中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6148（2025）6-0069-3

2024年某高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)物理試卷中單選題第6題是一道關(guān)于拋體運(yùn)動(dòng)的試題，該題的答案解析引發(fā)了筆者的深入思考。

1 試題再現(xiàn)

原題如圖1所示，某同學(xué)在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)內(nèi)將足球踢出有一定厚度的圍墻外，場(chǎng)外路人將足球從水平地面上某點(diǎn)正對(duì)圍墻踢回場(chǎng)內(nèi)，人恰好對(duì)其做功最少，球的初速度方向與水平地面成 θ 角，不計(jì)空氣阻力。下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.θgt;45^° B.θ=45^° C.θlt;45^° D.0可取小于 90^° 的任意值

原題解析如圖2所示，當(dāng)軌跡在圍墻上表面 |AB| 上方的軌跡跨過(guò)的水平距離必須大于等于圍墻寬度 AB ，足球才能越過(guò)墻體。

足球在 AB 段所在水平面的射程表達(dá)式為

可證明當(dāng)軌跡恰好經(jīng)過(guò) _A，B 兩點(diǎn)時(shí) x 最小，且當(dāng) α=45^° 時(shí) v_A 取得最小值。從起點(diǎn) o 到 A ，由動(dòng)能定理可知，球在 o 點(diǎn)速度 v₀ 有最小值，且由于 v_A 與水平面夾角 α=45^° ，則 v₀ 與水平地面夾角 θ 大于 45^° ，故正確答案是A選項(xiàng)。

對(duì)于這個(gè)解析，結(jié)合題目中給出的信息，筆者認(rèn)為有不妥之處。

2 對(duì)于原題解析的疑問(wèn)和看法

原題描述足球是從水平地面上某點(diǎn)正對(duì)圍墻踢回場(chǎng)內(nèi)，這個(gè)某點(diǎn)到底距離圍墻有多遠(yuǎn)？圍墻本身又有多高？題目中沒(méi)有說(shuō)明。如圖3所示，可刻意把圍墻畫(huà)矮一些，足球距離圍墻遠(yuǎn)一些（甚至可以讓圍墻足夠矮，用極限法來(lái)思考）。

若按原題解析，讓軌跡同時(shí)經(jīng)過(guò) A，B 兩點(diǎn)，則從該圖可以看出， v₀ 與水平方向的夾角顯然小于 45^° ，此時(shí) v_A 與水平方向的夾角也小于 45^° ，即在這種情況下 v_A 與水平方向的夾角不可能取到 45^° ○

同理，如果 o 點(diǎn)靠圍墻足夠近，而圍墻又比較高，如圖4所示。由圖可以看出，這種情況v_A 與水平方向的夾角也不可能取到 45^° 。

所以，該題足球從 o 點(diǎn)出發(fā)恰好過(guò)圍墻的A、B 兩點(diǎn)是可以找到對(duì)應(yīng)軌跡的，但是這個(gè)軌跡經(jīng)過(guò) A 點(diǎn)時(shí)，足球在 A 點(diǎn)的速度方向與水平面的夾角不一定可以取到 45^° 。

原題的解析是先讓足球在 A 點(diǎn)速度方向與水平面的夾角為 45^° ，再來(lái)證明足球在位置 o 點(diǎn)速度方向與水平面的夾角大于 45^° ，這就造成 o 點(diǎn)必須在一個(gè)特定位置，而原題中并未說(shuō)明 o 點(diǎn)即足球初始位置在哪，這個(gè)位置是個(gè)定點(diǎn)還是動(dòng)點(diǎn)。

所以，該題如果要嚴(yán)謹(jǐn)解答是比較復(fù)雜的，需要討論兩種情況，即在墻高和厚度一定的情況下，足球離墻較遠(yuǎn)和足球離墻較近兩種情形；而原題解析中提到的情況應(yīng)該是足球在距離墻的一個(gè)特殊位置處，在該位置足球飛起經(jīng)過(guò)墻 A，B 兩點(diǎn)，在A點(diǎn)速度方向剛好為 45^° 。一旦比此特殊位置離墻近一些或遠(yuǎn)一些，都不可能使得足球在A點(diǎn)速度方向與水平面夾角達(dá)到 45^° 業(yè)

3 對(duì)于本題的深入探究

對(duì)于本題，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖龇☉?yīng)當(dāng)進(jìn)行分類討論，可以假設(shè)有一個(gè)距離墻的特殊位置 c ，足球從 c 點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)A ?，B 兩點(diǎn)，在A點(diǎn)的速度方向與水平面的夾角剛好為 45^° 。如果足球初始位置在 c 點(diǎn)左側(cè)或者右側(cè)（圖5），可討論如下。

（1）若足球位于 C 點(diǎn)右側(cè)，則足球離墻相對(duì)較近，由前文可知足球在 C 點(diǎn)出發(fā)，初速度方向與水平面的夾角已經(jīng)大于 45^° ，那么在這個(gè)比 c 點(diǎn)更靠近墻的位置想要過(guò)墻，速度方向與水平面的夾角顯然大于 45^° ，這種情況不再討論

（2）若足球位于 c 點(diǎn)左側(cè)，則足球離墻相對(duì)較遠(yuǎn)，如圖6所示。

設(shè)足球初速度為 v₀ ，與水平面的夾角為 θ ，當(dāng)足球剛好從圍墻邊沿經(jīng)過(guò)時(shí)，對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分解。

水平方向x=v₀tcosθ 豎直方向

由（1）（2）式消去 χ_t ，可得

變形得

應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)

應(yīng)用輔助角公式化簡(jiǎn)

當(dāng) 2θ-α=90^° 時(shí)，分母取最大值， v₀ 有最小值，即動(dòng)能最小，人做功最少。

得 2θ=90^°+α，θ=45^°+α/2

可知 θgt;45^°

綜上可知，足球要想越過(guò)圍墻且做功最少，初速度方向與水平面的夾角必須大于 45^° 。

4 對(duì)于本題的另解

利用拋體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)推論，若拋體在某平面內(nèi)以恒定初速度、不同的角度發(fā)射，可得到一拋物線族。如果有一條光滑曲線處處與拋物線相切，這條曲線稱為拋物線族的包絡(luò)線1，如圖7所示。

2通過(guò)證明可知，這條包絡(luò)線的方程為y=

（20 ，也是一條拋物線，具體證明過(guò)程本文不再2v₀^- 贅述。這里可以看兩個(gè)特殊的點(diǎn)，即這條包絡(luò)線與 x 軸和 y 軸的交點(diǎn)，其坐標(biāo)對(duì)應(yīng)了其在水平方向和豎直方向的最大射程。一個(gè)初速度確定的拋體運(yùn)動(dòng)，若在豎直方向有最大射程，則要求初速度方向豎直向上，即做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，最大射高2

為 ，剛好就是包絡(luò)線與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo);若在水平方向有最大射程，則要求初速度方向與水平面成 45^° 角，其最大射程為 ，剛好就是包絡(luò)線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

直接利用拋體運(yùn)動(dòng)的拋物線族的包絡(luò)線可以比較簡(jiǎn)單地解決上述問(wèn)題。拋體運(yùn)動(dòng)的拋物線族的包絡(luò)線位置和拋體運(yùn)動(dòng)物體的初速度 v₀ 有關(guān)，初速度 v₀ 越大，該拋物線族的包絡(luò)線位置越高，即在 x，y 軸上的截距越大。如圖8所示，利用Excel軟件分別繪制出初速度 v₀=10m/s 、 的拋體運(yùn)動(dòng)的拋物線族的包絡(luò)線， g 取 10m/s² 。

也可以通過(guò)改變初速度 v₀ 的大小對(duì)其拋物線族的外包絡(luò)線進(jìn)行放縮。如果足球取某一初速度，該初速度的拋物線族的外包絡(luò)線不能繞過(guò)圍墻，則表明足球無(wú)論朝哪個(gè)方向飛出都不可能越過(guò)圍墻。所以，要以最小的初速度越過(guò)圍墻就是當(dāng)外包絡(luò)線剛好過(guò)圍墻邊沿的 B 點(diǎn)，如圖9所示，此時(shí)足球運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線所示。從前面的分析可知，若拋體運(yùn)動(dòng)初速度方向與水平面成 45^° 角有最大射程，軌跡將會(huì)與包絡(luò)線正好相切于 C 點(diǎn)。但此時(shí)足球運(yùn)動(dòng)軌跡與包絡(luò)線相切于B 點(diǎn)，由此可知其初速度方向與水平面夾角必大于 45^° ，沿這條軌跡踢出足球，初速度最小，即人對(duì)足球做功最少。

5結(jié)語(yǔ)

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》規(guī)定了高考的考查載體一一情境，以此承載考查內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)考查要求[2]。本題通過(guò)設(shè)置真實(shí)問(wèn)題情境，要求學(xué)生構(gòu)建斜拋運(yùn)動(dòng)的物理模型，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)合成與分解的思想化曲為直解決實(shí)際問(wèn)題，并運(yùn)用方程、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)求該運(yùn)動(dòng)最小速度對(duì)應(yīng)的拋射角的范圍，是一道很有價(jià)值的創(chuàng)新試題。但是，在命制試題以及制訂配套答案的過(guò)程中，要考慮全面，嚴(yán)謹(jǐn)論證分析，嚴(yán)格審查，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]董慎行.拋體包絡(luò)線方程的推導(dǎo)及其應(yīng)用舉例[J].物理教師，2007，28（12）：45-46.

[2]教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M].北京：人民教育出版社，2020：7.

（欄目編輯 蔣小平）