前段時(shí)間我們遇到了一道超有挑戰(zhàn)性的題目，解答過(guò)程可謂一波三折

問(wèn)題在三角形 ABC 中， ∠C=60^° ，將線段 AB 沿直線 BC 平移得到線段 DE （點(diǎn) D 與點(diǎn) B 對(duì)應(yīng)，且不與點(diǎn) B，C 重合），連接 AE ， ∠AED 和 ∠ACD 的平分線所在直線相交于點(diǎn) P （點(diǎn) P 不與點(diǎn) C，E 重合）。

（1）如圖1 ，∠B=40^° ① 依題意補(bǔ)全圖1;

② 求∠EPC的度數(shù)。

（2）若 ∠B=α ，直接寫(xiě)出∠EPC的度數(shù)（用含 α 的式子表示）

為了解答方便，我們先介紹一個(gè)常見(jiàn)的幾何模型。已知線段 AB// 線段 CD ，點(diǎn) E 在AB 和 CD 之間，如圖2，則 ∠AEC=∠BAE+∠ECD 。

證明方法一般是：如圖3，過(guò)點(diǎn) E 作 EF//AB ，則 EF//CD ，根據(jù)平行線的性質(zhì)有∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠BAE+∠ECD 。

另外，根據(jù)點(diǎn) E 的位置不同，還有其他多種情況，如圖4、圖5、圖6等。我們把這些情況統(tǒng)稱(chēng)為“∑模型”。用同樣的方法可以分別求出∠AEC：如圖4， ∠AEC=360^°-∠BAE- ∠ECD ;如圖5， ∠AEC=∠BAE-∠ECD ;如圖6， ∠AEC=∠ECD-∠BAE.

【思路分析】題目給了三個(gè)條件： ∠C=60^° ，線段 AB 沿直線 BC 平移得到線段 DE ，連接 AE 后， ∠AED 和 ∠ACD 的平分線所在直線相交于點(diǎn) P 。

第（2）問(wèn)要求直接寫(xiě)出∠EPC的度數(shù)，那就需要考慮線段 DE 平移的位置，從而通過(guò)兩角的平分線所在的直線確定點(diǎn) P 的位置和 ∠EPC 的度數(shù)。我們聯(lián)想了第（1）問(wèn)，想到可以根據(jù)點(diǎn) D 在直線 BC 上的位置，確定∠AED和∠ACD的情況，接著就可以確定∠EPC 的度數(shù)，分為以下三種情況：

情況1：當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 上時(shí)，如圖7，利用“ 模型”，可求得 ∠EPC=∠AEP+ ∠PCD。

： EP 平分∠AED， CP 平分

：∠AED+∠EAB=180°，∠B+∠EAB=180°， ∠ACD=60^° α

：.∠AED=∠B=α。：.∠EPC= α+60° +30°2 2

情況2：當(dāng)點(diǎn) D 在線段 CB 的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖8，利用‘ 模型”的思路，可求得∠EPC=180^°-∠AEP+∠BCP， 。∵： AB//DE，：∠D=∠B=α ?！撸?AE//DC，：∠AED=180°-∠D=180°-α。： EP 平分∠AED， CP 平分 ∠ACD ， D B C

【探究結(jié)果】我們將思考結(jié)果告知老師，老師卻說(shuō)還有情況沒(méi)有研究出來(lái)。什么？還有情況？我們考慮得挺全面呀，點(diǎn) D 在直線 BC 上的位置關(guān)系就這三類(lèi)啊， ∠AED 和∠ACD 兩個(gè)角的所有位置分類(lèi)都涵蓋了，為什么還有情況沒(méi)有考慮到呢？我們陷人沉思…當(dāng)我們?cè)俅伍喿x問(wèn)題后，發(fā)現(xiàn)了“ ∠AED 和 ∠ACD 的平分線所在直線相交于點(diǎn) P ”中的關(guān)鍵詞“直線”。于是，我們假設(shè) DE 一直向左運(yùn)動(dòng)， ∠ACD 的平分線和∠AED的平分線的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P 。找到啦！ DE 一直向右運(yùn)動(dòng)，也可能會(huì)有這樣的點(diǎn) P ！因此，這道題應(yīng)該有五種分類(lèi)情況：

情況 ① ：如圖7，即情況1。

情況 ② ：如圖8，即情況2

情況 ③ ：當(dāng)點(diǎn) D 在 CB 的延長(zhǎng)線上，且點(diǎn) P 為 ∠ACD 的平分線與 ∠AED 的平分線的反向延長(zhǎng)線交點(diǎn)，如圖10，根據(jù)“ Σ 模型\"的思路，可求得 。

情況 ④ ：如圖9，即情況3。

情況 ⑤ ：當(dāng)點(diǎn) D 在 BC 延長(zhǎng)線上，且點(diǎn) P 為∠AED的平分線與 ∠ACD 的平分線的反向延長(zhǎng)線交點(diǎn)，如圖11，根據(jù)\" Σ 模型\"的思路，可求得 。

教師點(diǎn)評(píng)

這道題的難點(diǎn)在于點(diǎn) D 位置的變化引起角平分線的變化（兩位小作者僅考慮到這兒），而當(dāng)點(diǎn) D 進(jìn)一步變化時(shí)，兩條角平分線不變了，但它們的交點(diǎn)位置還會(huì)變化。兩位小作者不怕困難，繼續(xù)深入探討，非常難能可貴。他們從開(kāi)始的“想得美”到之后的“想不通”，再到最終的“我悟了”，相信這個(gè)不斷深入思考的過(guò)程會(huì)讓他們刻骨銘心。

（指導(dǎo)教師：史嘉）