不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界不等關(guān)系的重要模型。一元一次不等式（組）雖是最簡(jiǎn)單的不等式（組），卻在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，是解決生活問題的有效工具。同學(xué)們可以類比一元一次方程來學(xué)習(xí)，既要關(guān)注兩者的聯(lián)系，又要清楚它們的區(qū)別。下面精選幾例深入剖析，希望同學(xué)們能進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，感悟不等式的無窮魅力。

一、決策類問題

例1甲、乙兩商場(chǎng)以同樣的價(jià)格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場(chǎng)累計(jì)購物超過200元后，超出200元的部分按 90% 收費(fèi)；在乙商場(chǎng)累計(jì)購物超過100元后，超出100元的部分按 95% 收費(fèi)。當(dāng)小紅在同一商場(chǎng)累計(jì)購物超過200元時(shí)，在哪家商場(chǎng)的實(shí)際花費(fèi)少？

【分析】設(shè)小紅在同一商場(chǎng)累計(jì)購物x 元 （xgt;200） ，可以用含 x 的代數(shù)式分別表示在甲、乙兩商場(chǎng)的花費(fèi)。根據(jù)“哪家商場(chǎng)的實(shí)際花費(fèi)少”，故涉及在兩個(gè)商場(chǎng)花費(fèi)的大小比較，需分情況逐一討論。

解：設(shè)小紅在同一商場(chǎng)累計(jì)花費(fèi) x 元，其中 xgt;200 O

所以在甲商場(chǎng)花費(fèi) 200+（x-200）× 90%=0.9x+20

在乙商場(chǎng)花費(fèi) 0.95x+5 。① 當(dāng) 0.9x+20lt;0.95x+5 時(shí)，解得 xgt;300 ：② 當(dāng) 0.9x+20gt;0.95x+5 時(shí)，解得 200

綜上所述，當(dāng)小紅花費(fèi)超過300元時(shí)，到甲商場(chǎng)花費(fèi)少；當(dāng)小紅花費(fèi)大于200元而小于300元時(shí)，到乙商場(chǎng)花費(fèi)少；當(dāng)小紅花費(fèi)等于300元時(shí)，到兩家商場(chǎng)花費(fèi)一樣多。

【點(diǎn)評(píng)】本題利用不等式的相關(guān)知識(shí)幫助我們作出決策，增長(zhǎng)精打細(xì)算的智慧。

二、分配類問題

例2把一批書分給小朋友，每人4本，則余9本；每人6本，則最后一個(gè)小朋友分到了書，但不足3本。那么這批書有多少本？

【分析】本題中人數(shù)未知，書本數(shù)目也未知。但不管哪種分配方式，人數(shù)不變，書本總數(shù)也不變。設(shè)共有 x 個(gè)小朋友，則這批書共有 （4x+9） 本，根據(jù)“每人6本，則最后一個(gè)小朋友分到了書，但不足3本”，用 x 的代數(shù)式表示最后一個(gè)小朋友得到的本數(shù)為 4x+9-6（x-1） ，抓住關(guān)鍵詞（分到、不足）可列出不等式組，解之即可得出 x 的取值范圍，再結(jié)合 x 為正整數(shù)得出結(jié)論。

解：設(shè)共有 x 個(gè)小朋友，則這批書共有 （4x+9） 本。由題意，得 。解得 O又因?yàn)?x 為正整數(shù)，所以 x=7 。所以 4x+9=37 （本）。答：這批書有37本。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用。同學(xué)們要認(rèn)真審題，找顯性的關(guān)鍵詞，也要善于挖掘隱含的信息，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)量，再根據(jù)不等關(guān)系列出不等式（組），根據(jù)實(shí)際問題找出符合條件的解，從而解決問題

三、方案類問題

例3春節(jié)前夕，某商店從廠家購進(jìn) A，B 兩種禮盒，已知 A，B 兩種禮盒的單價(jià)比為 3：4 ，單價(jià)和為210元，該商店購進(jìn)這兩種禮盒恰好用去9900元

（1）A，B 兩種禮盒的單價(jià)分別是多 少元？ （2）若購進(jìn)A種禮盒最多36個(gè)， B 種 禮盒的數(shù)量不超過 A 種禮盒數(shù)量的2倍， 則有幾種進(jìn)貨方案？

（3）根據(jù)市場(chǎng)行情，銷售一個(gè)A種禮盒可獲利12元，銷售一個(gè) B 種禮盒可獲利18元。為奉獻(xiàn)愛心，該店主決定每售出一個(gè) B 種禮盒，為愛心公益基金捐款m 元，每個(gè) A 種禮盒的利潤(rùn)不變。要使禮盒全部售出后所有方案獲利相同， m 值是多少？此時(shí)店主獲利多少元？

【分析】（1）利用 A，B 兩種禮盒的單價(jià)比為3：4，單價(jià)和為210元，建立方程即可。2）“幾種進(jìn)貨方案\"即購進(jìn)A種多少個(gè)， B 種多少個(gè)。抓住題中“最多”“不超過”可以列出兩個(gè)不等式，那如何表示A 種 ?^B 種禮盒的個(gè)數(shù)呢？借助“恰好用去9900元”，得到兩種禮盒費(fèi)用之間的相等關(guān)系，不妨設(shè) B 種禮盒 x 個(gè)，則能用含x 的代數(shù)式表示A種禮盒的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出一元一次不等式組。在確?！皟煞N禮盒的個(gè)數(shù)都是整數(shù)\"的前提下，篩選出符合條件的解，進(jìn)而得出方案數(shù)。（3）用含 x 和 m 的代數(shù)式表示出店主所獲利潤(rùn)，根據(jù)所有方案獲利相同可知與 x 的取值無關(guān)，從而求出 m 的值。

解：（1）設(shè) A 種禮盒單價(jià)為 3k 元，則B 種禮盒單價(jià)為 4k 元

所以 3k+4k=210 解得 k=30 O

所以 A 種禮盒單價(jià)為 3×30=90 （元），B 種禮盒單價(jià)為 4×30=120 （元）

（2）設(shè)購進(jìn) B 種禮盒 x 個(gè)，則購進(jìn) A 種 禮盒 個(gè)，化簡(jiǎn)得 根據(jù)題意，得 解得 55.5?x?60 。 因?yàn)?x 與 都為正整數(shù)，所 以 x=57 或 60 。

方案一： A 種禮盒30個(gè)， B 種禮盒60 個(gè)；方案二： A 種禮盒34個(gè)， B 種禮盒 57個(gè)。

（3）設(shè)該商店獲利 w 元，由（2）可知 化簡(jiǎn)，得 w= （2-m）x+1320 。

若使所有方案都獲利相同，則 2-m= 0，得 m=2 。此時(shí)店主獲利1320元

【點(diǎn)評(píng)】第（1）題的答案至關(guān)重要，該題算錯(cuò)會(huì)影響后面問題的解決，所以同學(xué)們要舍得花時(shí)間進(jìn)行檢驗(yàn)。在用一元一次不等式組解決問題的過程中，我們通常設(shè)一個(gè)未知數(shù)，用含該未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知量。至于設(shè)哪個(gè)未知量，我們要嘗試比較哪種更簡(jiǎn)潔。此題若設(shè)A種禮盒 x 個(gè)，則 B 種禮盒的個(gè)數(shù)表示起來要復(fù)雜一些，不便于計(jì)算。接著根據(jù)不等式組得到取值范圍后，我們不僅要考慮實(shí)際問題中的 x 要取正整數(shù)，同時(shí)不要忽略用含 x 的代數(shù)式表示的其他量也需取正整數(shù)，從而得到特定的解。多種方案下，有時(shí)還會(huì)提出要求選擇出最佳方案，同學(xué)們要根據(jù)條件分別計(jì)算結(jié)果，再比較，從中擇優(yōu)選取。

同學(xué)們，方程和不等式都是我們解決實(shí)際問題的有力武器。希望大家認(rèn)真挖掘?qū)嶋H問題中的數(shù)量關(guān)系，用準(zhǔn)模型，為今后解決更多復(fù)雜的問題筑牢根基，真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用密碼。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳實(shí)驗(yàn)中學(xué)）