小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注知識(shí)傳授，還要重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。變量思維作為代數(shù)思想的基礎(chǔ)，貫穿于數(shù)量關(guān)系分析和實(shí)際問(wèn)題解決過(guò)程中。然而，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)以公式記憶和機(jī)械計(jì)算為主，導(dǎo)致學(xué)生難以理解變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)，限制了其高階思維能力的發(fā)展?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，教師應(yīng)借助直觀的教學(xué)工具，幫助學(xué)生建立模型意識(shí)，通過(guò)具象化、層次化的教學(xué)設(shè)計(jì)，解決學(xué)生在理解抽象概念時(shí)遇到的困難。這一指導(dǎo)原則為小學(xué)階段學(xué)生的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)提供了重要的實(shí)踐參考。

一、變量思維與可視化工具的內(nèi)涵

（一）變量思維的內(nèi)涵

變量思維是數(shù)學(xué)思維的重要組成部分，指通過(guò)觀察、分析與推理，理解事物在動(dòng)態(tài)變化中相互依存的關(guān)系的能力。在小學(xué)階段，變量思維的培養(yǎng)聚焦于引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)量間的關(guān)聯(lián)性（如速度、路程與時(shí)間三者中某一量變化時(shí)對(duì)其他量的影響），幫助學(xué)生從動(dòng)態(tài)發(fā)展的視角發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（二）可視化工具的內(nèi)涵

可視化工具指通過(guò)圖形、動(dòng)畫(huà)、實(shí)物模型等直觀形式呈現(xiàn)抽象概念的工具。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，常見(jiàn)的可視化工具包括多媒體課件、線段圖、實(shí)物演示軟件（如GeoGebra）等。借助可視化工具將變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為視覺(jué)符號(hào)，能使抽象思維過(guò)程“可見(jiàn)”[1]。

二、可視化工具對(duì)變量思維啟蒙的重要作用

小學(xué)階段是學(xué)生從具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過(guò)渡的關(guān)鍵期。變量思維的啟蒙有助于打破學(xué)生對(duì)固定數(shù)值的依賴，培養(yǎng)學(xué)生以動(dòng)態(tài)眼光解決實(shí)際問(wèn)題的能力。以“速度、路程與時(shí)間的關(guān)系”為例，學(xué)生若僅記憶“路程 Σ=Σ 速度 x 時(shí)間”這一公式，將難以應(yīng)對(duì)復(fù)雜情境中的變量分析。而變量思維的培養(yǎng)能幫助學(xué)生理解公式背后的邏輯，如通過(guò)速度的變化預(yù)測(cè)路程的結(jié)果，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與創(chuàng)新思維。

可視化工具能夠彌合小學(xué)生具象思維與抽象概念之間的認(rèn)知鴻溝。例如，在講解速度概念時(shí)，教師展示兩輛玩具車以不同速度行駛的動(dòng)畫(huà)，可以讓學(xué)生直觀觀察到“在相同時(shí)間內(nèi)，速度越快，行駛的路程就越長(zhǎng)”的現(xiàn)象。此外，可視化工具還支持學(xué)生進(jìn)行自主探究，如通過(guò)調(diào)整虛擬實(shí)驗(yàn)中的速度參數(shù)，驗(yàn)證不同情境下的計(jì)算結(jié)果，深入理解變量動(dòng)態(tài)變化規(guī)律[2]。

三、變量思維啟蒙中應(yīng)用可視化工具的對(duì)策

（一）具象感知環(huán)節(jié)的應(yīng)用

基于皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論框架，7一12歲的兒童處于具體運(yùn)算階段，呈現(xiàn)出以下思維特征：邏輯推理需依托具體事物展開(kāi)，抽象概念建構(gòu)需通過(guò)實(shí)物操作完成。該理論為具象感知教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)提供了核心依據(jù)—當(dāng)可視化工具將抽象變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為可觀察、可操作的具象載體時(shí)，不僅契合該階段兒童“思維具象化”的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，還能在神經(jīng)認(rèn)知層面觸發(fā)多模態(tài)感知通道的協(xié)同激活。這一教學(xué)設(shè)計(jì)理念與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的“直觀感知奠基、操作體驗(yàn)深化”原則形成雙重理論支撐。

基于此，本研究結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，在具象感知環(huán)節(jié)應(yīng)用可視化工具，遵循“實(shí)物操作 $$ 動(dòng)態(tài)驗(yàn)證$$ 數(shù)據(jù)對(duì)比 $$ 規(guī)律提煉”的認(rèn)知路徑，通過(guò)雙重實(shí)驗(yàn)（實(shí)體玩具車與虛擬動(dòng)畫(huà)）的交叉驗(yàn)證，讓學(xué)生從具象動(dòng)作（貼紙標(biāo)記）、視覺(jué)觀察（車輛移動(dòng)）到數(shù)據(jù)分析（表格整理）逐層深入，最終在多重感官體驗(yàn)中建立速度、路程與時(shí)間的變量關(guān)系模型，達(dá)成具象感知階段的教學(xué)目標(biāo)。具體實(shí)施過(guò)程如下。

第一步，教具準(zhǔn)備與情境創(chuàng)設(shè)。教師提前布置帶有清晰刻度的直線跑道，準(zhǔn)備多輛可調(diào)節(jié)速度的電動(dòng)玩具車，并將學(xué)生分為4一6人的合作小組。課堂伊始，教師通過(guò)“車輛賽跑”的生活化問(wèn)題引出主題，例如“兩輛賽車同時(shí)出發(fā)但速度不同，誰(shuí)會(huì)贏？為什么？”以此激發(fā)學(xué)生的探究興趣。

第二步，分組實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)記錄。各小組領(lǐng)取兩輛玩具車，分別設(shè)定為低速 （2cm/s） 與高速（ ：4cm/s） 0模式。教師統(tǒng)一發(fā)出啟動(dòng)指令后，學(xué)生每隔5s記錄車輛位置，用藍(lán)色貼紙標(biāo)記低速車的軌跡（如5 ， 10s?20cm ），用紅色貼紙標(biāo)記高速車的軌跡（如 5s20cm ， ），同時(shí)在實(shí)驗(yàn)記錄表中填寫(xiě)時(shí)間、路程對(duì)應(yīng)值。

第三步，動(dòng)態(tài)課件演示與對(duì)比觀察。教師通過(guò)Flash動(dòng)畫(huà)還原實(shí)驗(yàn)過(guò)程，將跑道轉(zhuǎn)化為數(shù)軸投影至電子白板。動(dòng)畫(huà)設(shè)置“速度調(diào)節(jié)”按鈕與“暫停／繼續(xù)”控件，學(xué)生可手動(dòng)切換跑道上小車的速度，觀察車輛移動(dòng)差異。畫(huà)面右側(cè)同步生成動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)表，實(shí)時(shí)高亮顯示每秒對(duì)應(yīng)的路程值（如速度 2cm/s 時(shí)，第3秒 6cm ，第5秒 10cm ）。

第四步，數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)與規(guī)律初探。教師引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與動(dòng)畫(huà)演示，提出核心問(wèn)題：“當(dāng)時(shí)間從5s增加到 10s 時(shí)，兩輛車的路程變化幅度有何不同？這種差異與速度有什么關(guān)系？”學(xué)生通過(guò)貼紙標(biāo)記的間距差異（低速車每5s增加 10cm ，高速車每5s增加 20cm ）以及動(dòng)畫(huà)中數(shù)軸的延伸比例，歸納出“速度越大，相同時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程越長(zhǎng)”的結(jié)論。

第五步，變量關(guān)系結(jié)構(gòu)化總結(jié)。教師組織學(xué)生將實(shí)驗(yàn)與動(dòng)畫(huà)中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)整理為表格，橫向?qū)Ρ炔煌俣认隆皶r(shí)間一路程”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，在速度 2cm/s 列中，時(shí)間為 5s 、10s、15s時(shí)對(duì)應(yīng)的路程分別為 10cm 1 20cm 、 30cm ；在速度 4cm/s 列中，時(shí)間為 5s 人 10s 、15s時(shí)對(duì)應(yīng)的路程分別為20cm/40cm/60cm 。學(xué)生通過(guò)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，自主歸納出“路程 速度 × 時(shí)間”的數(shù)學(xué)關(guān)系，教師隨后以符號(hào)形式板書(shū)展示三者的關(guān)系s=vt[3]。

（二）半抽象過(guò)渡環(huán)節(jié)的應(yīng)用

在半抽象過(guò)渡環(huán)節(jié)，教師需引導(dǎo)學(xué)生將在具象感知階段積累的直觀經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)化表征，借助圖表工具實(shí)現(xiàn)從具體操作到符號(hào)思維的跨越。

以“速度、路程與時(shí)間的關(guān)系”的教學(xué)為例，教師首先要組織學(xué)生回顧具象感知階段的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如各小組在玩具車實(shí)驗(yàn)中記錄的“時(shí)間一路程”對(duì)應(yīng)值。學(xué)生將數(shù)據(jù)譽(yù)抄至統(tǒng)一規(guī)格的坐標(biāo)紙上，手動(dòng)繪制橫軸為時(shí)間（s）、縱軸為路程（cm）的平面直角坐標(biāo)系，并用不同顏色的彩筆將低速車與高速車的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)點(diǎn)，如低速車數(shù)據(jù)點(diǎn)（5，10）（10，20）用藍(lán)色點(diǎn)標(biāo)注，高速車數(shù)據(jù)點(diǎn)（5，20）（10，40）用紅色點(diǎn)標(biāo)注，隨后用直尺連接同色坐標(biāo)點(diǎn)，形成折線。學(xué)生完成繪圖后，教師可以用電子白板展示預(yù)設(shè)的Excel動(dòng)態(tài)折線圖模板。模板中預(yù)設(shè)三組可調(diào)節(jié)參數(shù)：時(shí)間范圍（ 5～30s 、速度值 （2cm/s，4cm/s， 自定義值）以及路程計(jì)算公式 s=νt 。教師可以邀請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)操作，通過(guò)拖動(dòng)“速度調(diào)節(jié)”滑塊，觀察不同速度下折線圖的變化特征。比如，將數(shù)值設(shè)定為 2cm/s ，點(diǎn)擊“生成”按鈕后，圖表自動(dòng)繪制出從原點(diǎn)（0，0）出發(fā)的藍(lán)色直線，并在橫軸5s、 10s 、15s處標(biāo)注對(duì)應(yīng)路程值（10cm、 20cm 、 30cm ）。結(jié)合手工繪圖和電子圖表中的直線形態(tài)，教師可適時(shí)提出引導(dǎo)性問(wèn)題：“兩條直線都是筆直的，但紅色線比藍(lán)色線更陡峭，這說(shuō)明了什么？”經(jīng)由思考問(wèn)題，學(xué)生建立“速度值與直線斜率呈正相關(guān)”的數(shù)學(xué)認(rèn)知。在這一教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)逐步認(rèn)識(shí)到圖表既是數(shù)據(jù)的可視化載體，也是揭示變量間內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學(xué)分析工具。這種認(rèn)知可為后續(xù)抽象建模環(huán)節(jié)的公式推導(dǎo)提供邏輯支撐。

由此可見(jiàn)，通過(guò)將具身化操作（手工繪圖）與數(shù)字化交互（動(dòng)態(tài)圖表調(diào)節(jié)）有機(jī)結(jié)合，學(xué)生能在具象經(jīng)驗(yàn)與抽象符號(hào)之間建立雙向聯(lián)結(jié)，具體表現(xiàn)為：能夠從數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布特征中歸納出路程與時(shí)間之間的線性關(guān)系；通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)速度參數(shù)，能直觀理解速度與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系；擺脫對(duì)單一實(shí)驗(yàn)案例的依賴，形成可遷移的變量分析框架，為通用公式的符號(hào)化表達(dá)奠定思維基礎(chǔ)[4]

（三）抽象建模環(huán)節(jié)的應(yīng)用

在抽象建模階段，教師需引導(dǎo)學(xué)生將前期積累的具象經(jīng)驗(yàn)與半抽象規(guī)律轉(zhuǎn)化為普適性的數(shù)學(xué)表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)從具體現(xiàn)象到符號(hào)模型的跨越式建構(gòu)。以“速度、路程與時(shí)間的關(guān)系”為例，教師可依托編程啟蒙工具Scratch設(shè)計(jì)分層互動(dòng)任務(wù)，讓學(xué)生在參數(shù)調(diào)試與結(jié)果驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)變量關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

教師首先向?qū)W生展示預(yù)先設(shè)計(jì)的Scratch動(dòng)畫(huà)項(xiàng)目：畫(huà)面中央設(shè)置一條帶有刻度的橫向跑道，起點(diǎn)處站立一個(gè)卡通角色，跑道終點(diǎn)標(biāo)注目標(biāo)位置（如 ^s100m^′′ ）；界面右側(cè)設(shè)有兩個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)輸入框，分別標(biāo)記為“速度 （m/s ）”和“時(shí)間（s）”，下方設(shè)置“開(kāi)始移動(dòng)”按鈕與“重置”控件。

在初級(jí)任務(wù)中，教師可要求學(xué)生以小組為單位，將半抽象過(guò)渡階段總結(jié)的“速度 2m/s ，時(shí)間 5s 路程 10m ”等數(shù)據(jù)輸入程序，點(diǎn)擊按鈕后觀察角色移動(dòng)過(guò)程。例如，當(dāng)學(xué)生輸入速度3、時(shí)間4時(shí)，角色以 3m/s 的速度勻速移動(dòng) 4s ，最終停在 12m 的刻度處，畫(huà)面同步顯示計(jì)算結(jié)果“路程 =3×4=12m^′′ 。學(xué)生通過(guò)反復(fù)輸入不同的參數(shù)組合，驗(yàn)證“路程值始終等于速度與時(shí)間的乘積”這一猜想，初步建立對(duì)公式的感性認(rèn)知。

進(jìn)階任務(wù)要求學(xué)生從“程序使用者”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙?guī)則發(fā)現(xiàn)者”。教師可提供未預(yù)設(shè)公式的Scratch程序模板，僅保留角色移動(dòng)動(dòng)畫(huà)與參數(shù)輸入功能，隱藏路程計(jì)算結(jié)果。學(xué)生需在教師引導(dǎo)下，利用積木式編程模塊自主設(shè)計(jì)算法邏輯。例如，學(xué)生需要將“速度 × 時(shí)間”轉(zhuǎn)化為具體的程序指令，將“速度”變量與“時(shí)間”變量拖入乘法運(yùn)算積木，并關(guān)聯(lián)至角色移動(dòng)參數(shù)。當(dāng)學(xué)生調(diào)試程序，發(fā)現(xiàn)角色移動(dòng)距離與預(yù)期不符時(shí)，教師可提出引導(dǎo)性問(wèn)題：“如果角色移動(dòng)了 5s ，但速度輸入值是 0m/s ，它最終會(huì)在哪里？這說(shuō)明速度、時(shí)間與路程之間必須具備什么樣的數(shù)學(xué)條件？”通過(guò)修正錯(cuò)誤案例（如速度為負(fù)值、時(shí)間為零），學(xué)生能逐步理解公式中的變量的實(shí)際意義及其數(shù)學(xué)約束（如速度視為標(biāo)量時(shí)需為非負(fù)數(shù)、時(shí)間為正數(shù)）。

在挑戰(zhàn)性任務(wù)中，教師可引入多角色競(jìng)速場(chǎng)景，以進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)變量關(guān)系的理解。例如，程序中設(shè)置兩輛賽車，學(xué)生需為每輛車單獨(dú)設(shè)定速度與時(shí)間參數(shù)，點(diǎn)擊“開(kāi)始”按鈕后觀察哪輛車率先到達(dá)終點(diǎn)。當(dāng)A車速度為 4m/s 、行駛時(shí)間 3s ，B車速度為 3m/s 、行駛時(shí)間4s時(shí)，兩輛車均行駛 12m 同時(shí)抵達(dá)終點(diǎn)。學(xué)生通過(guò)對(duì)比此類特殊案例，能夠突破“速度越快，通過(guò)的路程越長(zhǎng)”的直覺(jué)認(rèn)知，從而理解“路程由速度與時(shí)間共同決定”的辯證關(guān)系。教師可進(jìn)一步要求學(xué)生將競(jìng)速結(jié)果整理為對(duì)比表格。以A車（ ?ν=4m/s ， t=3s?s=12m ）與B車（ ?ν=5m/s ， t=2s?s=10m ）為例，學(xué)生通過(guò)對(duì)比會(huì)發(fā)現(xiàn)，盡管B車速度更快，但因行駛時(shí)間更短，最終路程反而少于A車。這一矛盾現(xiàn)象會(huì)促使學(xué)生深入思考“速度與時(shí)間的協(xié)同作用”，進(jìn)而理解單一變量（如速度）無(wú)法獨(dú)立決定結(jié)果（路程），而是需要從變量互動(dòng)的系統(tǒng)視角分析問(wèn)題，從而為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)反比例關(guān)系埋下認(rèn)知線索。

由此可見(jiàn)，通過(guò)對(duì)分層任務(wù)的遞進(jìn)式探索，學(xué)生在技術(shù)工具支持下，可以經(jīng)歷“數(shù)據(jù)驗(yàn)證 $$ 算法設(shè)計(jì) $$ 錯(cuò)誤修正 $$ 規(guī)律泛化”的完整建模過(guò)程。他們不僅能準(zhǔn)確表述“路程 Σ=Σ 速度 x 時(shí)間”的符號(hào)公式，還能理解公式中每個(gè)變量的數(shù)學(xué)意義與實(shí)際價(jià)值。例如，學(xué)生通過(guò)修改Scratch程序中的速度參數(shù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)間固定時(shí)，速度與路程成正比例關(guān)系，從而在具身操作中內(nèi)化變量思維的核心理念一個(gè)量的變化會(huì)引發(fā)另一個(gè)量的系統(tǒng)性改變。這種基于技術(shù)實(shí)踐的抽象建模過(guò)程符合四年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平，為學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)抽象數(shù)學(xué)概念奠定了可遷移的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)[5]。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，可視化工具為小學(xué)變量思維啟蒙提供了有效的支架，不僅能降低學(xué)習(xí)難度，還能培養(yǎng)學(xué)生的探究能力與創(chuàng)新能力。本文以“速度、路程與時(shí)間的關(guān)系”為例，探討“具象感知一半抽象過(guò)渡一抽象建?！钡碾A梯式教學(xué)設(shè)計(jì)。在具象感知階段，教師可借助玩具車實(shí)驗(yàn)與動(dòng)畫(huà)，將抽象變量轉(zhuǎn)化為可視化軌跡，幫助學(xué)生直觀感知“變化”與“關(guān)聯(lián)”；在半抽象過(guò)渡階段，通過(guò)手工繪圖與動(dòng)態(tài)圖表的交互驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)據(jù)規(guī)律中提煉線性關(guān)系，理解速度對(duì)斜率的影響；在抽象建模階段，依托編程工具的任務(wù)分層，讓學(xué)生在算法設(shè)計(jì)與參數(shù)調(diào)試中內(nèi)化公式的符號(hào)意義，形成“變量互動(dòng)”的系統(tǒng)性思維。這種教學(xué)方式契合小學(xué)生從具體運(yùn)算到形式運(yùn)算的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，通過(guò)技術(shù)賦能降低了數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知門檻。

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