中圖分類號：O156.4 文獻標志碼：A

A Study on a Class of Classical Diophantine Inequality Problems with Prime Variable Mixed Powers

LI Meng （College of Mathematics and Statistics， North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 45O046，China）

Abstract：In this paper，the Davenport-Heilbronn method was used to prove the exceptional set problem of the mixed power variable Diophantine inequality with exponents 2，2，3，3，4 4.Letλ ¹ ， λ₂，…，λ₆ be non-zero real numbers，not all negative， δgt;0 . Then for any εgt;0 and z∈V ， ，the number of v for which the inequality +λ₆p₆⁴-v|-δ has no prime solutions ρ₁，ρ₂，…，ρ₆ is at most ：

Key words：Diophantine inequality; prime;Davenport-Heilbronn method; exceptional set

0引言

在數論領域，丟番圖逼近和素數論是兩個重要的研究方向，很多解析數論學者對此進行深入研究并取得相應成果.1996年，BRUDERNJ等[]首先研究了素變數雙線型的例外集問題.蔡迎春[2]和王玉超[3]對此做了進一步的改進.2001年，COOKRJ等[4研究了二次素變數丟番圖不等式的例外集問題.HARMAN G^[5] 對此做了進一步改進.近些年來，COOKKJ[，LIW P等[7]，李偉平等[8]和MUQW等[9]還研究證明了一些有關素變數混合次冪的相關問題.為了便于研究，首先引入一個良好間隔的定義.如果存在正常數 ∣cgt;0 ，使得對 V 中任意兩個不相等的正實數u，v ，都有 |u-v|gt;c ，遞增的正實數序列 V 稱為具有良好間隔的序列.

設 λ₁，λ₂，…，λ₆ 為不全為負的非零實數，λ₁/λ₂ 是代數數和無理數， V 是具有良好間隔的序列， δgt;0 .設 ε（V，X，δ） 表示使素變數不等式∣λ₁?₁²+λ₂?₂²+λ₃?₃³+λ₄?₄³+λ₅?₅⁴+λ₆?₆⁴-v∣ -δ 無素數解 ρ₁°₂…，ρ₆ 的 v∈V 且 v?X 的集合．對于任意 εgt;0 ，令 E（V，X，δ）= 一 $＼textbf { ＼^ { ＼varepsilon } } （ V ， X ， ＼delta ） ＼ |$ ，當 λ₁/λ₂ 是代數數和無理數時，2022 年，劉華峰等[10]證明了 E（V，X，δ）?

在此基礎上，本文主要利用KUMCHEVAV^[11] 處理余區(qū)間的思路，結合文獻[12]中的方法，進一步改進了結果，得到以下定理.

定理1設 λ₁，λ₂，…，λ₆ 為不全為負的非零實數， λ₁/λ₂ 是代數數和無理數， V 是具有良好間隔的序列， ，那么對于任意的 X?1 和εgt;0 ，有

定理2 設 λ₁，λ₂，…，λ₆ 為不全為負的非零實數， λ₁/λ₂ 為無理數， V 是具有良好間隔的序列， 那么對任意 εgt;0 ，存在一個序列 X_j ∞ ，滿足

此外，如果無理數 λ₁/λ₂ 的有理逼近分數序列的分母 q_j 滿足

q_j+1^1-ω?q_j，

其中 ω∈{0，1） ，則對任意 X?1 和 εgt;0 ，有

其中

1符號和方法概要

本文中的 Σ_P 有或沒有下標都表示素數，字母h 表示整數， δ 表示正常數， O 是Landau符號， ? 和 ? 是Vinogradov符號，其中 Landau和Vinogradov符號中的常數僅僅依賴于 λ₁，…，λ₆ ，ε 表示任意小的正實數，在不同的位置取值不同.記

首先，遵循Davenport和 Heilbronn對Hardy-Littlewood圓法的修改，假設 X 是一充分大的正數， 0lt;τlt;1 ，令函數

其中

由文獻[2]易知

K_τ（α）?min（τ²，∣α∣^-2），

f（x）=max（0，τ-|x|）.

設區(qū)間

對于 j=1，2;k=3，4;l=5，6 ，定義

為方便起見，對于任意可測量子集 X?R ，設

F（v，X;X）=

S₃（λ₃α）S₃（λ₄α）S₄（λ₅α）

由式（2）易知

τ-|λ₁p₁²+λ₂p₂²+

其中 N（v，X） 表示不等式

的素數解 ρ₁，…，ρ₆ 的 υ 的個數.

為了估計式（6）左邊的積分，將實數區(qū)間，劃分為3部分：

M={α：∣α∣??}，

m={α：?lt;|α|?ξ}，t={α：|α|gt;ξ} 分別稱之為主區(qū)間、余區(qū)間和平凡區(qū)間，其中 ?= .即

2 預備引理

引理 1^[13] 設 k?1 是一實數，對任意固定實數 A?6 ，有

引理 2^[1] 設 ，若∣S₂（λ₂α）∣gt;Z₂ ，則存在互素的兩個整數 a₂，q₂ ，滿足

引理 3^[14] （204 設 ，若∣S₃（λ₃α）∣gt;Z₃ ，存在兩個互素整數 a₃?q₃ 滿足

引理 4^[15] （204號 設 α 是實數，存在整數 a，q?1 滿足

（a，q）=1，∣qα-a∣-1.

對于任意實數 εgt;0 ，正整數 k?2 ，有

推論1 設 ，有

證明 在式（1）中，取 q=[|λα|^-1] ， a=1 滿足 ∣qλα-a∣-1 .此時 ，由引理4及 S₄（λα） 的定義知， ∣S₄（λα）∣? ，證畢.

引理 5^[13] 對于任意正整數 m，1?m?k ，2?k?4 ，有

引理6[17] 對于任意的 εgt;0 ，有

引理7 設 λ₃ 和 λ₄ 是非零常數， ?₃ 和 ?₄ 是素數， α₃ 和 q₃ 是整數， ，定義

當 l=3，4 時，有

證明 利用文獻[17]中的方法，通過變量替換，證明 λ₃=1 的情形.設 ，定義區(qū)間

定義函數

V₃（α） 是定義在 α∈（Q₃X^-1，1+Q₃X^-1] ，周期為1的一個分段函數，其中 （a₃，q₃）=1，1?a₃? q₃?Q₃ .令 β₃^′ 是所有區(qū)間 β₃^′（q₃?，a₃） 的并集，在1?q₃?Q₃，a₃∈Z 且 （a₃，q₃）=1 條件下， β₃^*= β₃^′∪z 是所有區(qū)間 β₃^′（q₃，a₃） 的并集，從而有

β（Z₃）?β₃^*.

當 α∈β（Z₃） ，由引理3和式（8），有

其中

v=λ₃p₃³-λ₄p₄³.

由文獻[17]有

得

注意當 X∞ 時， .由素數定理有

將式（10）和式（11）代入式（9），引理得證.

3 主區(qū)間

在這一部分中，將主區(qū)間 M 進一步劃分為兩個小區(qū)間 M_i 和 M₂ ，分別定義為

3.1 區(qū)間 M₁

在這一小節(jié)中，先給出在主區(qū)間 M₁ 上積分的下界.式（5）通過三角積分的一階導數估計得

引理8

證明 易知

其中

J₁=

I₃（λ₄α）I₄（λ₅α）I₄（λ₆α）K_τ（α）e（-vα）dα;

J₆=

下面將逐一證明 和 J_j

首先，由式（2）和式（12）得

由文獻[10]知

由式（15）和（16）得

然后接著處理 J_j，1?j?6 ，由Euler求和公式有

∣U_k（α）-I_k（α）∣?1+∣α∣X，k=2，3，4.

由式（2）有

由Cauchy's不等式，引理1和式（12）有

由式（12）和（18）有

由式（19）－（21）有

接著計算 J₂ ，由式（2）有

根據Cauchys不等式，引理1和式（12）知

對于 B₂ ，由式（12）和（18）有

由式（23）—（25），有

同理得

聯(lián)立式（17），（22），（26）和（27），引理得證.

3.2 區(qū)間 M₂

引理9

證明 根據Cauchy's不等式和 S₂（α） 的平凡估計，引理1和推論1，有

引理得證.

4平凡區(qū)間 t

這一部分中，將完成對平凡區(qū)間 Ψ_tΨ_Ψ 的積分估計.

引理10

證明 由 Cauchy's不等式及 S₃（λ_kα） ，S₄（λ_lα） 的平凡估計，其中 k=3，4，l=5，6 ，可得

由式 （2），S₂（λ₁α） 的周期性和引理5，有

同理可證

結合式（31）－（33）有

引理得證.

5 余區(qū)間 m

選取合適的復數 （204 ，由引理 8-10 可得

其中， 由Cauchy-Schwarz不等式得

對于余區(qū)間來說，將 Ψ_m 進行劃分，設

引理11[18]

引理12

證明 對于 m^′ 的定義， m₁ 和 m₂ 的情形類似，這里只給出 m₂ 的證明，根據Cauchy's不等式及引理6和引理7以及 S₄（λ_kα），k=5，6 的平凡估計，有

引理得證.

引理13

證明 利用文獻[5]的方法，將區(qū)間 m^* 分為互不相交的子集 S（Z_？，Z₃，y） ，

S（Z_：，Z_：，y）={α∈m^*：

Z₂?∣S₂（λ₂α）∣lt;2Z₂，

其中 為正整數，那么由引理2和3知，存在兩對互素整數 （a₂，q₂），（a₃，q₃） ，滿足 a₁a₂≠ 0，

S（Z₂，Z₃，y） 中的 α 滿足 ，有

進一步，把集合 S（Z₂，Z₃，y） 分為一些更小的集合 S（Z₂，Z₃，y，Q₁，Q₂） ，其中 Q₁?q₂lt; ，有

對于 和式（37），有

?RX^εmin

設 |a₃q₂| 取 R 個不同的值，由鴿巢原理和最佳有理逼近原理知 由除數函數經典的上界估計知，每一個 |a₃q₂| 最多對應 ?X^ε ，可知集合 S（Z_？，Z₃，y，Q₁，Q₂） 的長度不超過

有 ∣a₃q₂∣?∣q₂q₃α∣?yQ₁Q₂

下面計算 S（Z₂，Z₃，y，Q₁，Q₂） 上的積分.由式 （2），S₃（λα） 和 S₄（λα） 的平凡估計知

接著，用二分法對 Z₂，Z₃，y，Q₁，Q₂ 所有可能的取值求和得

6 定理2的證明

由著名的Roth定理知，當 λ₁/λ₂ 是代數數和無理數時，ω取任意充分小的正數和x= ，定理1由定理2易得，因此下面只需證明定理2.

首先證明定理2的第一部分.設 τ=X^-δ .由式（35），引理12和引理13得

又由于 有 ，必有

顯然存在一個無窮序列 ，從而有一個無窮序列 ，使得

定理2的第一部分得證.

下面證明定理2的第二部分.把 ρ 替換為 χ ，其中 x 由定理2中給出，由引理12和13的證明過程可知，

將引理11和12代入式（34）得

由定理的條件 x，有τxx+ ，必有

E（V，X，δ）?

定理2的第二部分證明完畢.

7結語

本文探討了混合次冪素變數丟番圖不等式問題，運用Davenport-Heilbronn方法、Cauchy's不等式及積分的估計等，得到了較為精確的余區(qū)間估計，進而有效確定了該問題的例外集上界，不僅推廣了經典Davenport-Heilbronn方法的應用范圍，也為研究更多的混合次冪丟番圖問題提供新思路，未來可考慮將該方法推廣到更高維的冪次組合即主區(qū)間上的積分為主項，余區(qū)間和平凡區(qū)間上的積分為余項，從而得到更加精確的結果.

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[責任編輯：趙慧霞]