中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2025）19/22-0051-03

本文系河北省教育科學“十四五\"規(guī)劃2021年度重點資助課題“基于深度學習的小學數(shù)學教材建設研究\"（課題編號：2101055）研究成果。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）中的幾何作圖內(nèi)容在小學第二學段、第三學段共安排11次。與《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》相比，增加了3個尺規(guī)作圖的內(nèi)容。分別為1.作一條線段等于已知線段；2.將三角形的三條邊畫到一條直線上；3.給定線段畫三角形三個內(nèi)容（見表1）。

特別需要說明的是，表中“使用工具”中的直尺為無刻度直尺。在前6個作圖內(nèi)容中，畫角無需直尺刻度。由于圓規(guī)的兩腳可以確定線段的長短，所以作圖過程不需要讀直尺刻度。而在后5個作圖內(nèi)容中，因為借助方格紙可以確定線段的長短，所以作圖過程也無需用有刻度的直尺。

表1

一、幾何作圖內(nèi)容教學的目標走向

幾何圖形作為數(shù)學語言，是幫助人們表達現(xiàn)實世界的重要信息載體。幾何作圖是以知識、技能為基礎的表征數(shù)學思想的過程，從這個意義上說，幾何作圖的本質(zhì)是想象、推理活動。因此，作為課程內(nèi)容，幾何作圖的學業(yè)要求不僅僅是技能的習得，更重要的是探索、展示作圖的思維過程，交流每一步的作圖依據(jù)，教學目標應指向發(fā)展想象力、幾何直觀和推理意識。早在古希臘歐幾里得的《幾何原本》中，尺規(guī)作圖的內(nèi)容就彰顯了它獨特的育人價值。

小學數(shù)學幾何部分的內(nèi)容絕大部分是直觀幾何，描述性是本學段課程內(nèi)容表達的特點。到了初中階段學習幾何則是一個嚴謹?shù)恼撟C體系。學段之間思維形式的跳躍性較大。事實上，從算數(shù)思維到代數(shù)思維，從直觀幾何到演繹幾何，讓許多學生倍感吃力?；趯W段銜接的考量，結合幾何課程內(nèi)容，采用適當?shù)慕虒W形式引導學生逐步從直觀說理走向論證說理，更好地適應未來數(shù)學學習的思維方式，是課程內(nèi)容和課程實施需要解決的重要問題，而《課標》中作圖內(nèi)容的整體設計就是對這一方向十分有益的探索。義務教育階段小學與初中的幾何作圖，在利于發(fā)展學生核心素養(yǎng)的目標背景下，教學要求既要有相同點，又要有學段要求的差異性。相同點在于作圖說理，說明為什么這樣畫；不同點在于說理的層次要求，即不同學段學生在說理時應有不同的數(shù)學表達方式。小學階段的幾何作圖（特別是尺規(guī)作圖），在探索、交流畫法與依據(jù)的過程中應進行直觀說理。中學階段則要結合作圖過程與方法展開嚴謹證明?？傊?，小學階段幾何作圖的內(nèi)容，從數(shù)學活動過程本質(zhì)看是想象與推理；從目標指向看是發(fā)展幾何直觀，培養(yǎng)推理意識。

二、幾何作圖內(nèi)容教學的實施路徑

幾何作圖，對于小學生而言，既有操作性、趣味性，又極具挑戰(zhàn)性。由于缺乏豐富的生活經(jīng)驗和活動經(jīng)驗支撐，需要給學生足夠的探索時間和空間，只有充分經(jīng)歷幾何作圖的過程，交流作圖的想法和感受，才利于學生收獲感悟與思維形成。幾何作圖的教學活動實施可遵循以下基本路徑（圖1），通過不斷積累作圖經(jīng)驗，發(fā)展學生幾何直觀和推理意識，提高作圖能力。

1.明確作圖問題。以理解作圖要求為核心任務，弄清使用的工具以及所要求畫出的圖形特征。如作圖問題“用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”，使用的工具是無刻度的直尺（或不看直尺的刻度）和圓規(guī)；所畫的圖形是一條線段，并且同已知線段的長度相等。

2.認識作圖工具。小學階段尺規(guī)作圖的工具，一般都要求使用無刻度的直尺和圓規(guī)。觀察、了解沒有刻度的直尺以及圓規(guī)的結構特點，認識它們在作圖中的功能，并熟練使用這些工具，是按要求作圖的基礎。如作圖問題“用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”，學生第一次使用尺規(guī)作圖，需要先認識無刻度的直尺和圓規(guī)。教師可以設計一項讓學生觀察工具、自主畫線的活動，認識到用無刻度的直尺可以畫出一條直線，也可以利用作記號的方式，畫出一條給定長度的線段；認識到用圓規(guī)可以畫圓弧或圓，用圓規(guī)兩腳可以比出線段的長度，知道圓弧上任意一點到中心點的距離都相等，也就是說用圓規(guī)可以畫出無數(shù)條長度相等的線段。隨著尺規(guī)作圖內(nèi)容的深入，如通過學習后續(xù)的“將三角形的三條邊畫到一條直線上\"“給定線段畫三角形\"等作圖問題，學生將進一步感悟直尺和圓規(guī)在確定點、線等幾何基本元素的位置關系、長度關系時的作用。

3.設計實施作圖計劃。在學生知道了作什么圖、用什么工具作圖的基礎上，教師要引導學生獨立思考如何作圖，即設計并實施作圖計劃。從活動本質(zhì)上看，是學生初步探索作圖步驟和作圖方法的過程，體現(xiàn)“做中學”，而不是簡單灌輸作圖方法，更不是教師教一步，學生學一步。在這一階段，作圖步驟可能沒有層次，缺乏邏輯性，作圖方法也可能表現(xiàn)出不規(guī)范、不嚴密、低效率的特點，但也常常不乏創(chuàng)新性。在教學時，教師的主要任務是喚醒、調(diào)用學生已有的知識和作圖經(jīng)驗，用自己的方式思考怎樣才能按照要求作出圖來，初步擬定一個作圖計劃。在實施作圖計劃時，教師要鼓勵學生不斷進行嘗試、反思、調(diào)整。

4.交流作圖方法。由于尺規(guī)作圖內(nèi)容的挑戰(zhàn)性，需要同伴之間交流分享個性化作圖方法，相互啟發(fā)。通過交流，比較異同，辨析優(yōu)劣，或找出關鍵問題，或生成新的方法。如作圖問題\"給定線段畫三角形”，在已知三邊作三角形時，學生基于自己的“經(jīng)驗”常常會出現(xiàn)下面的方法：

第一種，通過作等長線段先作出三角形的兩條邊（三角形的三個頂點已經(jīng)確定），再連接得到第三條邊。但是第三條邊的長度常常不與已知線段等長，需要調(diào)整一個頂點（或兩個頂點）的位置，“湊”出第三條邊的長度。

第二種，通過作等長線段先作出三角形的一條邊（三角形的兩個頂點已經(jīng)確定），再用直尺刻度量出另外兩條邊的長度，最后分別畫出滿足長度的多條線段去“湊”出第三個頂點的位置。

教師要引導學生通過比較發(fā)現(xiàn)兩種方法的關鍵在于確定第三個頂點的位置，并讓學生使用圓規(guī)嘗試、操作尋找第三個頂點，通過及時反思、調(diào)整，發(fā)現(xiàn)第三個頂點應該在兩條弧的交點處（如圖2中的頂點 c ）。

圖2

（圖片來源：人教版數(shù)學教材五年級下冊）

5.說明作圖依據(jù)。這一活動的重點是反思作圖方法，引導學生結合具體圖形說明畫法的合理性，即為什么這樣畫出的圖形符合要求，從數(shù)學活動的本質(zhì)看是直觀說理的過程。對于小學階段的作圖問題，能夠說出解決關鍵問題的依據(jù)即可。

再如作圖問題：畫出簡單圖形旋轉 90^° 后的圖形。

教材圖文結合，呈現(xiàn)了學生自主探索出的畫法，交流了畫圖的具體過程。但教學不能停留在具體畫法上，要引導學生結合自己的作圖過程，說明為什么要“先畫點 A^′′′？ 畫旋轉一定角度的圖形，是不是需要從角的概念出發(fā)，首先確定角的兩條邊的位置？具體地說是不是先確定OA邊繞 o 點順時針旋轉 90^° 的位置，再確定點A^′ 的位置更合理？為什么確定了點 的位置后，連接 A^′?B^′ ，線段 A^′B^′ 就是三角形 _AB 邊繞 o 點順時針旋轉 90^° 后的位置？如果這些問題認識不清楚，幾何作圖問題就成了簡單的技能教學，課程內(nèi)容中關聯(lián)的相關核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)也就失去了落實之地，幾何作圖的育人價值就會大打折扣。事實上，上述問題學生都可以結合具體圖形，用學過的知識加以說明。如點 分別是點 A，B 繞 o 點旋轉 90^° 后的位置，已經(jīng)學過“兩點確定一條直線”連接 ，線段 A^′B^′ 就一定是 _AB 邊繞 o 點順時針旋轉 90^° 后的位置。

6.總結作圖步驟。這一環(huán)節(jié)主要是讓學生回顧、反思、整理作圖過程：主要分為幾步，每一步的關鍵是什么。使學生的作圖技能進階到規(guī)范化的層次，培養(yǎng)學生思維的條理性、嚴密性。