊混沌的認(rèn)識(shí)。教師在課堂教學(xué)過(guò)程中要以對(duì)話的方式，即時(shí)了解對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)哪些是“教學(xué)前概念”，哪些是新學(xué)概念，以及這些概念之間是什么關(guān)系，且相關(guān)到什么程度。特別對(duì)教師來(lái)說(shuō)，要“懸置”對(duì)學(xué)生已有認(rèn)識(shí)的判斷，即不要主觀臆斷學(xué)生已經(jīng)知道了什么。盡管課前可對(duì)此作預(yù)設(shè)與估計(jì)，但那是一種假設(shè)，教師必須依照課堂教學(xué)中實(shí)際發(fā)生的情形適時(shí)調(diào)整自己的“想法”。繼而，教師要引導(dǎo)學(xué)生用清晰的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)明或描述“教學(xué)前概念”與“新概念”之間的關(guān)系。這一過(guò)程，即是教師促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念建立和理解的過(guò)程。

思考，有時(shí)是定向的、專(zhuān)題性的，有時(shí)又是漫游式的、難以預(yù)設(shè)的。我在以上對(duì)概念教學(xué)專(zhuān)題思考的過(guò)程中又萌發(fā)、生成了以下的思考。

思考之三：如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“文化繼承”與“自主建構(gòu)”之間的關(guān)系?

本課教學(xué)中所展現(xiàn)的學(xué)生在課前通過(guò)各種途徑獲得了有關(guān)半徑、直徑的認(rèn)識(shí)也應(yīng)被視為文化繼承的行為，只是這樣的文化繼承行為不是由教師有意識(shí)、有組織地進(jìn)行的。課堂教學(xué)中，通過(guò)有計(jì)劃、有組織的行動(dòng)，完善、提升學(xué)生的認(rèn)識(shí)，高效率、有質(zhì)量地完成“文化繼承”。而這樣的文化繼承，又必須通過(guò)學(xué)生自主的意義建構(gòu)而得以實(shí)現(xiàn)。學(xué)生對(duì)概念的建構(gòu)過(guò)程，主要是一個(gè)“意義賦予”的過(guò)程，也即將新的概念或結(jié)論納入到學(xué)習(xí)者已有的認(rèn)知框架之中。學(xué)習(xí)，是文化繼承行為，學(xué)生的學(xué)習(xí)生活具有社會(huì)性質(zhì)，學(xué)習(xí)活動(dòng)主要是通過(guò)個(gè)體間的互動(dòng)得以實(shí)現(xiàn)的，而并非是純粹的個(gè)人行為，是一個(gè)在不同的個(gè)體之間(包括學(xué)生與學(xué)生之間、學(xué)生與教師之間)進(jìn)行表述、交流、批評(píng)與反思以及不斷改進(jìn)的過(guò)程。由此，我們可把握文化繼承與自主建構(gòu)之間的關(guān)系。文化繼承，通過(guò)學(xué)生的自主建構(gòu)得以實(shí)現(xiàn)，而自主建構(gòu)將文化繼承提升到更高水平、更高層次。

(作者簡(jiǎn)介：賁友林，男，1973年生，大學(xué)學(xué)歷，教齡15年，小學(xué)高級(jí)教師，南京師范大學(xué)附屬小學(xué))

責(zé)任編輯：王偉

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