田佩章

我在多年的教學(xué)和研究中，特別是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和研究中體會(huì)到：小學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)（概念和事實(shí)）的過(guò)程（怎么獲得的，也就是課程標(biāo)準(zhǔn)中所指的學(xué)習(xí)策略、方式和情感態(tài)度），遠(yuǎn)比這些數(shù)學(xué)知識(shí)本身重要。事實(shí)上“人們幾秒鐘內(nèi)即可恢復(fù)忘卻的事實(shí)（如7×8=56），但改變學(xué)習(xí)習(xí)慣和消極態(tài)度是極端困難的，也許是不可能的事情?！?/p>

1998年，我在某雜志上發(fā)表了這個(gè)觀(guān)點(diǎn)，主張自主學(xué)習(xí)和實(shí)踐探究，并引起了長(zhǎng)達(dá)1年的爭(zhēng)論。絕大多數(shù)教師和專(zhuān)家肯定這種教學(xué)方式，但同時(shí)提出質(zhì)疑：這樣的教學(xué)方式必然需要大量的教學(xué)時(shí)間，是否能保證教學(xué)質(zhì)量？否則必然因此加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。甚至有人認(rèn)為，偶爾為之尚可，成為學(xué)生的學(xué)習(xí)方式不可能。當(dāng)時(shí)我一直教小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)，每次的教學(xué)周期最多兩年，得出結(jié)論的依據(jù)也只是零碎的事實(shí)和個(gè)人的理論學(xué)習(xí)，加上我身份和職責(zé)所限，很難就此問(wèn)題作出回答。我希望從一年級(jí)起，將一個(gè)班一直教到六年級(jí)，用事實(shí)證明我的觀(guān)點(diǎn)。1999年9月，我如愿地被安排去教一年級(jí)。當(dāng)時(shí)我所在的學(xué)校是一個(gè)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)，都是七八十人的超大班級(jí)，老師們普遍不愿意教一年級(jí)，三年級(jí)以下通常沒(méi)有男教師。作為一名長(zhǎng)期教高年級(jí)的男教師，我的決定顯然是一般人難以理解的，被認(rèn)為自找苦吃。

我所在的這個(gè)班同時(shí)進(jìn)行語(yǔ)文學(xué)科五年制“注音識(shí)字·提前讀寫(xiě)”教材實(shí)驗(yàn)，筆者任數(shù)學(xué)教師，使用該實(shí)驗(yàn)的配套數(shù)學(xué)教材（語(yǔ)文出版社1993年版），學(xué)生68人（中途正常變動(dòng)4人），入學(xué)年齡平均不到6歲，未經(jīng)過(guò)入學(xué)成績(jī)測(cè)試，與普通班生源無(wú)區(qū)別。同時(shí)入學(xué)的其他學(xué)生學(xué)習(xí)六年制課程，使用人民教育出版社的教材。上一屆學(xué)生（1998年入學(xué)，2004年7月與我教的實(shí)驗(yàn)班學(xué)生同時(shí)畢業(yè)）同樣學(xué)習(xí)六年制課程。筆者依托這個(gè)班進(jìn)行自主探究性數(shù)學(xué)教學(xué)改革，實(shí)際上就是進(jìn)行數(shù)學(xué)課程改革實(shí)驗(yàn)。沒(méi)有對(duì)比班級(jí)，但是筆者心目中的預(yù)定對(duì)比班級(jí)是上一年級(jí)的8個(gè)班。預(yù)定的目標(biāo)是：進(jìn)行以自主學(xué)習(xí)和實(shí)踐探究為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索，在不加重學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的前提下，教學(xué)效果不低于常態(tài)教學(xué)。從現(xiàn)在正在進(jìn)行的數(shù)學(xué)課程改革實(shí)驗(yàn)看，筆者實(shí)際上是提前了3年進(jìn)行了這項(xiàng)改革。下面就學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)、課程執(zhí)行過(guò)程、教學(xué)效果（知識(shí)的獲得、學(xué)習(xí)興趣、習(xí)慣）、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)等基本情況作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹。

主要教學(xué)策略

自主學(xué)習(xí)。目的是讓學(xué)生形成喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度和自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。最主要的做法是鼓勵(lì)學(xué)生自學(xué)，老師干預(yù)少，口頭禪是：“哇，你們真厲害，老師還沒(méi)教呢，你們就會(huì)了?！睂W(xué)生問(wèn)這個(gè)題對(duì)不對(duì)、怎么做時(shí)，老師通常說(shuō)：“你找找還有誰(shuí)不會(huì)，一起想想辦法，肯定有辦法搞清楚的?！睅缀趺總€(gè)學(xué)生都有自己的進(jìn)度，有自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記本（簡(jiǎn)稱(chēng)“上課本”）。老師很少批改他們的作業(yè)，通常是他們自己準(zhǔn)備紅筆，想辦法弄懂了題目之后打上對(duì)勾。5年中，一次也沒(méi)有用外部刺激來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。但事實(shí)上，后來(lái)他們最喜歡的還是數(shù)學(xué)，他們自己出題做和自己找題目做，每節(jié)課上都要老師在黑板上寫(xiě)思考題目，后來(lái)寫(xiě)思考題成了老師的主要任務(wù)之一。

一開(kāi)始，這樣做的困難是明顯的。因?yàn)樗麄円宰灾鲗W(xué)習(xí)為主，進(jìn)度很不一樣，有的學(xué)生兩三個(gè)星期就學(xué)完了一學(xué)期的全部?jī)?nèi)容，而有幾個(gè)學(xué)生連10以?xún)?nèi)數(shù)數(shù)都還不會(huì)。常常教室里學(xué)生們各忙各的，充分交流，亂哄哄（因?yàn)榘囝~大，學(xué)生年齡小，免不了哭哭啼啼）。但是我想：這也許是正常的，只要他們學(xué)會(huì)了自己動(dòng)腦筋學(xué)習(xí)，會(huì)很快學(xué)好小學(xué)數(shù)學(xué)的——因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)實(shí)在是沒(méi)有多少難學(xué)的東西。這種亂，持續(xù)了差不多兩年時(shí)間，在二年級(jí)下學(xué)期，學(xué)生們便能像模像樣地坐在那兒自學(xué)了。到了三年級(jí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)速度就開(kāi)始加快，教學(xué)進(jìn)度也跟著提速，有好幾個(gè)學(xué)生三四年級(jí)時(shí)就差不多學(xué)完了小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容。

當(dāng)然，我并不是不講課，有的時(shí)候甚至要講整整一節(jié)課。通常是在讓學(xué)生的知識(shí)形成體系的時(shí)候講，比如各種面積公式之間的聯(lián)系以及這些公式的創(chuàng)造性使用;各種運(yùn)算之間的關(guān)系;數(shù)的整除背后的規(guī)律;用列方程解應(yīng)用題溝通小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，等等。在大部分學(xué)生不懂的時(shí)候講。在大家有共性錯(cuò)誤的時(shí)候講。在知識(shí)拓展的時(shí)候講。

即使到了五年級(jí)，老師同樣要“維持課堂紀(jì)律”，但關(guān)注的是某個(gè)無(wú)所事事的學(xué)生，而不關(guān)注他是否學(xué)數(shù)學(xué)，畢竟有極少數(shù)學(xué)生還不能養(yǎng)成這種習(xí)慣和興趣。這與個(gè)體差異相關(guān)，他們不能從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會(huì)到成功的快樂(lè)。

筆者現(xiàn)在分析，形成習(xí)慣以前的這種亂，在小班條件下可能會(huì)減輕，但是這個(gè)過(guò)程可能是不可逾越的。

再創(chuàng)造。筆者在那5年的數(shù)學(xué)教學(xué)中，從沒(méi)有“講”過(guò)或“告訴”過(guò)學(xué)生一條法則和定律，學(xué)生更沒(méi)有記憶和背誦過(guò)。常常有這樣的情景：某學(xué)生向同學(xué)們介紹他的發(fā)現(xiàn)——這些發(fā)現(xiàn)實(shí)際上就是運(yùn)算定律等，所學(xué)的所有法則幾乎都是他們中某個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)的。比如，在計(jì)算教學(xué)領(lǐng)域介紹過(guò)：某某同學(xué)的練習(xí)法寶——“計(jì)算器幫我當(dāng)老師（學(xué)生二年級(jí)時(shí)就獲準(zhǔn)使用計(jì)算器）”;“我練計(jì)算的秘訣——怎樣自己出題”;“我發(fā)現(xiàn)了老師隨便寫(xiě)的除法題為什么沒(méi)有余數(shù)，而我們自己隨便寫(xiě)的題通常有余數(shù)”（老師偷偷透露給她秘訣，他們事實(shí)上學(xué)會(huì)了判斷一個(gè)數(shù)是否能被2、3、4、5、6、8、9整除，還明白了用8隨便除一個(gè)數(shù)，有余數(shù)的可能性為八分之七）;“我發(fā)現(xiàn)了分母是37的分?jǐn)?shù)化小數(shù)的規(guī)律”，等等。盡管他們也發(fā)現(xiàn)了很多錯(cuò)誤的東西，但是，正是這些發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，讓他們一步步形成了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的正確態(tài)度，一步步走上老師希望他們走上的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的正確道路。

探究。前文所述的3個(gè)案例就是典型的探究。這里要指出的是，第4個(gè)案例，是不符合我的本意的。對(duì)如何處理用一位數(shù)乘多位數(shù)，我做了很長(zhǎng)時(shí)間的思考：在學(xué)生不能較好理解自然數(shù)的組成、位置值、乘法分配律的前提下（二年級(jí)學(xué)生是不太可能很好理解這些的），學(xué)習(xí)一位數(shù)乘多位數(shù)的法則，必然是“依樣畫(huà)葫蘆”。事實(shí)上，學(xué)生學(xué)習(xí)一位數(shù)乘多位數(shù)法則的時(shí)候，絕大多數(shù)學(xué)生是不知其所以然的，而且即使學(xué)完了乘法分配律，大多數(shù)學(xué)生也不能理解所以然。表內(nèi)乘法學(xué)完后，遇到一位數(shù)乘多位數(shù)是很自然的事情，如果學(xué)生“想知道”（筆者這樣處理教材就是因?yàn)閷W(xué)生很想知道怎么做類(lèi)似題目，因?yàn)樗麄兪且宰詫W(xué)為主，常常給老師找出很多教學(xué)內(nèi)容）怎么做123×8之類(lèi)的題目，讓他們自己探索，想到用加法是自然的。學(xué)生們也是這樣想的。在他們沒(méi)有學(xué)乘法的豎式表示之前，是不會(huì)想到乘法的豎式表示的。我正是在指點(diǎn)一個(gè)沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)豎式乘法的學(xué)生用加法推出了一位數(shù)乘多位數(shù)的方法之后，才設(shè)計(jì)了這堂課。我本來(lái)的設(shè)計(jì)是：設(shè)置包含123×8的問(wèn)題情景——學(xué)生探索列出123×8的算式——探索解決方法（用加法）——肯定學(xué)生的方法后提出挑戰(zhàn)問(wèn)題：多個(gè)類(lèi)似于123×8的問(wèn)題——學(xué)生探索出個(gè)人的簡(jiǎn)單表示——老師介紹世界上曾有過(guò)的豎式表示和老師小時(shí)候使用的表示（規(guī)范表示）——學(xué)生用規(guī)范的乘法豎式表示繼續(xù)嘗試類(lèi)似問(wèn)題的解決方法——解決問(wèn)題。但是那樣必然導(dǎo)致一節(jié)課時(shí)間不夠，因?yàn)槭强己苏n，為了迅速推導(dǎo)出乘法法則，增加課的“可看性”，所以“形式化”了一下?，F(xiàn)在看來(lái)，盡管我自認(rèn)為依然很精彩，但正是這個(gè)形式化，使得這堂課的價(jià)值減少了一大半。

類(lèi)似這樣的案例，在上述5年的教學(xué)中俯拾即是。

動(dòng)手實(shí)踐。這一屆的每個(gè)學(xué)生都有20個(gè)厘米立方體（紅黃各10個(gè)，實(shí)際上200個(gè)左右更好）。小組合作的時(shí)候，每個(gè)組就有100個(gè)。從一年級(jí)到畢業(yè)，幾乎在學(xué)習(xí)所有數(shù)學(xué)內(nèi)容，如計(jì)數(shù)和計(jì)算、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、比、按比例分配、圖形認(rèn)識(shí)、長(zhǎng)度、面積、體積單位、統(tǒng)計(jì)、應(yīng)用題，等等，都用到過(guò)。這是最簡(jiǎn)單的動(dòng)手實(shí)踐。更多的實(shí)踐是采集數(shù)據(jù)。如各班的人數(shù);測(cè)量面積、體積;計(jì)算操場(chǎng)鋪地磚的塊數(shù)、單價(jià)、工程單位造價(jià)和總造價(jià);校園里有多少棵樹(shù)，多少盆花，需要多少養(yǎng)護(hù)費(fèi);家庭水電費(fèi)情況;購(gòu)物問(wèn)題，等等，并各自編寫(xiě)應(yīng)用題（低年級(jí)的時(shí)候稱(chēng)為講故事）。這樣，他們的數(shù)學(xué)是建立在他們的經(jīng)驗(yàn)和再創(chuàng)造之上，所以他們能很好地理解數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)效率高、效果好。

尊重差異和心理安全。在筆者的課堂里，學(xué)生習(xí)慣了平等、民主、和諧的氣氛。從沒(méi)有學(xué)生因?yàn)樽鲥e(cuò)題目而挨批評(píng)和受到同學(xué)的嘲笑，所以學(xué)生們敢于大膽發(fā)言，不懂就大膽提問(wèn)，做錯(cuò)了的學(xué)生會(huì)大聲“坦白”。下面的情況是經(jīng)常發(fā)生的。學(xué)生說(shuō)：“老師，這個(gè)題目我不會(huì)做，我看到某某同學(xué)怎么做的，我抄下來(lái)了，但我還是不明白?！遍L(zhǎng)期如此，學(xué)生的自我意識(shí)得到了增強(qiáng)，學(xué)習(xí)更自覺(jué)。

滲透。我將數(shù)學(xué)中的幾個(gè)重要概念和思想，在與學(xué)生們的學(xué)習(xí)和交往中提前逐步滲透。如，比例思想在學(xué)習(xí)乘法之初就開(kāi)始滲透，并一直讓學(xué)生作為重點(diǎn)關(guān)注的對(duì)象，到了學(xué)習(xí)正反比例的時(shí)候，學(xué)生們已經(jīng)覺(jué)得很清楚了;還有符號(hào)化和方程思想，小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)最難的是反敘應(yīng)用題的列式計(jì)算，比如，樹(shù)上原來(lái)有3只小鳥(niǎo)，現(xiàn)在有8只小鳥(niǎo)，又飛來(lái)了幾只？或者樹(shù)上原來(lái)有8只小鳥(niǎo)，現(xiàn)在有3只小鳥(niǎo)，飛走了幾只？所有的學(xué)生都能正確得出結(jié)果。但是在沒(méi)有長(zhǎng)時(shí)間反復(fù)訓(xùn)練之前，幾乎所有學(xué)生的列式都是：3+5=8和8-5=3。這種逆向思維訓(xùn)練一定得在一年級(jí)進(jìn)行嗎？我使用了這樣的方法，節(jié)省了大量時(shí)間和精力，同時(shí)更早地滲透了代數(shù)思想：3+（5）=8和8-（5）=3，只要將答案用括號(hào)括起來(lái)就行。后來(lái)自然過(guò)渡到用符號(hào)代表這個(gè)括號(hào)。因此，學(xué)生在三年級(jí)就習(xí)慣了用不規(guī)范的方法列方程解題了。到畢業(yè)的時(shí)候，他們列方程解應(yīng)用題的能力比同年畢業(yè)的班級(jí)要強(qiáng)很多。另外，統(tǒng)計(jì)概率，極限和無(wú)窮，拓?fù)?，軌跡，長(zhǎng)度、面積和體積的幾何意義，集合思想，運(yùn)籌，公理化等思想，都有所滲透，在拓展他們眼界的同時(shí)，更培養(yǎng)了他們熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感。

這種滲透有很多值得回味的案例。同學(xué)們使用了5年的厘米立方體，為了避免丟失，筆者從一年級(jí)就“鄭重”地告誡他們，這個(gè)東西很貴重，一個(gè)要1元錢(qián)。他們?yōu)榱朔乐估迕琢⒎襟w丟失，將它們用透明膠帶粘成一條，成為一把尺子（紅黃間隔，很好看也很好用）。在他們用尺子測(cè)量的過(guò)程中，已經(jīng)滲透了長(zhǎng)度、面積、體積的區(qū)別。在學(xué)習(xí)連乘之后，滲透乘法結(jié)合律時(shí)，用厘米立方體搭建3×4×5的長(zhǎng)方體，并計(jì)算其個(gè)數(shù)，除了滲透了乘法結(jié)合律，還滲透了長(zhǎng)方體體積公式。正因?yàn)檫@樣，他們的學(xué)習(xí)速度越來(lái)越快，因?yàn)樗鶎W(xué)東西都是他們“清楚了的”。這也是在沒(méi)有多用時(shí)間的情況下使用自主探究的方法很好地完成教學(xué)任務(wù)的原因。

如何使用教材

先后使用過(guò)3種不同版本的五年制實(shí)驗(yàn)教材，其中還有兩個(gè)學(xué)期因?yàn)榻滩泥]寄出差錯(cuò)，分別有一個(gè)多月沒(méi)有教材。但通常沒(méi)有按照教材的順序來(lái)進(jìn)行教學(xué)。因?yàn)楣P者對(duì)小學(xué)整個(gè)學(xué)段的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要求比較清楚，所以通常宏觀(guān)地、靈活地根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和環(huán)境資源的狀況，依據(jù)教學(xué)大綱和后來(lái)的課程標(biāo)準(zhǔn)組織教學(xué)內(nèi)容。

學(xué)生負(fù)擔(dān)有沒(méi)有加重

沒(méi)有加重學(xué)生負(fù)擔(dān)，反而減輕了。5年完成6年的教學(xué)任務(wù)，這個(gè)班的學(xué)生在一、二年級(jí)沒(méi)有數(shù)學(xué)家庭作業(yè)（偶爾有少許諸如計(jì)數(shù)、測(cè)量之類(lèi)的實(shí)踐性作業(yè)，目的是收集數(shù)據(jù)和為學(xué)生編數(shù)學(xué)應(yīng)用題準(zhǔn)備材料）。據(jù)我所知，即使現(xiàn)在的新課程實(shí)驗(yàn)區(qū)，能做到一、二年級(jí)不布置家庭作業(yè)的也很少。筆者因?yàn)楣ぷ餍枰?，?jīng)常出差，每學(xué)期耽誤的時(shí)間不少于兩周。實(shí)事求是地講，最后一個(gè)學(xué)期（五年級(jí)下學(xué)期），因?yàn)閺?fù)習(xí)任務(wù)比較重，每周比普通班多安排了1課時(shí)（同六年級(jí)畢業(yè)班一樣）。但是，總的算起來(lái)，如果用六年時(shí)間完成教學(xué)內(nèi)容，是綽綽有余的。

教學(xué)質(zhì)量如何

因?yàn)闆](méi)有可比性，加上筆者小范圍的權(quán)威地位，繞開(kāi)了外部評(píng)價(jià)，所以四年級(jí)以前，這個(gè)班級(jí)與同校其他班級(jí)沒(méi)有正面比較過(guò)。只是在筆者的公開(kāi)課上，學(xué)生的出色表現(xiàn)讓聽(tīng)課老師贊賞。從筆者自己的觀(guān)察看，學(xué)生的成績(jī)分布正常，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性明顯優(yōu)于往屆學(xué)生和其他班級(jí)學(xué)生。五年級(jí)開(kāi)始，這個(gè)班就成為學(xué)校的畢業(yè)班，與六年級(jí)學(xué)生一起先后接受了3次能代表質(zhì)量的比較。第1次是畢業(yè)質(zhì)量檢測(cè)。采用百分制，計(jì)算人均分、及格率和優(yōu)秀率，這個(gè)班和六年級(jí)的8個(gè)班一起檢測(cè)，這個(gè)班排第2名，與第1名的班（信息技術(shù)與課程整合的實(shí)驗(yàn)班）無(wú)統(tǒng)計(jì)差異，與第2名以后的班級(jí)差異顯著。如果將六年級(jí)的8個(gè)班級(jí)平均，那么這個(gè)班的及格率和優(yōu)秀率都高出六年級(jí)10個(gè)百分點(diǎn)以上。盡管也有個(gè)別學(xué)習(xí)成績(jī)極差的孩子（各學(xué)科都差），但是不存在兩極分化現(xiàn)象。同樣測(cè)試語(yǔ)文學(xué)科，排除不可比因素，成績(jī)與普通班無(wú)統(tǒng)計(jì)差別。第2次正面比較是學(xué)校組織的數(shù)學(xué)學(xué)科競(jìng)賽。競(jìng)賽分五、六年級(jí)兩種試卷，兩個(gè)年級(jí)每個(gè)班抽出10名學(xué)生參加，這個(gè)班則抽出了20名學(xué)生參賽，其中10名參加六年級(jí)的比賽，另10名學(xué)生參加五年級(jí)的比賽，結(jié)果是：他們的成績(jī)都處于年級(jí)前列。第3次正面比較是畢業(yè)后，經(jīng)過(guò)了一個(gè)暑假，幾所初中招生時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行了成績(jī)檢測(cè)，以作為進(jìn)入實(shí)驗(yàn)班的依據(jù)，這個(gè)班的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)出色，大部分進(jìn)入了實(shí)驗(yàn)班。從目前反饋的信息看，這些學(xué)生在進(jìn)入初中后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上依然出色，只是在純粹的計(jì)算上略有欠缺。

粗略地看，這個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)明顯地優(yōu)于普通班。因?yàn)椴皇菄?yán)格的教育科學(xué)實(shí)驗(yàn)，不能進(jìn)行科學(xué)歸因，但是我可以負(fù)責(zé)任地說(shuō)：即使排除其他任何可能的因素，這個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的原因，與筆者的數(shù)學(xué)課程改革探索是正相關(guān)的。退一萬(wàn)步講，只要方法得當(dāng)，實(shí)施以自主和探究為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)改革是絕不會(huì)降低學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的。

注：〔英〕PaulErnest，《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》，齊建華、張松枝譯，上海教育出版社，1998年11月第1版，第270頁(yè)。