中圖分類號：0175.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1007-2683（2025）02-0150-09

Abstract：Inordertostudytheoptimalcontrolproblemofaclassofnon-autonomousstochasticintegro-diferentialequationin Hilertspace，theexistencetheoremofmildsolutionoftheproblemisestablishedbyusingstochasticanalysis，theoriesofoperator semigroupsandSadovskifixedpointtheorem.Ontisbasis，theexistenceoftheoptialstate-controlpairisdiscussedbyostucting minimization sequences twice.

Keywords：stochasticnalysis;teoryofoperatoremigroups;ntego-diferetialequatin;Sadovskifixedpointtheorem;tial state-control pair

0 引言

最優(yōu)控制理論是數(shù)學(xué)控制理論中的一個重要概念，在控制系統(tǒng)中起著關(guān)鍵作用，它著重于研究使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法，在數(shù)學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[-4]。而脈沖微分及積微分方程在很多領(lǐng)域中也起著越來越重要的作用。近年來，脈沖微分及積微分方程受到了廣泛研究[5-8]。另外，由于確定性系統(tǒng)通常在實際生活中會受到白噪聲等隨機(jī)擾動的影響，因此，對脈沖隨機(jī)微分及積微分方程的研究是非常有必要的[9-15] 。

2020年，Rajesh等[2]利用Krasnoselskii不動點(diǎn)定理研究了如下由混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的二階脈沖隨機(jī)微分方程

mild解及最優(yōu)狀態(tài)-控制對的存在性。

由于具有非局部條件的發(fā)展方程比經(jīng)典的柯西問題更具有一般性，在實際物理問題中有更廣泛的應(yīng)用[16-19]。2021年，Yang 等[4]利用Krasnoselskii 不動點(diǎn)定理研究了下列具有非局部條件的非自治脈沖積微分方程

x（0）+g（x）=x₀

mild解及最優(yōu)狀態(tài)－控制對的存在性。

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文研究如下一類具有非瞬時脈沖的非自治隨機(jī)積微分方程

f（t，x（t），Hx（t））dt+

R（t，x（t））dw（t）

mild解及最優(yōu)狀態(tài)－控制對的存在性問題，其中狀態(tài)函數(shù) x（?） 在 H 中取值， H 中的內(nèi)積與范數(shù)分別為（?，?） 和 為一稠定閉線性算子族， .A（t） 在 H 上生成一個發(fā)展系統(tǒng) {U（t， （204s）：0?s?t?b} ，其中 D（A） 與 Ψ_t 無關(guān)。 H 為一線性有界算子，控制函數(shù) u∈U_ad，U_ad 為后文定義的可容許控制集 L₂⁰（K，H） 為適當(dāng)定義的函數(shù) （204號x（s））ds，γ_k 為一非瞬時脈沖函數(shù)，設(shè) 0=s₀lt;…lt; 為一常數(shù)。

1 預(yù)備知識

本節(jié)將介紹一些數(shù)學(xué)符號并回顧一些必要的基本概念及引理

設(shè) L（K，H） 為所有 K 到 H 的有界線性算子構(gòu)成的空間。其中 ^K，H 為實可分Hilbert空間， K，H L（K，H） 的范數(shù)均用 ·表示。設(shè) （Ω，F(xiàn)_t，{F_t}_t≥0 P ）為一完備賦流概率空間，流 {F_t}_t?0 為 F 的一列右連續(xù)單調(diào)遞增的子 σ- 代數(shù)族，并且 {F₀} 包含所有概率測度為0的集合。設(shè) Q∈L（K，K） 是由 Qe_i= λ_ie_i 定義的算子，且具有有限跡 ∞_o{λ_i}_i≥1 為一非負(fù)實數(shù)有界序列， {e_i}_i≥1 是 K 中一組完備標(biāo)準(zhǔn)正交基。設(shè) β_i（t） 是完備賦流概率空間中相互獨(dú)立的實值標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動序列，使得

設(shè) δ∈L（K，H） 并且定義如下：

若 ，則稱 δ 為 Q -Hilbert-Schmidt算子。L₂⁰（K，H） 為所有 Q -Hilbert-Schmidt算子 所構(gòu)成的空間。

引理 1^[2] （20 對于任意的 c?1 和 L₂⁰- 可預(yù)測過程 v（?） ，有下面不等式成立

特別地，當(dāng) c=1 時，有

定義1 若下列兩個條件成立：

1）U（s，s）=I，U（t，τ）U（τ，s）=U（t，s），

0?s?t?b

則稱雙參有界線性算子族 {U（t，s），0?s?t?b} 為發(fā)展系統(tǒng)。

記 。

引理 2^[4] （ 若 {U（t，s），0?s

設(shè) L²（Ω，H） 為所有強(qiáng)可測、平方可積的 H- 值隨機(jī)變量 x 所構(gòu)成的Banach空間，并賦有范數(shù) 為數(shù)學(xué)期望。

設(shè) C（J，L²（Ω，H）） ）為所有從 J 到 L²（Ω，H） 的連續(xù)映射構(gòu)成的Banach空間且滿足條件supE 的子集 L₀²（Ω，H） 定義如下：

L₀²（Ω，H）={x∈L²（Ω，H）∣x 是 F₀ －可測}。

令 PC（J，H） 為所有 F_t← 適定可測 ?^H- 值隨機(jī)過程 {x（t）：t∈J} 構(gòu)成的空間，使得 x 在 ?_t≠?_tk 處連續(xù)，在 t=t_k 處有 x（t_k^-）=x（t_k）?x（t_k⁺） 存在， k= 1，2，…，m 則 為一Banach空間并賦有范數(shù)

算子 B∈L_∞（J，L（G，H）），|B| 。為Banach空間 L_∞ ）上的范數(shù)， G 為一自反可分Hilbert空間，控制函數(shù) u∈L_F²（J，G） 在 G 中取值。L_F²（J，G） 表示所有 G- 值 －適定可測隨機(jī)過程構(gòu)成的空間，其滿足 且賦有范數(shù)

設(shè) U 為 G 中一非空有界凸閉集，集

U_ad={u∈L_F²（J，G）∣u（t）∈U，t∈J} 為可容許控制集，Bu ∈L2（J，H），u∈Uad。

令 rgt;0 為有限常數(shù)，并記

記 S（u）：={x^u∈Ω_r：x^u 是隨機(jī)系統(tǒng)（2）相應(yīng)于控制函數(shù) u∈U_ad 的mild解}且 ：u∈U_ad，x^u∈S（u）} 。

設(shè) x^u∈S（u） 是隨機(jī)系統(tǒng)（2）相應(yīng)于 u∈U_ad 的mild解，則最優(yōu)控制問題可以轉(zhuǎn)化為有限拉格朗日問題：

找到一個可容許狀態(tài)－控制對 u∈U_ad ，使得

為積分成本函數(shù)。

記 為隨機(jī)系統(tǒng)（2）相應(yīng)于控制函數(shù) u₀ Π∈U_ad 的mild解。若 滿足式（4），則 為隨機(jī)系統(tǒng)（2）一最優(yōu)狀態(tài)－控制對。

引理 3^[4] 若 U（t，s） 為一緊發(fā)展系統(tǒng)，則算子

相對緊。此外，當(dāng) n?∞ 時，若 u_n∈U_ad 弱收斂于 u ，則 。

下面介紹非緊性測度的定義及基本性質(zhì)。

設(shè) s 是Banach空間 E_?B 中的有界子集，則Hausdorff非緊性測度 β 的定義如下：

可以被半徑小于 ε 的球體覆蓋}。

引理 4^[20] （20 設(shè) S，T?E_?B 是 E_?B 中的有界子集。Hausdorff非緊性測度 β 具有如下性質(zhì)：

1）β（S）=0?S 在 E_?B 中相對緊；

2）S?T?β（S）?β（T）

， 為 s 的凸閉包;4）β（S∪T）?max{β（S），β（T）} ：

5）對 ?c∈R，β（cS）=∣c∣β（S）

6）β（S+T）?β（S）+β（T） ，其中

S+T={x∣x=y+z，y∈S，z∈T}

7）如果 是以 k 為常數(shù)的Lipschitz連續(xù)映射，則對任意有界子集 V?E_B ，有 β（Z（V）） ?kβ（V） 。

記 分別為 中有界集的Hausdorff非緊性測度。此外，對于任意有界集 B?PC（J，H） ， t∈[0，b] ，有

引理 5^[20] 若 B?E_?B 有界， E_?B 為Banach空間，則存在可數(shù)集 B₀?B ，使得 β（B）?2β（B₀） 。

引理 6^[20] （204號 若 B?C（[a₁，a₂]，E_B） 有界且等度連續(xù)，則 β（B（t）） 在 [a₁，a₂] 上連續(xù)，且有 β_c（B） β=max_{t∈[a1，a2]}β（B（t）） 。

引理 7^[20] （20號 設(shè) D={x_n}?C（[a₁，a₂]，E_B） 為 可數(shù)集，若存在函數(shù) m∈L¹（[a₁，a₂]，R⁺） ，使得對 任意的 n∈N⁺ ，幾乎處處 ，有 ，則 β（D（t）） 在 [a₁，a₂] 上是 Lebesgue可積的，并且

定義2 若 F_t －適定可測隨機(jī)過程 x∈PC（J， H^′ ）滿足以下條件：

1）對幾乎處處的 t∈[0，b]，x（t）∈H 有 路徑（左極限存在右連續(xù)）；

2）對任意 t∈[0，b] ，有

t∈?_k=1^m（s_k，t_k+1]

則稱 x（?） 為隨機(jī)系統(tǒng)（2）的mild解。

主要結(jié)果的證明基于下面的不動點(diǎn)定理

引理 8^[4] 設(shè) s 是Banach空間 X 中的一個非空子集，若對任意有界集 D?S ，滿足 α（Q（D） ）lt;α（D） ，則連續(xù)映射 稱為凝聚的。

引理9[20] （Sadovskii不動點(diǎn)定理）設(shè) X 為一Banach空間， W?X 為一有界凸閉集。若 是凝聚映射，則 Q 在 W 中至少存在一個不動點(diǎn)。

2 存在性結(jié)果

為了得到隨機(jī)系統(tǒng)（2）mild解的存在性結(jié)果，還需如下假設(shè)：

（H1） {U（t，s），0?s 滿足

1）函數(shù) h 連續(xù);

2）存在常數(shù) L_h，D_hgt;0 ，使得對于任意的 x，y∈ H ，有

E E

（H3）函數(shù) 滿足

1）f（t，?，?） 對于 t∈J 幾乎處處連續(xù)且對于 x ，y∈H×H，t 到 f（t，x，y） 是強(qiáng)可測的；

2）存在連續(xù)函數(shù) ?：J?R⁺ ，使得對于幾乎處處 t∈J ，任意 x，y∈H ，有

3）存在函數(shù) l_f∈L¹（J，R⁺） ，使得對于任意有界集 A，B?H 且對幾乎處處 t∈J ，有

β（f（t，A，B））?l_f（t）（β（A）+β（B））

（H4）函數(shù) 滿足

1）g（t，s，?）：H?H 對 Φ（t，s）Φ∈Λ 幾乎處處連續(xù)且 對 x∈H 強(qiáng)可測;

2）存在連續(xù)函數(shù) ，有

E 其中

3）存在函數(shù) η₁，η₂∈L¹（J，R⁺） ，使得對于任意有界集 C?H 且對幾乎處處 （t，s）∈Λ ，有

β（g（t，s，C））?η₁（t）η₂（s）β（C） 其中 Λ={（t，s），0?s?t?b} 。

（H5）脈沖函數(shù) 滿足

1）函數(shù) γ_?k，k=1，2，…，m 連續(xù);

2）存在常數(shù) L_γk，D_γkgt;0 ，使得對于任意 x，y∈ H ，有

其中

（H6）函數(shù) 滿足

1）R（t，?） 對于幾乎處處 t∈J 連續(xù)且對于所有x∈H，t 到 R（t，x） 是強(qiáng)可測的；

2）存在連續(xù)函數(shù) 和一個連續(xù)非減函數(shù) D_q∈（[0，+∞），（0，+∞）） ，使得對于 （Γ_t，x） ∈J×H ，有

3）存在正常數(shù) L_?R ，使得對于任意有界集 D? H ，有

β（R（t，D））?L_?Rβ（D）

（H7） 成立。

（H8）對于任意有界集 B₁?Ω_r ，存在一個可數(shù)集 {x_n}_n?1?B₁ ，使得

其中 t∈J

定理1 若假設(shè)（H1） ～ （H8）成立，且

則隨機(jī)系統(tǒng)（2）在 J 上至少有一個mild解。

證明：定義 且（ψx）（t）=（ψ₁x）（t）+（ψ₂x）（t） ，這里

顯然 x（t） 為隨機(jī)系統(tǒng)（2）的mild解當(dāng)且僅當(dāng) x（t） 為算子 ψ 的不動點(diǎn)，下證算子 ψ 存在一個不動點(diǎn)。

第一步 證明存在 rgt;0 ，使得 ，如若不然，對任意 rgt;0 ，存在 ，使得

當(dāng) t∈[0，t₁] 時，由假設(shè) （H2）～（H4） 及（H6）可知

當(dāng) t∈（t_k，s_k] 時， k=1，2，…，m ，由假設(shè)（H5）可知 D_γk（1+r）

當(dāng) t∈（s_k，t_k+1] 時， k=1，2，…，m ，同理，由假設(shè)（H2） ～ （H7）可知

綜上，對 t∈[0，b] 有

其中

G^* 與 r 無關(guān)，對上式兩邊同時除以 r 且當(dāng) r?∞ 時求極限，可得

式（6）與式（5）矛盾，因此 O第二步 證明算子 Lipschitz連續(xù)。當(dāng) t∈[0，t₁] 時，對任意 x，y∈Ω_r ，由假設(shè)（H2）

及 PC（J，H） 空間的定義可知，

E

當(dāng) t∈（t_k，s_k] 時， k=1，2，…，m ，由假設(shè)（H5）可知

P

（204號

當(dāng) t∈Γ（s_k，t_k+1] 時 k=1，2，…，m ，由假設(shè)（H5）

可知

E |ψ₁x（t）-ψ₁y（t）|²?M_U²L_γkE|x（t）-y（t）|²?

綜上，由（H5）可知，對于任意的 x，y∈Ω_r 有

第三步 證明算子 ψ₂ 在 Ω_r 上連續(xù)。

設(shè) {x_n}_n=1^∞∈Ω_r 是一個序列且 Ω_r ，由 f，g，R 的連續(xù)性可知，對任意 s∈J 有

由引理1，假設(shè)（H3）及（H7），對于任意 s∈J 有P 4?（s）r（1+bm） E 當(dāng) t∈[s_k，t_k+1] 時， k=0，1，…，m 有

由Lebesgue 控制收斂定理， 0，n∞ ，故 ψ₂ 在 Ω_r 上連續(xù)。

第四步 證明算子 等度連續(xù)。

對于 x∈Ω，s_k''?t_k+1，k=0，1，…，m 及 ξgt;0 足夠小有

由假設(shè)（H2）～（H4）、（H6）及引理1可知，

當(dāng) t^'-t^'?0，ξ?0 時及由假設(shè)（H1）知， I₁，I₂，I₃ →0。

綜上， 0 ，故 等度連續(xù)。

第五步 證明 是凝聚算子。

對任意有界集 D∈Ω_r ，由引理5可知，存在一個可數(shù)集 D₀={x_n}?D ，使得

β_PC（ψ₂（D））?2β_PC（ψ₂（D₀））

由于 ψ₂（D₀）?ψ₂（Ω_r） 有界且等度連續(xù)，由引理6可知

由引理1及引理4可知，有

因此，由引理4及假設(shè)（H3）～（H4）、（H6）及（H8）可知，當(dāng) t∈[s_k，t_k+1] 時 k=0，1，…，m ，

對 t∈J ，有

由引理4及第三步可知，對任意有界集 D?Ω_r ， ，有

故 為凝聚算子。由Sadovskii不動點(diǎn)定理可得算子 ψ 在 Ω_r 上至少有一個不動點(diǎn)，即隨機(jī)系統(tǒng)（2）在區(qū)間 [0，b] 上至少有一個mild解。

3 最優(yōu)控制

本節(jié)通過構(gòu)造兩次極小化序列研究相應(yīng)于隨機(jī)系統(tǒng)（2）的有限拉格朗日問題最優(yōu)控制－狀態(tài)對的存在性問題。為了得到隨機(jī)系統(tǒng)（2）最優(yōu)狀態(tài)－控制對，有如下假設(shè)：

（H9）函數(shù) 滿足：

1）函數(shù) 1可測；

2）函數(shù) Y（t，?，?），t∈J 在 H×G 上依序列下半連續(xù);

3）函數(shù) Y（t，x，?），t∈J，x∈H 在 G 上為凸的；

4）存在常數(shù) 及非負(fù)函數(shù) μ∈ L¹（J，R⁺） ，使得

x∈H，u∈G

（H10） {U（t，s），0?s

定理2 若假設(shè)（H2）＼～（H7）、（H9）及（H10）成立，則相應(yīng)于隨機(jī)系統(tǒng)（2）的有限拉格朗日問題至少存在一個最優(yōu)狀態(tài)－控制對，即存在一個可容許狀態(tài)控制對 ，使得

證明：固定 u∈U_ad ，定義

?（u）：=inf_{x^u∈S（u）}?（x^u，u）

第一步 證明存在 ，使得

不失一般性，假設(shè)inf 。由假設(shè)x^u∈S（u）

（H9）4）可知 為一常數(shù)。另一

方面，由下確界定義可知，存在一序列 {x_n^u}_n=1^∞?

S（u） 使得當(dāng) n∞ 時， Φ（x_n^u，u）?Φ（u） 且滿足

由定理1第二步至第五步可知，集 {x_n^u}_n=1^∞ 在PC（J，H） 中相對緊。由相對緊的定義可知，存在一子序列，仍記為 且存在 ，使得

此外，由假設(shè)（H2）～（H6）及Lebesgue控制收斂定理可知，

因此， 。由于 PC（J，H） 連續(xù)嵌入 L¹（J，H） 中，由假設(shè)（H9）及Balder定理可得

即 。對于 u∈U_ad，? 在 處可以取到最小值。

第二步 證明存在 u₀∈U_ad ，使得

不失一般性，假設(shè) inf_u∈Uad?（u）lt;∞ ，由假設(shè)（H9）4）可知 。由下確界定義可知，存在一序列 {u_n}_n=1^∞?U_ad 使得

由于 {u_n}_n=1^∞ 在 L_F²（J，G） 中有界，存在一子序列仍記為 {u_n}_n=1^∞ ，有

u_n?u₀∈L_F²（J，G），n?∞_c

由于 U_ad 為一凸閉包，由Marzur引理，可得 u₀∈ U_ad 。對于任意的 n∈N⁺ ，由定理1可知，存在 S（u_n） 滿足 ，則 且滿足

由（H10）及引理3可知， {Bu_n（?）}_n=1^∞ 在 PC（J H） ）中相對緊。由定理1中第二步及第五步可得 在 PC（J，H） 中相對緊。因此存在一子序列，仍記為 且存在 使得

此外，由假設(shè)（H2）～（H6）及Lebesgue控制收斂定理可知

t∈∪_k=1^m（s_k，t_k+1]

由上式可得 為可容許－狀態(tài)控制對，由于 PC（J，H） 連續(xù)嵌入 L¹（J，H） 中，由假設(shè)

（H9）及Balder定可得

因此， 在 u₀∈U_ad 處可取得最小值。因此，有

因此，受隨機(jī)系統(tǒng)（2）控制的有限拉格朗日問題至少有一個最優(yōu)狀態(tài)－控制對 。證明完畢。

4舉例

考慮如下具有非局部條件的非自治隨機(jī)積微分方程

其中 是一致Holder連續(xù)， w（t） 是 H 上的一維標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，并定義于一個概率空間 （Ω，F(xiàn)，P） ， ψ∈PC（J，R⁺） 。假設(shè) A（t）：H?H 定義如下：

絕對連續(xù)， x^'∈H，x（0）= （2號 x（π）=0} 。由文[12］可知 {A（t）：0?t?b} 生成 一個等度連續(xù)族 {U（t，s）：0?s?t?b} 且滿足定 義1。設(shè)

對于任意 t∈[0，b] ，定義

因此，問題（7）的成本函數(shù)可以改寫為系統(tǒng)（2）中成本函數(shù)的抽象形式

定理3 若

成立，則問題（7）在區(qū)間 [0，b] 上至少一個mild解。

證明：根據(jù) h，f，g，R，γ_k 的定義可知

易知假設(shè)（H1）～（H8）成立，因此定理1中所有條件都成立，其中

則問題（7）在 [0，b] 上至少存在一個mild解且相應(yīng)的有限拉格朗日問題至少存在一個最優(yōu)狀態(tài)－控制對。

5結(jié)語

文[4]在發(fā)展系統(tǒng) U（t，s） 緊的條件下，研究了問題 （1）mild 解的存在性，本文在文［4]的基礎(chǔ)上考慮了隨機(jī)效應(yīng)及非瞬時脈沖的影響，在發(fā)展系統(tǒng)U（t，s） 非緊的情形下，利用非緊性測度理論和Sadovskii不動點(diǎn)定理，建立了隨機(jī)系統(tǒng)（2）mild解的存在性結(jié)果。所獲結(jié)論在一定程度上推廣和發(fā)展了文[4]的主要結(jié)果。

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（編輯：溫澤宇）