中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在高中物理教學(xué)中，天體運(yùn)動(dòng)是一個(gè)重要的課題，其涉及物體在萬有引力作用下圍繞其他天體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).這些運(yùn)動(dòng)問題不僅涉及復(fù)雜的物理概念，如向心力、角速度、線速度等，還需要學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行計(jì)算.因此，理解和掌握天體運(yùn)動(dòng)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)物理的重要內(nèi)容.

1萬有引力定律內(nèi)涵及其應(yīng)用

萬有引力定律是牛頓力學(xué)體系中的一個(gè)重要定律，描述了任意兩個(gè)物體之間存在的引力，這個(gè)引力大小與兩物體質(zhì)量的乘積成正比，與兩物體間距離的平方成反比.這一定律在物理學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，不僅解釋了行星、衛(wèi)星等天體之間的相互吸引現(xiàn)象，也為地球上的物體提供了一個(gè)相對(duì)準(zhǔn)確的引力場(chǎng)模型.在實(shí)際應(yīng)用中，萬有引力定律通常用于計(jì)算天體間的引力作用，以及預(yù)測(cè)天體運(yùn)動(dòng)軌跡.在天文學(xué)中，萬有引力定律是預(yù)測(cè)行星和衛(wèi)星軌道、計(jì)算天體運(yùn)行所需燃料等問題的關(guān)鍵.

2 高中物理教學(xué)中常見天體運(yùn)動(dòng)問題及其解題方法

2.1 圓周運(yùn)動(dòng)問題

首先需要明確線速度與角速度的關(guān)系，即v=ω?r ，其中， r 代表圓周運(yùn)動(dòng)的半徑.這個(gè)關(guān)系的重點(diǎn)在于理解線速度與角速度的定義，并能夠在解決問題時(shí)正確應(yīng)用.同時(shí)也要注意單位換算，線速度的單位是“米/秒（ （m/s ）”，角速度的單位是“弧度/秒（rad/s）”.向心力與質(zhì)量、速度的關(guān)系也是教學(xué)重點(diǎn)，公式為F=mv2 ，表明向心力與天體的質(zhì)量和線速度的平方成正比，與半徑成反比[1].

例1現(xiàn)有一衛(wèi)星繞其行星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知該行星表面重力加速度為 ，行星的質(zhì)量約為衛(wèi)星質(zhì)量的64倍，行星的半徑 R_☉ 約為衛(wèi)星半徑R_L 的3.6倍，行星與衛(wèi)星之間的距離 r 與行星的半徑 R_☉ 之比為 $＼frac { r } { R _ { ☉ } } = 6 0$ ，設(shè)衛(wèi)星表面重力加速度為g_P ，求衛(wèi)星表面重力加速度與行星表面重力加速度之比.

解析 對(duì)于衛(wèi)星表面，有 =g衛(wèi)，而行星表面則有 將兩式聯(lián)立，可得 即

例2假設(shè)一顆行星繞其恒星公轉(zhuǎn)，已知該行星公轉(zhuǎn)周期為 T=6×10⁷ s，公轉(zhuǎn)軌道半徑為r=4.5×10¹¹m ，求該行星的公轉(zhuǎn)線速度和角速度.

解析 將數(shù)據(jù)代人線速度公式 可得 角速度ω 公式為 將周期 T 代人，可得

2.2 雙星系統(tǒng)問題

解答雙星系統(tǒng)問題的關(guān)鍵在于理解兩顆天體之間的相互作用力，即天體之間的萬有引力提供了各自做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.在這個(gè)問題中，學(xué)生需要掌握的重點(diǎn)是如何利用萬有引力公式和向心力公式來求解雙星系統(tǒng)中天體的質(zhì)量、軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期等參數(shù).易錯(cuò)點(diǎn)主要包括：（1）學(xué)生在建立方程時(shí)，容易忽略兩顆天體的質(zhì)量比和軌道半徑比的關(guān)系；（2）求解過程中，未能正確地將兩顆天體的向心力等式聯(lián)立起來；（3）對(duì)于角速度和線速度的計(jì)算，學(xué)生可能會(huì)混淆兩顆天體的參數(shù).具體來說，雙星系統(tǒng)問題通常要求學(xué)生根據(jù)兩顆天體的觀測(cè)數(shù)據(jù)（如公轉(zhuǎn)周期和視向速度）來求解其質(zhì)量等.在解題時(shí)，學(xué)生需要首先設(shè)定兩顆天體的質(zhì)量分別為 m₁ 和 m₂ ，軌道半徑分別為 r₁ 和 r₂ ，然后根據(jù)萬有引力公式 F Gm1m2和向心力公式F=mω2r，建立方程組.由于兩顆天體繞共同的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，其角速度相等，且m₁?r₁=m₂?r₂ .通過解這個(gè)方程組，學(xué)生可以得到恒星的質(zhì)量、軌道半徑等參數(shù).

例3已知某雙星系統(tǒng)中兩個(gè)恒星的質(zhì)量分別為m₁ 和 m₂ ，之間相距為 L ，求這兩個(gè)恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)周期

解析 根據(jù)題意可知，這兩個(gè)恒星的向心力由之間的萬有引力提供，且其周期相同（角速度相同），則可列出如下關(guān)系式：

將三式聯(lián)立，可得

2.3 天體運(yùn)動(dòng)變軌問題

天體運(yùn)動(dòng)變軌問題是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的課題，涉及天體從一條軌道轉(zhuǎn)移到另一條軌道的動(dòng)力學(xué)過程.這類問題通常要求學(xué)生運(yùn)用能量守恒定律、萬有引力定律來分析天體在變軌前后的狀態(tài)變化.學(xué)生在解決變軌問題時(shí)，需要掌握的重點(diǎn)是如何計(jì)算天體在變軌過程中所需的能量變化，以及如何通過改變速度的大小和方向來實(shí)現(xiàn)軌道的轉(zhuǎn)換.具體來說，天體運(yùn)動(dòng)變軌問題可能要求學(xué)生計(jì)算一個(gè)衛(wèi)星從低軌道轉(zhuǎn)移到高軌道所需的額外能量，或者是從高軌道降低到低軌道時(shí)釋放的能量.在解題過程中，學(xué)生首先需要確定天體在原始軌道上的動(dòng)能和引力勢(shì)能，然后計(jì)算目標(biāo)軌道上的相應(yīng)能量.通過比較這兩個(gè)狀態(tài)下的總機(jī)械能，學(xué)生可以確定變軌過程中需要添加或釋放的能量.

例4一顆人造衛(wèi)星在某一圓形軌道繞地球運(yùn)行，其軌道半徑為 r₁=6.67×10⁶m ，現(xiàn)需要將該人造衛(wèi)星轉(zhuǎn)移到一條新的圓形軌道，其軌道半徑 r₂ 為1.5×10⁷m. 已知衛(wèi)星的質(zhì)量 ?_m 為 1 000kg ，地球質(zhì)量 M 為 5.97×10²⁴kg ，萬有引力常數(shù) G 取 6.674×10^-11N ·m²/kg² ，求衛(wèi)星在變軌過程中需要增加的動(dòng)能.

解析 由題意可知，該人造衛(wèi)星在原軌道上的動(dòng)能 E_k1 和引力勢(shì)能 E_?P1 分別為： 由于該人造衛(wèi)星在圓形軌道上，其向心力由地球引力提供，因此可以得出 將其代入動(dòng)能公式中，可得 （204號(hào) 同理，人造衛(wèi)星

在目標(biāo)軌道上的動(dòng)能 E_k2 和引力勢(shì)能 E_?P2 分別為

，人造衛(wèi)星在目標(biāo)軌道上

的速度為 將 v₂² 代人動(dòng)能公式中，可得 E_k2

（202所以，變軌過程中需要增加的動(dòng)能

，即

（20將已知數(shù)值代人公式，計(jì)算得到 ΔE_k

τ=5.944×10¹⁰J. （20號(hào)

2.4 地球同步衛(wèi)星問題

地球同步衛(wèi)星問題涉及衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的周期、軌道半徑、線速度和角速度等概念.地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)是其軌道周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即24小時(shí)，這使得衛(wèi)星相對(duì)于地球表面保持靜止.學(xué)生在解決這類問題時(shí)，需要掌握的重點(diǎn)是如何運(yùn)用開普勒定律和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式來求解衛(wèi)星的相關(guān)參數(shù).易錯(cuò)點(diǎn)包括對(duì)同步軌道概念的理解不準(zhǔn)確，以及在計(jì)算過程中對(duì)周期、軌道半徑和速度的單位換算錯(cuò)誤.具體來說，地球同步衛(wèi)星問題通常要求學(xué)生計(jì)算衛(wèi)星的軌道半徑、線速度或角速度.在解題時(shí)，學(xué)生首先需要根據(jù)同步衛(wèi)星的定義，確定其軌道周期T 與地球自轉(zhuǎn)周期相等.接著，利用開普勒第三定律，即軌道半徑的立方與周期的平方成正比來求解軌道半徑.在計(jì)算過程中，學(xué)生需要將周期 T 單位轉(zhuǎn)換為秒，并將軌道半徑的單位轉(zhuǎn)換為米.求得軌道半徑后，可以由公式 2來計(jì)算衛(wèi)星的線速度，或者由公式 來計(jì)算角速度.

例5一顆地球同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)行，該衛(wèi)星相對(duì)于地球表面保持靜止.已知地球同步衛(wèi)星的軌道周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即 T=24h. 地球的質(zhì)量為 M=5.97×10²⁴kg ，萬有引力常數(shù) G 為6.674×10^-11N?m²/kg². 求該地球同步衛(wèi)星的軌道半徑

解析 根據(jù)萬有引力提供向心力得 即 將已知數(shù)值代人方程解得r≈4.22×10⁷m. （20

2.5 宇宙速度問題

宇宙速度通常分為第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度.學(xué)生在解決這類問題時(shí)，需要掌握的重點(diǎn)是如何運(yùn)用萬有引力定律和機(jī)械能守恒定律來計(jì)算這些速度.易錯(cuò)點(diǎn)包括對(duì)宇宙速度概念的理解不清晰，以及在計(jì)算過程中對(duì)速度和能量的單位換算錯(cuò)誤.具體來說，第一宇宙速度是指物體在地球表面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的速度，物體的向心力等于地球?qū)υ撐矬w的引力；第二宇宙速度是指物體從地球表面逃逸到無限遠(yuǎn)處，不再返回地球所需的最小發(fā)射速度；第三宇宙速度是指物體從地球表面逃逸到太陽系外，脫離太陽引力束縛所需的最小發(fā)射速度.在解題時(shí)，學(xué)生首先需要明確每種宇宙速度的定義和計(jì)算方法，然后利用萬有引力定律 和機(jī)械能守恒定律來求解.

例6根據(jù)下列已知條件，計(jì)算某天體的第一宇宙速度.已知該天體的質(zhì)量 M 為 3.78×10²⁸kg ，天體半徑為 R=8.547×10⁸m ，萬有引力常數(shù) G 為6.674×10^-11N?m²/kg².

解析 第一宇宙速度 v₁ 的計(jì)算公式為 v₁ 將數(shù)值代人公式中計(jì)算得到 v₁≈1.7×10³m/s.

3 結(jié)束語

本文通過對(duì)高中物理教學(xué)中萬有引力作用下天體運(yùn)動(dòng)問題的探討，旨在幫助學(xué)生更好地理解和掌握天體運(yùn)動(dòng)的基本原理.分析了常見的天體運(yùn)動(dòng)問題，總結(jié)了學(xué)生需要掌握的關(guān)鍵概念和解題方法，并提供了一些具體的例題，以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用相關(guān)物理定律.

參考文獻(xiàn)：

[1］王震海.天體自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)問題求解[J].高中數(shù)理化，2024，17（06）：5-6.

[責(zé)任編輯：李璟]