中圖分類號：O241.82 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-1068-07

Finite Difference Method for Time-Fractional American Option Pricing Problem

DONG Qinli，ZHANG Qi （School of Science， Shenyang University of Technology， Shenyang llO87O， China）

Abstract： Aiming at the pricing problem of American options under the time-fractional Black-Scholes model，we proposed an effective numerical solution method. Firstly，the linear complementarity model satisfied by the American option was transformed into a nonlinear parabolic problem on a bounded domain by using the variable substitution and penalty method. Secondly，the semi-implicit finite difference method was used to solve the problem，and the error results of the method and the non negativity proof of the solution were given. Finally，numerical experiments were used to verify the correctness and effectiveness of the proposed method.

Keywords： time-fractional American option；Caputo fractional derivative； penalty method； semiimplicit finite difference method

0引言

期權(quán)是一種廣泛使用的金融衍生工具，關(guān)于其定價問題的研究有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值．Black等[1]利用布朗運動刻畫原生資產(chǎn)價格的變動趨勢，提出了Black-Scholes 定價模型，該模型目前已廣泛應(yīng)用于金融交易市場.

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性和金融市場的分形特征為分?jǐn)?shù)階微積分在金融領(lǐng)域的引人和發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)和實踐需求．與經(jīng)典的 Black-Scholes 模型相比，分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型通過引人重尾分布、尖峰分布及多重分形性，使其更適合模擬金融市場中的復(fù)雜情況．因此，對分?jǐn)?shù)階期權(quán)定價問題的研究受到廣泛關(guān)注：Wyss[2]首次將分形的思想用到金融領(lǐng)域，并推導(dǎo)出時間分?jǐn)?shù)階 Black-Scholes 定價方程；Cartea等[3]提出了障礙期權(quán)與跳躍擴(kuò)散期權(quán)的分?jǐn)?shù)階定價模型；Jumarie[4]利用分?jǐn)?shù)階 Taylor公式，推導(dǎo)出時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes 定價方程；Liang等[5」假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格遵循分?jǐn)?shù)Ito過程，將期權(quán)價格視為分形傳輸系統(tǒng)，引入了雙分?jǐn)?shù) Black-Scholes模型；Chen 等[6]假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格遵循布朗運動，而期權(quán)價格遵循分形傳輸系統(tǒng)，推導(dǎo)出時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes定價方程.

由于時間分?jǐn)?shù)階美式期權(quán)的解析解很難計算，因此在實際應(yīng)用中多采用數(shù)值方法求解．Song 等[7]提出了求解時間分?jǐn)?shù)階美式期權(quán)定價問題的隱式有限差分法；Chen等[8]給出了求解時間分?jǐn)?shù)階美式期權(quán)的算子分裂方法；Nuugulu等[9]提出了求解時間分?jǐn)?shù)階美式期權(quán)自由邊界問題的前沿固定方法；Pourbashash等[10]用自適應(yīng)小波方法求解時間分?jǐn)?shù)階美式期權(quán)的變分不等式形式.

近年來，半隱式差分法已應(yīng)用于期權(quán)定價研究中．張琪等[11]給出了美式多資產(chǎn)期權(quán)定價問題的半隱式差分格式；高子涵等[12]利用半隱式差分格式數(shù)值求解了體制轉(zhuǎn)換模型下的美式期權(quán)定價問題.本文考慮時間分?jǐn)?shù)階美式看跌期權(quán)定價問題，提出一種基于半隱式差分離散的數(shù)值算法，對于看漲期權(quán)同理．假設(shè)原生資產(chǎn)價格為 S ，時間為 t ，令 σ，r，q，T，K 分別表示原生資產(chǎn)波動率、無風(fēng)險利率、紅利率、期權(quán)到期日及敲定價格，則時間分?jǐn)?shù)階美式期權(quán)價格 V（S，t） 滿足以下線性互補模型[13]：

并滿足約束條件：

其中 0lt;α?1 ，收益函數(shù)為 G（S）=max{K-S，0} ．模型（1）-（2）中時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)滿足以下右Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)[14]：

本文針對時間分?jǐn)?shù)階美式看跌期權(quán)滿足的線性互補問題（1）-（2）進(jìn)行討論，求解該模型的難點為：該模型是含有時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的變系數(shù)問題，且求解區(qū)域為無界區(qū)域；該模型為線性互補問題，高度非線性，很難直接求解．針對上述求解難點，本文給出相應(yīng)的處理技巧，進(jìn)而得到有效的數(shù)值求解方法.

1模型簡化

首先，通過變量替換

可將右Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)變?yōu)橐韵滦问絒14]

這里 ₀^cD_τ^αp（x，τ） 為Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

對于模型求解區(qū)域的無界性處理，通常選取一個足夠大的常數(shù) L 進(jìn)行截斷，將求解區(qū)域定義為

（x，τ）∈[-L，L]×[0，T] ，則截斷后的期權(quán)價格 滿足以下線性互補模型：

并滿足約束條件：

其中 g（x）=Kmax{1-e^x，0}，μ=σ²/2，γ=r-q-σ²/2.

下面引用懲罰法[15]求解線性互補模型，該方法通過加入懲罰項將線性互補問題轉(zhuǎn)化為非線性拋物問題，形式如下：

懲罰法有以下誤差估計結(jié)果.

引理 1^[16] 當(dāng) α=1 時，如果 和 u 分別為模型（6）-（7）和模型（8）的解，則下列估計式成立：

至此，針對時間分?jǐn)?shù)階美式期權(quán)滿足的線性互補模型（1）-（2），利用變量替換和懲罰法得到了非線性拋物問題（8），下面利用半隱式有限差分法對簡化后的問題進(jìn)行數(shù)值求解.

2 有限差分法

針對非線性拋物問題（8），本文提出一種半隱式有限差分法進(jìn)行求解，該方法的主要思想與經(jīng)典有限差分法相似，唯一區(qū)別是方程中的非線性項采用顯式格式，線性項采用隱式格式.

先分別對時間 [0，T] 和空間 [-L，L] 采用下列一致網(wǎng)格剖分：

0=τ₀lt;τ₁lt;…lt;τ_M=T，

I_h：-L=x₀1lt;…N=L.

對于時間剖分，令時間步長為 Δτ=T/M ，時間節(jié)點為 τ_m=mΔτ ， ，類似地，空間步長為h=2L/N ，空間節(jié)點為 x_i=-L+ih ， i=0，1，…，N. ，這里 M 和 N 為正整數(shù)．在節(jié)點 （x_i，τ_m） 處采用以下差分格式：

其中 u_i^m 表示 u 在節(jié)點 （x_i，τ_m） 處的數(shù)值解， b_k=（k+1）^1-α-k^1-α ， k=0，1，…，M.

引理 2^[17] 系數(shù) b_k 有以下性質(zhì)： 基于差分格式（10），定價模型（8）在 （x_i，τ_m） 處的離散格式為

u_i⁰=g_i，u₀^m=g₀，u_N^m=g_N，i=1，2，…，N-1，m=1，2，…，M.

整理可得

au_i-1^m+bu_i^m+cu_i+1^m=Δτ^αf（u_i^m-1）+l（u_i^m-1），

其中

定理1設(shè) u（x_i，τ_m） 和 u_i^m 分別是方程（8）和（11）在節(jié)點 （x_i，τ_m） 處的離散解，則下列估計式成立：

證明：方程（8）在節(jié)點 （x_i，τ_m） 處可表示為

對于時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)離散，利用L1插值逼近可得

展開得

上述分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的截斷誤差 滿足 （r）_Δτ^m?_uΔτ^2-α ，其中 c_u 為只取決于 u 的常數(shù).

對于空間導(dǎo)數(shù)離散，利用Taylor展式可得

從而得 ．證畢.

下面將差分格式（12）寫成矩陣形式：

其中

L（U uN-1）T N·

系數(shù)矩陣 A 是 （N-1）×（N-1） 的三對角矩陣：

定理2當(dāng)空間步長 h 充分小時，方程（12）得到的解是非負(fù)的，即 u_i^m?0 ， m=1，2，…，M

證明：將方程（12）同乘 h²/（Δτ）^α ，如果空間步長 h 足夠小，則有

可得矩陣 A 為一個M-矩陣，且初始右端 d（u_i⁰） 非負(fù)，因此 u_i¹?0 ．下證右端 d（u_i^m-1 ）非負(fù).

當(dāng) m=2 時，

由引理2知， 0lt;（ 1-b₁）lt;1 ，可得 d（u_i¹） 非負(fù).當(dāng) 時，

其中

（bm-1-bm-2）ul.店

由

綜上所述， u_i^m?0 ， m=1，2，…，M. 證畢.

3 數(shù)值模擬

下面通過數(shù)值算例驗證基于懲罰法的半隱式有限差分法（PFDM）的正確性和有效性．考慮當(dāng)T=1 ， K=50 ， L=log2 ， σ=0.1，0.3，0.5 時的分?jǐn)?shù)階美式看跌期權(quán)定價問題．為說明本文算法的普適性，選取不同組合的 r 和 q 進(jìn)行檢驗：

情形Ⅰ當(dāng) r

情形 I 當(dāng) r=q 時， r=0.02 ， q=0.02 ：

情形Ⅲ 當(dāng) 時， r=0.03 ， q=0.02

由于美式期權(quán)具有提前實施的特點，一般不存在解析解，因此本文選取二叉樹法（BTM）作為參照解，取 α=1 ，時間剖分 M=10 240 的二叉樹進(jìn)行比較，驗證本文算法的正確性．本文算法PFDM的相關(guān)參數(shù)如下：時空剖分份數(shù)分別為 M=200 ， N=200 ，懲罰法系數(shù)為 ε=10^-2 ．應(yīng)用反演變換（4），可得原定價模型的期權(quán)價格

V（S，t）=p（x，τ），S=Ke^x，t=T-τ.

首先，固定 σ=0.5 ，考慮情形 I ，分別給出 α=0.4，0.6，1 下的期權(quán)價格 V（S，0） 圖像，如圖1所示，由圖1可見：當(dāng) αlt;1 時，PFDM期權(quán)價格小于二叉樹方法所得的期權(quán)價格；當(dāng) α=1 ，即標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)的情形下時，PFDM與二叉樹所得圖像較接近，與實際相吻合.

為說明兩種方法的接近程度，進(jìn)一步固定 α=1 ，針對不同參數(shù)情形下，給出PFDM和BTM

誤差估計值，結(jié)果列于表1．這里誤差選取為e=N+1（ ，其中 V 和 V_h 分別是利用PFDM和BTM所得的解.

由圖1和表1可見，當(dāng) α=1 時，時間分?jǐn)?shù)階美式期權(quán)等價于標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)．此時PFDM充分接近BTM，誤差可達(dá) 10^-4 量級，表明了本文方法的正確性.

其次，固定 σ=0.3 ，考慮情形Ⅲ，分別給出 α=0.4，0.6，1 下的期權(quán)價格 V（50，t） 圖像，如圖2所示．由圖2可見，期權(quán)價格是關(guān)于時間 Ψ_t 的減函數(shù)，且期權(quán)價格減小的速度隨 α 的增加而越來越快.

最后，為更好地理解時間分?jǐn)?shù)階美式期權(quán)的定價問題，固定 σ=0.1 ，考慮情形Ⅰ，分別給出α=0.4，0.6，1 下的期權(quán)價格三維圖像以及期權(quán)價格與收益函數(shù)差值圖像，分別如圖3和圖4所示.

由圖3可見，對不同的 α ，期權(quán)價格的走勢與標(biāo)準(zhǔn)美式類似，且可見 V（S，t） 是 s 的減函數(shù)．由圖4

可得期權(quán)價格與收益函數(shù)的差值均大于等于零，與線性互補模型滿足的條件一致.

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（責(zé)任編輯：李琦）