邱紅松 孫志遠(yuǎn) 金衛(wèi)國 楊玉東 黎亮

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)課程“不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)……數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的生活經(jīng)驗基礎(chǔ)之上”。①在以“課例為載體”的教師行動教育中，我們通過設(shè)計折紙活動讓學(xué)生動手實踐，自主探索與合作交流，豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和教師的教學(xué)方式，在此過程中，學(xué)生找到了學(xué)習(xí)的樂趣，而教師對數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式也有了新的認(rèn)識。

一、設(shè)計折紙活動的背景。

“三角形的中位線”一直是各種版本的初中幾何教材中的經(jīng)典內(nèi)容，很多公開課都選了這個內(nèi)容。但在大量的聽課與教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，對三角形中位線性質(zhì)的證明，是一個教學(xué)難點，只有少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生能在課上獨立完成，大多數(shù)學(xué)生在證明中面臨困難。如何有效地解決這個教學(xué)難點是我們課例研究的出發(fā)點。眾所周知，用“操作”、“觀察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟幾何圖形的性質(zhì)是學(xué)習(xí)幾何的重要方法。由此，我們想到了從學(xué)生己有的生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)，重新設(shè)計“三角形的中位線”的教學(xué)過程。讓學(xué)生從研究“折紙中的圖形性質(zhì)”探索出三角形的中位線性質(zhì)并加以說明。

一方面，折紙活動本身能喚起學(xué)生很多美好的回憶，如折紙飛機(jī)、紙帆船、千紙鶴、寶葫蘆等。另一方面，折紙活動又是一種有效的操作活動，學(xué)生可以通過自己動手操作來感悟圖形的幾何性質(zhì)，運用圖形運動去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題。而且折紙活動本身也承載著許多重要的幾何問題，可以提煉出更一般的幾何方法，它對于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、好奇心與探索精神，有重要的價值。

二、教學(xué)目標(biāo)。

1.在折紙的情境中，能綜合運用角平分線、線段垂線的性質(zhì)及與三角形、四邊形相關(guān)的一些性質(zhì)和判定。

2.建立生活世界中的一些活動（剪紙與折紙游戲）與幾何世界的多種聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)幾何的興趣。

3.建立幾何與現(xiàn)實生活問題的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思考方式（聯(lián)想、類比、直覺思維）。

4.經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程：觀察一探索一猜想一驗證，體會科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。

三、教學(xué)過程。

1.創(chuàng)設(shè)情境。

師：同學(xué)們，你們做過折紙游戲嗎？折紙飛機(jī)、紙船、紙葫蘆、紙鶴等都很有趣。我們在日常生活中接觸最多的紙張是長方形的，如把這樣一張紙折起一個角，就得到了一個直角三角形（教師演示），那么怎樣用長方形的紙片折出等腰三角形呢？請同學(xué)們折一下。

（學(xué)生聯(lián)想以往的折紙方式折紙。）

2.提出問題。

（1）導(dǎo)入問題——把一個直角三角形折成長方形。

師：我們已經(jīng)知道長方形紙片能折出直角三角形?，F(xiàn)在考慮反方向的問題，即直角三角形紙片能否折成長方形？

（學(xué)生以小組為單位，進(jìn)行觀察、嘗試、討論折紙，探索折法，表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)。）

師：（實物投影）我們展開紙片，畫出折痕，并標(biāo)上字母（如圖1）?；叵胝奂堖^程，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（教師提示：注意圖中線段的位置與長度的關(guān)系，圖中是否有等腰三角形？哪些三角形全等？）

生：（教師邊歸納邊板書）①EF=GB=GC=BC/2，EG=AF=FC=AC/2，因此EF//BC，EGr//AC。②折痕將三角形ABC分成四個全等的直角三角形，兩個等腰三角形。③連接EC，AE=BE=EC=AB/2，∠A+∠B=90°。

師：通過觀察我們這張紙（圖1），大家知道了E是AB的中點，并且得到三點發(fā)現(xiàn)，其中第三點中的兩條性質(zhì)我們以前證明過，今天我們用折紙的方法又一次進(jìn)行了說明。請大家過中點G、F作一條折痕，思考這條折痕GF與斜邊AB有什么關(guān)系？它能不能成為長方形的一邊？

（2）一般問題——把一個任意三角形折成長方形。

師：現(xiàn)在，我們考慮更一般的問題，即一般三角形的紙片能否折成長方形？請同學(xué)們折一折。

（學(xué)生嘗試用任意三角形折長方形。教師巡視中指導(dǎo);同學(xué)們可以回想剛才是怎樣折的?；顒舆M(jìn)行得差不多時，學(xué)生在投影儀上演示：用高線轉(zhuǎn)化成兩個直角三角形的折疊過程。）

師：我們打開紙片展平，畫出所有折痕，并標(biāo)上字母（如圖2）.從剛才的折紙活動中，你發(fā)現(xiàn)了這個圖形中線段、角和三角形之間存在哪些位置、形狀、數(shù)量關(guān)系？請各小組的同學(xué)討論一下，發(fā)表小組討論結(jié)果。

（教師邊歸納邊板書學(xué)生討論的結(jié)果。）

①關(guān)于中點：AE=BE=AB/2，F(xiàn)=CF=AC/2，BG=DG=BD/2，CH=DH=CD/2;②斜邊上中線：DE=AB/2，DF=AC/2;③關(guān)于中位線：EF=BC/2，GE=AD/2，F(xiàn)H=AD/2。

3.提出猜想。

師：你認(rèn)為在什么條件下才能得到一條線段是另一條線段的一半長？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：①線段的中點;②直角三角形斜邊上的中線：③三角形兩邊的中點連線。

師：我們實際上是找到了ΔABC兩條邊上的中點E、F，我們把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線?，F(xiàn)在你們猜測一下這個中位線與第三邊有什么樣的關(guān)系？

（學(xué)生提出猜想：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。）

4.說明結(jié)論。

師：剛才大家猜出了三角形中位線的性質(zhì)，現(xiàn)在你是否能驗證這個性質(zhì)并加以說明。

（學(xué)生折紙，用折紙比較各條邊長及各個角的大小。）

師：小組內(nèi)討論一下，如何驗證？如何說明？（教師巡視中指導(dǎo)：你的說明要讓別人相信你是正確的。）哪位同學(xué)愿意來這里〔講臺）向大家說明！你們還有什么疑問提出來。

（學(xué)生相互說明與辯論。在實物投影儀上說明①∠A+∠B+∠C=180°;②四邊形EFH是長方形。）

師：我們一起發(fā)現(xiàn)了三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，并通過折紙方法進(jìn)行了驗證與說明，以后我們還要進(jìn)一步證明與應(yīng)用這個性質(zhì)。

5.交流體驗。

師：這節(jié)課你知道了什么？學(xué)會了什么？有什么發(fā)現(xiàn)？有什么體會？還有什么問題與困惑？

生1：這節(jié)課使我知道了折紙中也有數(shù)學(xué)道理，感覺到生活中處處有數(shù)學(xué)，今后要多觀察，多思考。

生2：我在用直角三角形折長方形時，與組里其他同學(xué)的折法不一樣，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)折的長方形沒有其他同學(xué)的大。我又折了幾次發(fā)現(xiàn)這樣折（手舉如圖1方式的折紙）……面積是最大的，是三角形面積的一半。

生3：我覺得用折紙比較線段和角的關(guān)系很方便，比如說可以同時折兩個一樣的圖形比來比去……容易通過做產(chǎn)生出猜想，今后學(xué)幾何要多用這種方法。

師：同學(xué)們，我們在折紙操作中，通過觀察，發(fā)現(xiàn)關(guān)系，形成猜想，并證明我們的猜想，得出結(jié)論。這是人們發(fā)現(xiàn)新知識的重要方法。

6.布！作業(yè)。

師：今天課后的作業(yè)是用正方形的紙片折疊圖形，按工作單進(jìn)行操作與探究，從中發(fā)現(xiàn)問題。

四、教學(xué)活動后教研組的討論和思考。

從上述過程可以看出，教學(xué)活動的過程經(jīng)歷了創(chuàng)設(shè)情境、提出問題、提出猜想、說明結(jié)論、交流體驗與布置作業(yè)6個環(huán)節(jié)。在隨后的教研活動中教師們對如下幾個問題進(jìn)行討論，引發(fā)了我們更多的思考，

1.關(guān)于活動式教學(xué)。

活動教學(xué)方式，主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生從已有生活經(jīng)驗出發(fā)、在動手操作的活動過程中學(xué)習(xí)，進(jìn)而完成對知識的主動建構(gòu)。但是數(shù)學(xué)探究活動的發(fā)生又不同于科學(xué)探究活動，具體實物材料的擺弄和操作（折紙活動）只是“外在的活動”，而實質(zhì)性的數(shù)學(xué)探究往往發(fā)生在學(xué)生的頭腦里——教師的任務(wù)就是使學(xué)生經(jīng)歷“直觀一感性認(rèn)識一理性思考”的活動過程，同時體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程（從猜想到說明/證明）的欣喜和挑戰(zhàn)。而“折紙中的圖形性質(zhì)”這一課例無疑關(guān)注了學(xué)生對過程性知識的學(xué)習(xí)并增強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的情感體驗。布魯納也指出：“我們教一門科目，并不是希望學(xué)生成為該科目的一個小型書庫，而是要他們參與獲得知識的過程。學(xué)習(xí)是一種過程，而不是結(jié)果?！雹诳梢?，讓學(xué)生在活動中“學(xué)會學(xué)習(xí)”本身比“學(xué)會什么”更重要。

2.關(guān)于問題情境的設(shè)計。

杜威的“教學(xué)五步”③反映了他“做中學(xué)”的教育思想，具體地體現(xiàn)為教師在教學(xué)中要為學(xué)生準(zhǔn)備一個應(yīng)用經(jīng)驗的真實情境——與學(xué)生現(xiàn)實生活經(jīng)驗相聯(lián)系的情境：與此同時給予一些暗示，使學(xué)生有興趣了解某個問題。本課例中“把三角形折成一個長方形”是以折紙情境中產(chǎn)生的真實問題作為思維的刺激物，來激發(fā)學(xué)生邁向幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)。教師不是把現(xiàn)成的教材提供給學(xué)生，而是要學(xué)生參與到活動中去，啟發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生從自己的生活經(jīng)驗以及折紙活動中“自然”產(chǎn)生出方法（實際上是學(xué)生已有生活經(jīng)驗的有效運用），來應(yīng)對折紙情境中所產(chǎn)生的問題、考慮從前沒有認(rèn)識到的事物，使經(jīng)驗有真正的增長，形成新性質(zhì)的經(jīng)驗。而且在情境的實踐活動中存在著大量的默會知識，所以實施有效的活動式教學(xué)的關(guān)鍵在于處理好顯性知識與默會知識學(xué)習(xí)的四種關(guān)系——即言傳、內(nèi)化、外顯、意會的有機(jī)整合;④并在此基礎(chǔ)之上，有效地進(jìn)行知識的傳承與創(chuàng)新。⑤

3.關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地思維。

數(shù)學(xué)的特點之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的關(guān)系，但它們都有非常多的現(xiàn)實背景。該課例在教學(xué)設(shè)計中關(guān)注了這個特點，力圖體現(xiàn)數(shù)學(xué)事實的現(xiàn)實背景，并從中選取與學(xué)生生活世界密切相關(guān)的情境，使學(xué)生思維的抽象過程猶如“自然”發(fā)生。這樣，學(xué)生感受到了鮮活的數(shù)學(xué)而不僅僅是它冰冷的美麗。數(shù)學(xué)的另一特點是嚴(yán)密性，表現(xiàn)為邏輯嚴(yán)格與計算精確，這種嚴(yán)密過程正體現(xiàn)了人類認(rèn)識的逐漸深化。在課例中，我們也注意了學(xué)生的認(rèn)知特點，在“直觀幾何”到“證明幾何”的嚴(yán)謹(jǐn)化過程之中做一過渡，進(jìn)行幾何說明，即要求學(xué)生做到“讓別人信服你是正確的”。以此啟蒙證明與反駁的思維方式。同時，這反映了一個逐漸追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程。在課例設(shè)計的問題解決活動中，體現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)家常用的思想方法：（1）思考問題的逆（反方向）問題，以提出新問題〔如從“用常見的長方形紙折出三角形問題”到反過來的“用三角形紙折長方形問題”）;（2）從一般問題的特例（直角三角形折為長方形）入手，尋找問題解決的思路：（3）把一個一般性問題（一般三角形折為長方形）轉(zhuǎn)化為解決過的問題（直角三角形折成長方形）的轉(zhuǎn)化與化歸思想;（4）歸納與分類的思想（把折紙中發(fā)現(xiàn)的諸多關(guān)系歸納出來，并進(jìn)行分類）;（5）從變化中尋找不變性的思想〔折紙中變化的線段長度與長度的倍半關(guān)系）。

4.關(guān)于活動課過程的展開。

活動課中學(xué)生的數(shù)學(xué)活動如何展開？這取決于多種因素，主要有教師特點、學(xué)生基礎(chǔ)、內(nèi)容水平、方法運用與情境引入，等等。毫無疑問，學(xué)生的主動探索與嘗試是活動課展開的核心，這里教師如何引導(dǎo)是非常關(guān)鍵的。在設(shè)計教師的引導(dǎo)活動時，我們經(jīng)歷了“驗證學(xué)過定理（復(fù)習(xí)）還是發(fā)現(xiàn)（數(shù)學(xué)）問題”，“以知識結(jié)構(gòu)組織方式作為主要路線還是以認(rèn)知活動序進(jìn)為主要線素”及“活動中默會層面的知識如何感悟”等問題的困擾，曾幾易教學(xué)設(shè)計，幾次實踐探索。如，在第一稿的設(shè)計中教師打算“通過折紙活動復(fù)習(xí)本學(xué)期學(xué)過的線段垂直平分線、角的平分線、直角三角形斜邊中線等定理及含30°角的直角三角形性質(zhì)定理，還探究以前沒有學(xué)過的三角形中位線定理”。這實際上是通過折紙驗證定理，折紙活動把定理的復(fù)習(xí)與發(fā)現(xiàn)“貫穿”起來，課堂的容量自然就不小了。但在后來學(xué)習(xí)共同體的研討中，大家認(rèn)識到通過折紙操作驗證己學(xué)過的幾何定理，失去了操作的意義，也會占用較多的課堂時間，教學(xué)重點要定位于“學(xué)生通過折紙操作來發(fā)現(xiàn)新知識，為學(xué)生提供更多機(jī)會和時間，讓學(xué)生提問與質(zhì)疑、嘗試與探究、討論與交流、歸納與總結(jié)。促使學(xué)生思維開放，在積極探索中形成創(chuàng)新性的思考與看待問題的方式，并藉此獲得知識”。又如，在第一次上課之后，執(zhí)教老師反思道：“以往教學(xué)中注重的是幾何論證，講究的是邏輯推理的嚴(yán)密性，不太關(guān)注知識是如何產(chǎn)生的：而折紙活動是操作幾何，教師和學(xué)生都一時難以適應(yīng)從折紙的角度去探究、去發(fā)現(xiàn)、去驗證?！贝蠹易屑?xì)觀察課堂錄像后認(rèn)為，要創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實際生活經(jīng)驗密切相關(guān)的情節(jié)，激活學(xué)生原有的經(jīng)驗，體現(xiàn)循序漸進(jìn)和學(xué)以致用。又如，在后來的一次平行班上課中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在折紙活動中思維放開了，有了多種嘗試和結(jié)果，能夠較好地體現(xiàn)學(xué)生的主體性，但是操作與嘗試的方向不夠明確，深度上也有欠缺。仔細(xì)觀察課堂錄像使我們認(rèn)清了教學(xué)中的另一主體嚎一教師的作用，教師如何點撥、引導(dǎo)使學(xué)生在多種嘗試和結(jié)果中提煉出關(guān)鍵問題與有用的知識，不僅是教學(xué)設(shè)計中要講究的，也是教學(xué)實踐中師生智慧的體現(xiàn)，也與“默會”層面的知識“傳遞”有關(guān)。

此外，教師在設(shè)計活動式教學(xué)時體會到，如果設(shè)計的探究步伐小就好像是引著學(xué)生往“陷阱”里走;如果探究的步伐大，學(xué)生的探究活動會過于受阻甚至不會發(fā)生。那么，如何掌握探究步伐的大??？我們的認(rèn)識是探索與嘗試的步子一定要適合學(xué)生的實際。要讓學(xué)生面對適度的困難，誘發(fā)探索與思考的興趣，并從這種克服困難的過程中有一定的收獲，有一些成就感。但設(shè)計的問題不宜太難，否則學(xué)生會在問題面前過多徘徊，浪費許多寶貴時間?；顒娱_始時，探索與嘗試的步子要小一些，使得更多的學(xué)生有機(jī)會投入與參與。隨著學(xué)生對環(huán)境，情境、問題的熟悉，探索與嘗試的步子可以加大，不斷增加創(chuàng)造性因素。

注釋：

①教育部：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》，北京師范大學(xué)出版社，2001年版，第1～2頁。

②邵瑞珍等譯：《布魯納教育論著選》，人民教育出版社，1989年版，第27頁，第162～163頁。

③單中惠：《現(xiàn)代教育的探索——杜威與實用主義教育思想》，人民教育出版社，2001年版，第350頁。

④顧泠沅：《教學(xué)任務(wù)變革》，載《教育發(fā)展研究》2001年第10期。

⑤顧泠沉、呂達(dá)著：《面向未來的基礎(chǔ)學(xué)校研究》，載《課程.教材.教法》2002年第9期。

⑥顧泠沉著：《教學(xué)改革的行動與詮釋》，人民教育出版社，2003年8月，第357～360頁。