問(wèn)題已知△ABC中，a=1，b=2，∠C=90°，則c等于多少?

任何一個(gè)學(xué)過(guò)勾股定理的人都能輕易求得c=5，如果思維就此結(jié)束，那么這個(gè)問(wèn)題并無(wú)多大意義，此時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生作進(jìn)一步的反思和探索。

1．對(duì)結(jié)論的反思

問(wèn)題1已知AABC中，a=1，A＝2，上C=90°，你能求出些什么？

事實(shí)上，此問(wèn)題的本質(zhì)是三角形兩邊夾角確定后，其所有的基本量，如邊c，周長(zhǎng)L，面積S，∠A，∠B等都隨之確定，同時(shí)，與△ABC的一切相關(guān)量如外接圓、內(nèi)切圓半徑的大小，高線(xiàn)、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)的長(zhǎng)、四心的位置等等同時(shí)確定，都應(yīng)是能求出的對(duì)象，由此，學(xué)生就能體會(huì)到有些問(wèn)題用現(xiàn)有的知識(shí)就能解決，而有些問(wèn)題則將導(dǎo)致新知識(shí)的產(chǎn)生，如求∠A的度數(shù)就需要三角函數(shù)的知識(shí)．對(duì)結(jié)論的反思，有很多切入點(diǎn)，如：為什么會(huì)有這樣的結(jié)論?結(jié)論合理嗎?是否會(huì)有什么規(guī)律？可以推廣嗎?等等，經(jīng)常在解題后思考這類(lèi)問(wèn)題，有助于學(xué)生養(yǎng)成研究性學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，對(duì)培養(yǎng)他們的探索精神和發(fā)現(xiàn)能力大有好處。

2．對(duì)條件的反思

(1)弱化條件

把問(wèn)題1中的條件上C=90°略去，就有

問(wèn)題2已知△ABC中，a=1，b＝2，你能求出些什么?

比較問(wèn)題1和問(wèn)題2，由于上縱確定變?yōu)椴淮_定，學(xué)生看到了一個(gè)動(dòng)態(tài)的△ABC，原來(lái)能求出的一些基本量相應(yīng)地都隨∠C的變化而成為變量，能求出的應(yīng)是這些量的范圍，如1＜c＜3，0＜s≤1等。筆者曾就此問(wèn)題要求學(xué)生當(dāng)堂編題，一學(xué)生就提出了下面這個(gè)很有價(jià)值的問(wèn)題并提供了很有創(chuàng)意的解法：

問(wèn)題2'已知△ABC中，a=1，b＝2，求∠A的范圍。

解顯然，點(diǎn)B的軌跡是以C為圓心，1為半徑

(2)增加條件

在問(wèn)題2中增加一個(gè)合適的條件，動(dòng)中取靜，也許在某特殊條件下會(huì)有什么有趣的現(xiàn)象出現(xiàn)。

如

問(wèn)題3 已知△ABC中，a=1，A＝2，周長(zhǎng)L為整數(shù)，則這樣的△ABC有幾個(gè)?形狀如何?

學(xué)生解答這種問(wèn)題一定會(huì)興味盎然，如果這個(gè)問(wèn)題是他們自己提出來(lái)的，那就更棒了!

(3)變換條件

事實(shí)上，問(wèn)題1中的條件∠C＝90°變?yōu)槿我庖粋€(gè)確定的角，其本質(zhì)不變，只不過(guò)不能直接用勾股定理求解罷了，那就轉(zhuǎn)化吧!如

問(wèn)題4 已知△ABC中，a=1，b＝2，∠C=60°，求c．

對(duì)條件的反思，往往會(huì)產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)了提出問(wèn)題，便會(huì)自覺(jué)地去嘗試解決，因?yàn)樗欢ㄏＭ约菏堑谝粋€(gè)解決它的人．此時(shí)，我們不僅使學(xué)生懂得了數(shù)學(xué)，更使他們學(xué)會(huì)了創(chuàng)造數(shù)學(xué)。

3．對(duì)解題過(guò)程和解題策略的反思

(1)一般化和特殊化

將數(shù)學(xué)問(wèn)題特殊化，往往能找到有效的特例，也往往成為解決一般問(wèn)題的前奏，這在解題教學(xué)中已受到廣大教師的重視。另一方面，將數(shù)學(xué)問(wèn)題一般化，試著將某些結(jié)論進(jìn)行推廣，也許會(huì)成為發(fā)現(xiàn)真理的導(dǎo)火索。

認(rèn)真反思問(wèn)題1和問(wèn)題4，此時(shí)，一個(gè)一般化的問(wèn)題的提出是自然而然的，即

問(wèn)題5 已知△ABC的兩邊a，b和夾角C，如何求第三邊c?

此時(shí)，一個(gè)一般性的公式c²=a²+b²-2abcosC(余弦定理)的發(fā)現(xiàn)便水到渠成了!

(2)一題多解

“還有其他解法嗎?”這是數(shù)學(xué)課堂經(jīng)常聽(tīng)到的一句話(huà)，遺憾的是這句話(huà)更多的是出自教師之口．我們應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生在問(wèn)題解決后習(xí)慣地對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行反思或與他人交流意見(jiàn)，自覺(jué)尋求其他的解法，值得注意的是，決不能片面追求解法的新巧。一題多解的美感及其價(jià)值在于其思維的多樣性和殊途同歸的必然性。

例如問(wèn)題4，比較學(xué)生的各種解法是很有意義的：

解法1(轉(zhuǎn)化思想)作高BD，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)Rt，△后得解。

解法2(同一法)作AB'⊥BC于B'，證B'與B重合后得解。

解法3(折半法)取AC中點(diǎn)M，由正△BCM得解。

解法4(加倍法)延長(zhǎng)CB到D，由正△ACD得解。

解法5(構(gòu)造法)作△A'B'C'，使上B=90°，a'=1，b'=2，由△A'B'C'≌△ABC得解。

比較的主要目的是為了激發(fā)學(xué)生思維的靈活性和體驗(yàn)解題策略的多樣性，而不是要得出什么是最佳解法。當(dāng)然，明白各種解法的普遍性或特殊性是必要的。

(3)反過(guò)來(lái)想想

對(duì)逆命題(交換條件與結(jié)論)的敏感度是一個(gè)人基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)，解題后考察原命題的逆命題，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和批判性．

在自由探究的氣氛中，學(xué)生每得到一個(gè)結(jié)論，都會(huì)有一種發(fā)現(xiàn)的驚喜和成功的愉悅．在這里，人人都可以發(fā)表自己的見(jiàn)解，哪怕是一個(gè)非常幼稚的念頭都可能在集體討論中成長(zhǎng)為一個(gè)美妙的結(jié)果，哪怕是再聰明的同學(xué)也很難獨(dú)立得出“完整的答案”，其實(shí)，學(xué)生能得出多少結(jié)論并不重要，真正重要的是，在這種完全開(kāi)放的課堂刺激中，學(xué)生明白了不但要學(xué)會(huì)自主探索，而且要學(xué)會(huì)傾聽(tīng)他人的意見(jiàn)，懂得與他人交流、合作的重要性。

(4)換個(gè)角度思考

定向思維易使創(chuàng)新思維受阻，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，要重視鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維、逆向思維等，要敢于批判，敢于質(zhì)疑，所謂“橫看成嶺側(cè)成峰”，正面直對(duì)，似乎懸崖峭壁；換個(gè)角度，也許柳暗花明，對(duì)解題的反思也是如此。

(作者單位：浙江省溫州市第二中學(xué))

(摘自《中學(xué)教研·數(shù)學(xué))

(責(zé)任編輯／宋一兵)