通過(guò)培養(yǎng)模型化的認(rèn)知能力，學(xué)生可以逐步發(fā)展出有條理的思維模式，并經(jīng)歷“具體一抽象一具體\"的思維軌跡.這能建立起學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)理論與他們?nèi)粘Ｉ顚?shí)踐之間的聯(lián)結(jié)，使學(xué)生不僅掌握如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還能將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題解決中，從而提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的實(shí)踐能力.

1結(jié)合現(xiàn)實(shí)創(chuàng)情境，現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象化

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）認(rèn)為，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)的知識(shí)都根源于生活中的普通常識(shí).當(dāng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)視角審視日常生活時(shí)，能意識(shí)到很多實(shí)際問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在本源上與數(shù)理模型的基本形態(tài)或早期形式相似或接近.例如，從黑板的平面、長(zhǎng)方形桌子的表面、數(shù)學(xué)教材的封皮等實(shí)物中能夠提煉出“長(zhǎng)方形\"這一幾何概念的原型；又如，蓄水池的注水與排水、公交車的進(jìn)出站過(guò)程以及學(xué)生的轉(zhuǎn)學(xué)與退學(xué)等問(wèn)題，都蘊(yùn)含著動(dòng)態(tài)均衡的數(shù)學(xué)原理.歸根結(jié)底，真實(shí)生活中的實(shí)例為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型認(rèn)知提供了基礎(chǔ)素材，同時(shí)頻繁成為教師在互動(dòng)教學(xué)過(guò)程中精心選取的范例，

在塑造學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知教學(xué)階段，教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生展示與現(xiàn)實(shí)生活緊密相連的實(shí)際案例，促使學(xué)生在思維中形成與數(shù)學(xué)有關(guān)、切實(shí)可行及富有意義的數(shù)學(xué)概念.問(wèn)題情境的有效使用，關(guān)鍵在于它能否觸及數(shù)學(xué)核心、能否激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與模型意識(shí).教師應(yīng)深入挖掘和關(guān)注日常生活中數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際情境，巧妙地運(yùn)用日常的素材，將與數(shù)學(xué)模型相關(guān)的課程內(nèi)容置于切合實(shí)際且與學(xué)生密切相關(guān)的環(huán)境之中，構(gòu)建既貼近真實(shí)生活又照顧到學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知需求的問(wèn)題情境，讓學(xué)生能夠主動(dòng)地在這些情境中識(shí)別并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，體驗(yàn)將現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.將實(shí)際問(wèn)題理論化能夠幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)模型與實(shí)際生活緊密相連的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)中存在的無(wú)數(shù)實(shí)踐問(wèn)題都能夠被轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)形式，并用數(shù)學(xué)的邏輯和理念去闡釋和解決.這一系列活動(dòng)能有效提升學(xué)生對(duì)模型的認(rèn)知和理解.

例如，在講解“圓的周長(zhǎng)\"這一內(nèi)容時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)以下情境，讓學(xué)生經(jīng)歷如何從實(shí)際生活情境中抽離出數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程： ① 猜一猜.需要在圓形帽子的周圍鑲嵌一條裝飾帶，那么在老師提供的四條長(zhǎng)度各異的緞帶中，應(yīng)該選擇哪一條最合適. ② 說(shuō)一說(shuō).請(qǐng)闡述你的選擇.要準(zhǔn)確測(cè)定所需要的緞帶長(zhǎng)度，需要研究哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？需要掌握哪些信息？借助剛才提出的雙重疑問(wèn)，教師可以構(gòu)建一個(gè)計(jì)算圓周的數(shù)學(xué)議題框架.這不僅便于學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換成關(guān)于圓周長(zhǎng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能在解決這些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中磨練技能，同時(shí)也能讓他們?cè)诔橄蟮乃季S過(guò)程中領(lǐng)悟到圓周長(zhǎng)的概念在現(xiàn)實(shí)中的意義及重要性

2巧用工具再創(chuàng)造，數(shù)學(xué)問(wèn)題模型化

依照弗賴登塔爾所持的觀點(diǎn)，學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是在進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”活動(dòng).在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生親身體驗(yàn)和重現(xiàn)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，而非僅僅向他們灌輸公式和定理；同時(shí)更應(yīng)重視學(xué)生在模型構(gòu)建過(guò)程中的經(jīng)歷和感受.這是因?yàn)閿?shù)學(xué)模型固然表面上保持一定的穩(wěn)定性和恒定性，但在構(gòu)建模型的實(shí)踐中，深化的數(shù)學(xué)概念和策略卻需要持續(xù)不斷地演進(jìn).此種思維方式蘊(yùn)含著極大的潛力，能夠持續(xù)提升學(xué)生解決日常問(wèn)題的能力.假如教師單純將數(shù)學(xué)理論模型視為教學(xué)成果的終點(diǎn)，這將淺化教育對(duì)學(xué)生產(chǎn)生的深遠(yuǎn)影響，并易陷入過(guò)度依賴模型化教學(xué)的誤區(qū).所有數(shù)學(xué)模型未必能解決日常生活中遇到的一切難題，只有掌握數(shù)學(xué)的思維與策略，我們才能揭開問(wèn)題的面紗.因此，學(xué)生在親身參與模型構(gòu)建的“再創(chuàng)造”過(guò)程中所得的經(jīng)驗(yàn)和領(lǐng)悟，對(duì)其模型認(rèn)知能力的培養(yǎng)極為寶貴.

教師在教學(xué)過(guò)程中須巧妙地采用各種教學(xué)法，激勵(lì)學(xué)生充分應(yīng)用文字、示意圖、具體模型等數(shù)學(xué)輔助工具，并通過(guò)繪畫、排列、連接等互動(dòng)練習(xí)，把握數(shù)學(xué)難題中的核心要點(diǎn)，構(gòu)建信息互聯(lián)，經(jīng)歷從日常生活情境中提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式化.在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，教師主導(dǎo)著學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的同時(shí)，讓學(xué)生親身實(shí)踐，這樣的教學(xué)策略不僅讓學(xué)生的思考得以具象化和流動(dòng)化，還簡(jiǎn)化了他們吸收知識(shí)的難度.通過(guò)這種方式，不僅充分發(fā)揮了學(xué)生的主體性，也有助于他們將日常生活中的問(wèn)題簡(jiǎn)化，提取并精煉出具體數(shù)學(xué)模型.此外，還加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)這些模型的理解與把握，并推動(dòng)了他們的模型構(gòu)建意識(shí)的形成和發(fā)展.

例如，當(dāng)講解“雞兔同籠\"問(wèn)題時(shí)，教師在協(xié)助學(xué)生把現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)題目之后，應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)親手繪制圖形、排列數(shù)據(jù)表等可視化的方式進(jìn)行互動(dòng)探究.具體操作中，學(xué)生可以先畫8個(gè)圓圈代表8個(gè)頭，若假設(shè)全為兔子，則在每個(gè)圓圈下方畫出4條線表示兔子的4只腳，此時(shí)總腳數(shù)為32只.對(duì)比題目給定的26只腳，發(fā)現(xiàn)多出6只.根據(jù)生活常識(shí)，雞比兔少2只腳，因此需要將其中3個(gè)“兔子頭\"下的腳數(shù)各減少2只（即改為雞），最終得出兔子5只、雞3只的結(jié)論.通過(guò)這種圖形與數(shù)字結(jié)合的方式，學(xué)生能直觀理解數(shù)量關(guān)系，在腦海中形成清晰的視覺化模型，進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律.這一過(guò)程幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到，解題的關(guān)鍵在于先建立假設(shè)，再通過(guò)對(duì)比假設(shè)與實(shí)際數(shù)據(jù)的差異進(jìn)行調(diào)整，最終將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.這樣的方法既培養(yǎng)了抽象思維，又讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)建模的核心思想，

3思辨互動(dòng)與歸納，具體模型一般化

弗賴登塔爾著重指出：“掌握數(shù)學(xué)知識(shí)就需借助數(shù)學(xué)所特有的語(yǔ)言，利用它獨(dú)有的標(biāo)記、詞語(yǔ)、語(yǔ)法結(jié)構(gòu)與慣用語(yǔ)去進(jìn)行交流，并通過(guò)這種方式來(lái)理解世界.”因此，學(xué)生在研究數(shù)學(xué)模型時(shí)不宜止步于表面，停滯在特定的模型層面.教師應(yīng)采用諸如提出問(wèn)題、互動(dòng)等多種教學(xué)策略，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行更為深入的思索和交流，在解答疑問(wèn)、辯駁等環(huán)節(jié)中，逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)模型的根本屬性，進(jìn)而總結(jié)出應(yīng)用范圍更廣泛的通用數(shù)學(xué)模型.例如，在構(gòu)建了明確的數(shù)學(xué)模型之后，教師可以提出問(wèn)題，如“依據(jù)什么得出了結(jié)果”“了解了哪些信息能夠推算出哪些結(jié)論”.這些條理清晰、言簡(jiǎn)意賅的問(wèn)題，能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深層次的思考，梳理和優(yōu)化思維過(guò)程，掌握核心要義，進(jìn)而總結(jié)并提煉出普遍性的規(guī)律.此外，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生盡力解說(shuō)數(shù)學(xué)模型所代表的意義，如詢問(wèn)\"這一環(huán)節(jié)象征著什么？它們彼此是如何相互聯(lián)系的”在解答問(wèn)題的過(guò)程里，學(xué)生將具體模型進(jìn)行了深化與抽象化.此做法不僅將先前具體的辯論拓展至普遍層面，引導(dǎo)學(xué)生由具體知識(shí)走向抽象認(rèn)知，在明晰知識(shí)間的內(nèi)在邏輯后把握其核心要義，理解數(shù)學(xué)模型；還能借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言，輔助學(xué)生將內(nèi)在的數(shù)學(xué)思維具象化，推動(dòng)數(shù)學(xué)模型的規(guī)律性演化.

以\"雞兔同籠”問(wèn)題為例，學(xué)生在前期階段通過(guò)構(gòu)建表格、繪制圖解等方式探索了條件設(shè)置的過(guò)程逐步建立起對(duì)數(shù)學(xué)模型的基本理解.隨后，教師可以借助提問(wèn)策略，促使學(xué)生更深入地思考“在比較列表法、圖形法和公式法這三種解題方法時(shí)，你有何發(fā)現(xiàn)？它們之間存在哪些相似之處”當(dāng)學(xué)生深入思考問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)該指引他們回顧每一種求解方法的邏輯路徑和要點(diǎn)，進(jìn)而展開剖析和辨別.通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生能夠洞察其中的根本原理是一致的，即都遵循著“假設(shè)一比較一調(diào)整一解答”的思維模式，將題目的兩個(gè)未知數(shù)視為一個(gè)整體進(jìn)行假設(shè)，在假設(shè)值與實(shí)際值的對(duì)比中得出正確答案.教師借助提出問(wèn)題的手段激發(fā)學(xué)生深思熟慮，進(jìn)而引導(dǎo)他們作出總結(jié)和抽象，使得特定模型得以泛化，從而有助于提升他們對(duì)模型的認(rèn)知，

4再創(chuàng)情境用模型，數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱\"課程標(biāo)準(zhǔn)\"強(qiáng)調(diào)了建模意識(shí)，其核心是初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型的普遍適用性.將數(shù)學(xué)模型具體化的目標(biāo)是指導(dǎo)學(xué)生在生活中有意識(shí)地運(yùn)用這些模型去解決實(shí)際問(wèn)題和闡釋生活現(xiàn)象，以便讓數(shù)學(xué)模型從理論走向生活實(shí)踐.在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)模型不僅能夠解答單一問(wèn)題，還能解決一系列相關(guān)問(wèn)題，開始認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的通用性及重要性.這種認(rèn)知過(guò)程增強(qiáng)了他們的模型意識(shí).

數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象化、量化.[3教師在輔助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型之后，還需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)將所學(xué)應(yīng)用到實(shí)際情境中，讓學(xué)生在運(yùn)用這些模型應(yīng)對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不僅體會(huì)到數(shù)學(xué)模型作為解題工具的抽象本質(zhì)和歸納要義，還認(rèn)識(shí)到它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)與抽象概念之間架設(shè)溝通橋梁的重要作用和深遠(yuǎn)意義.因此，當(dāng)教師從具體情況中提煉出數(shù)學(xué)模型之后，還需要設(shè)計(jì)出與模型相匹配的各種應(yīng)用情境，并且在這些情境的構(gòu)思與展示中也要呈現(xiàn)出逐步遞增的難度，如由淺入深，由單一問(wèn)題到多元綜合問(wèn)題.理想情況下，應(yīng)該構(gòu)思出針對(duì)該數(shù)學(xué)模型的多樣化習(xí)題，如“多題一解”“一題多變”“正例反例”等練習(xí).倘若學(xué)生想利用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，必須實(shí)施聯(lián)結(jié)思維、提取問(wèn)題本質(zhì)、構(gòu)筑相應(yīng)聯(lián)結(jié).通過(guò)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的實(shí)踐，能夠幫助學(xué)生積累相關(guān)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生能夠在不同視角的分析對(duì)比中掌握數(shù)學(xué)模型的核心要素，深化對(duì)模型運(yùn)用的理解，進(jìn)而有利于模型的有效轉(zhuǎn)化.同時(shí)，在運(yùn)用環(huán)節(jié)中能夠理解數(shù)學(xué)模型的實(shí)際內(nèi)涵，加深對(duì)數(shù)學(xué)模型實(shí)際應(yīng)用的認(rèn)知，由此體會(huì)到數(shù)學(xué)模型在多領(lǐng)域的重要性，提升學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的信心，并培養(yǎng)出對(duì)模型的敏感度.

例如，在“植樹問(wèn)題\"的教學(xué)中，學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)，已經(jīng)通過(guò)將數(shù)字與形狀相結(jié)合、相互討論交流等手段，發(fā)現(xiàn)了植樹問(wèn)題的普遍規(guī)律，并總結(jié)出了適用于不同道路長(zhǎng)度和種植間距的通用植樹方案.隨后，教師需構(gòu)建多樣化的實(shí)際情境，引導(dǎo)學(xué)生巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)模型來(lái)解題，深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，并體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的普遍應(yīng)用價(jià)值.例如，在日常生活中遇到的排隊(duì)等候問(wèn)題、路燈間距設(shè)置問(wèn)題、建筑物層數(shù)問(wèn)題、鐘聲間隔問(wèn)題等.在運(yùn)用植樹模型處理各種問(wèn)題時(shí)，學(xué)生深刻領(lǐng)悟到，即便這些問(wèn)題呈現(xiàn)出截然不同的情境，但依然能夠在其中辨識(shí)出“物體”與“間隔\"的對(duì)應(yīng)關(guān)系，核心在于掌握兩者間的相互關(guān)系.在將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實(shí)際情境的實(shí)踐中，學(xué)生能夠全面理解植樹問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而加深對(duì)該模型的認(rèn)知，領(lǐng)悟其解題范圍的廣泛適用性，由此增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知深度，

在實(shí)施以“實(shí)用數(shù)學(xué)教學(xué)”為核心的小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識(shí)培養(yǎng)課程中，四個(gè)環(huán)節(jié)互相牽連、逐級(jí)深化.學(xué)生在這一系列活動(dòng)中，完成了從現(xiàn)實(shí)情境逐步過(guò)渡到抽象概念層面的完整數(shù)學(xué)建模過(guò)程.概括來(lái)講即是將實(shí)際對(duì)象抽象成數(shù)學(xué)模型，然后把這些數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于真實(shí)世界中.在整個(gè)學(xué)習(xí)旅程中，學(xué)生逐漸加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的直觀理解，深化對(duì)模型的知識(shí)掌握，并領(lǐng)悟到模型的廣泛應(yīng)用價(jià)值，逐步建立起對(duì)模型的系統(tǒng)認(rèn)識(shí).很明顯，指導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)旅程，實(shí)際上就是構(gòu)建他們的數(shù)學(xué)模型觀念.

在\"現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育\"理念指導(dǎo)下，小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識(shí)的培育過(guò)程涵蓋教學(xué)的各個(gè)層面，這一點(diǎn)具體表現(xiàn)為教學(xué)準(zhǔn)備的三個(gè)關(guān)鍵要素：教材準(zhǔn)備、學(xué)生情況準(zhǔn)備以及教學(xué)方法準(zhǔn)備，這三項(xiàng)準(zhǔn)備合稱為“三備”.其中，教材準(zhǔn)備是教學(xué)準(zhǔn)備的首要步驟，其目標(biāo)是保證教學(xué)內(nèi)容的精確性和有序性；只有了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況才能使教學(xué)更符合學(xué)生的實(shí)際需求，突出學(xué)生的主體地位；要想實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，還需要準(zhǔn)備好教學(xué)方法，這包括“教法\"和“學(xué)法”，對(duì)于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)具有重要作用，是決定教學(xué)成敗的重要因素.教學(xué)準(zhǔn)備是確保教師教學(xué)流程順暢和實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵因素.同時(shí)，學(xué)習(xí)活動(dòng)在整個(gè)教學(xué)流程中占據(jù)了核心地位，也是塑造學(xué)生模型思維的重要步驟.這些都會(huì)直接決定學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)模型的理解和掌握，并且還會(huì)決定他們能否實(shí)現(xiàn)模型思維能力的核心目標(biāo).因此，從理論角度來(lái)看，這些步驟的安排是有一定的次序的，即前面的步驟構(gòu)成了最后一步順利實(shí)施的關(guān)鍵基礎(chǔ)和先決條件，然而，每一步卻又是獨(dú)一無(wú)二的，并且具備深刻的影響，

5結(jié)語(yǔ)

模型意識(shí)是數(shù)學(xué)基本技能的重要體現(xiàn)，它的培養(yǎng)不僅可以為初中階段的模型概念學(xué)習(xí)打下穩(wěn)固的基礎(chǔ)，更對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有關(guān)鍵作用.盡管如此，由于課程標(biāo)準(zhǔn)中新增了模型意識(shí)這一內(nèi)容要求，并且現(xiàn)實(shí)中的教學(xué)問(wèn)題也是存在的，教師仍需要對(duì)模型意識(shí)的相關(guān)教學(xué)進(jìn)行深人的探討和研究.因此，應(yīng)從實(shí)際情況出發(fā)，探討“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育”的理論含義，并且提供一系列培育小學(xué)生的數(shù)學(xué)模型認(rèn)知的教育方法和教學(xué)建議.這些研究成果將為一線教師教學(xué)提供有價(jià)值的參考.