中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2025）4-0062-3

“探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系\"實(shí)驗(yàn)是普通高中物理教科書必修一的重要內(nèi)容。如圖1所示，為平衡小車受到的阻力，采取了把木板的一側(cè)墊高的方法；同時(shí)為了用槽碼重力代替小車受到的拉力，采取了使槽碼質(zhì)量遠(yuǎn)小于小車質(zhì)量的操作。而在真實(shí)情境中，由于紙帶要受到摩擦，更換小車質(zhì)量后，若不改變斜面傾角，原來阻力和重力分力的平衡會(huì)被破壞；另外，隨著槽碼質(zhì)量的增加，槽碼質(zhì)量遠(yuǎn)小于小車質(zhì)量的操作也被破壞。實(shí)驗(yàn)所得的圖像往往不一定過原點(diǎn)，斜率也在變化。

1 小車加速度的理論推導(dǎo)

使用如圖1所示的裝置探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系時(shí)，設(shè)小車質(zhì)量為M，槽碼質(zhì)量為 m ，斜面傾角為θ，小車與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 μ 打點(diǎn)計(jì)時(shí)器與紙帶之間的摩擦力是 ，連接槽碼和小車的繩子上拉力為 F ，車和槽碼的加速度均為 。忽略細(xì)線和滑輪之間的摩擦，根據(jù)牛頓第二定律，分別列出小車和槽碼運(yùn)動(dòng)的受力方程

兩式相加可得

2 理想條件下加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系

本實(shí)驗(yàn)采取控制變量法研究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系。由于學(xué)生還沒有正式學(xué)習(xí)牛頓第二定律，不能利用該定律計(jì)算繩上的拉力，只能平衡阻力之后把槽碼重力當(dāng)作小車受到的合外力，為此就要滿足 m lt; lt; M 這個(gè)條件。

推導(dǎo)過程如下：

當(dāng)重力分力與阻力平衡即 M g s i nθ=μ M g c o sθ + ，（3）式變成

若滿足 m lt; lt; M 時(shí) ，M+m≈M ，（3）式進(jìn)一步變成a=1 0

滿足上述兩個(gè)條件時(shí)，（1）式可以變成 F = 。此時(shí)，槽碼重力就是小車所受合外力，所以a=F

滿足上述兩個(gè)理想條件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可以得到：小車質(zhì)量一定時(shí)，小車加速度和合外力的圖像是一條過原點(diǎn)的直線；合外力一定時(shí)，小車加速度和小車質(zhì)量倒數(shù)的圖像也是一條過原點(diǎn)的直線。因此，小車的加速度與自身受到的合外力成正比，與小車質(zhì)量成反比。

3 真實(shí)情境下加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系

使用圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置，讓小車沿著斜面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，用水平儀測(cè)得斜面傾角為 計(jì)算可得小車與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)約為 0 . 0 5 。將細(xì)繩直接拴著穿過打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的紙帶由合適數(shù)量的曲別針帶動(dòng)，使紙帶做勻速直線運(yùn)動(dòng)，可得紙帶阻力約為 下面我們使用特殊值法和畫圖法分析真實(shí)情境下小車加速度與槽碼重力、質(zhì)量的關(guān)系。

3.1 小車質(zhì)量一定時(shí)，加速度與槽碼重力的關(guān)系

當(dāng)槽碼質(zhì)量為0時(shí)，將 m = 0 代人（3）式，可得 。即 圖像與縱軸的截距為 當(dāng)此值為正數(shù)時(shí)，說明斜面傾角 θ 過大；其物理意義是不掛槽碼時(shí)小車就有加速度，平衡阻力過度。當(dāng)此值為負(fù)數(shù)時(shí)，說明斜面傾角 θ 過??；圖像與橫坐標(biāo)的截距是正數(shù)，其物理意義是只有當(dāng)掛一定質(zhì)量的槽碼時(shí)，小車才能剛好保持勻速直線運(yùn)動(dòng)，說明平衡阻力不足或者沒有平衡阻力。當(dāng)此值為0時(shí)，說明斜面傾角 θ 合適，剛好平衡了阻力。

根據(jù)（3）式，當(dāng)槽碼質(zhì)量 為無窮大時(shí)，可忽略 $M _ { ☉ }$ ，得 即 圖像中加速度的值趨近于 g 。其物理意義是當(dāng)槽碼質(zhì)量無窮大時(shí)，小車所受其他力都可以忽略不計(jì)，相當(dāng)于槽碼自己在做自由落體運(yùn)動(dòng)，所以加速度是 g 。

在槽碼拉動(dòng)小車的系統(tǒng)中，必然存在此結(jié)論：小車質(zhì)量一定時(shí)，槽碼重力越大，系統(tǒng)加速度越大。

于是，我們可以大概推測(cè) 圖像的變化趨勢(shì)，是截距不一定為0的、其值不斷增大并趨近于 a = g 的圖線。

為了能夠使用Geogebra軟件準(zhǔn)確畫出 a -mg圖像，根據(jù)（3）式，令自變量 x = m g ，設(shè) 0 . 0 2 N， M=1 k g， g=9 . 8 N/ k g ，分別畫出斜面傾角 θ 為 時(shí)的 a-m g 圖像，如圖2所示。

此圖像與我們采用極限法分析的結(jié)果一致。

另外，觀察 m g 較小時(shí)的 a - m g 圖像（圖3），可以看出，當(dāng) m lt; lt; M 時(shí)，圖線斜率基本不變，這與學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一致。

3.2 槽碼質(zhì)量一定時(shí)，小車加速度與小車質(zhì)量倒數(shù)的關(guān)系

為了確定槽碼質(zhì)量（合外力）一定時(shí)，小車加速度與小車質(zhì)量是否成反比，可作出小車加速度與小車質(zhì)量倒數(shù)的關(guān)系圖像。

根據(jù)（3）式，當(dāng) 1 / M=0 ，即小車質(zhì)量 M 為無窮大時(shí)，可忽略所掛槽碼質(zhì)量 、紙帶摩擦力 ，得a-1 / M 圖像與縱軸的截距為 。當(dāng)此值為正數(shù)時(shí)，說明斜面傾角 θ 過大。其物理意義是質(zhì)量無窮大的小車能在斜面上做勻加速運(yùn)動(dòng)，即平衡摩擦力過度。當(dāng)此值為負(fù)數(shù)時(shí)，說明斜面傾角 θ 偏小。圖像與橫坐標(biāo)的截距是正數(shù)，其物理意義是只有當(dāng)小車質(zhì)量 M 較小時(shí)，才能被一定質(zhì)量的槽碼拉著保持勻速直線運(yùn)動(dòng)，說明平衡阻力不足或者沒有平衡阻力。當(dāng)此值為0時(shí)，說明斜面傾角 θ 合適，小車的重力沿斜面分量與小車所受摩擦力平衡。

當(dāng)小車質(zhì)量倒數(shù)1/M為無窮大時(shí)，小車質(zhì)量變，這與學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一致。

M 為0，代人（3）式可得 a-1 / M 圖像中加速度的值 。其物理意義是當(dāng)小車質(zhì)量為0時(shí)，槽碼自己帶著紙帶做勻加速運(yùn)動(dòng)。若能忽略紙帶摩擦，則小車加速度趨近于 g 。

在槽碼拉動(dòng)小車的系統(tǒng)中，必然存在此結(jié)論：槽碼質(zhì)量一定時(shí)，小車質(zhì)量倒數(shù)越大，系統(tǒng)加速度越大。

于是，我們可以推測(cè) a - 1 / M 圖像的變化趨勢(shì)，是截距不一定為0、其值不斷增大且趨近于 的圖線。

為了能夠使用Geogebra軟件準(zhǔn)確畫出 a -1/M圖像，根據(jù)（3）式，我們令自變量為 ，設(shè)定 ，分別畫出斜面傾角 時(shí)的 a-1 / M 圖像（圖4）。

此圖像與我們采用極限法分析的結(jié)果一致。另外，觀察1/M較小即 M 較大時(shí)的 a-1 / M 圖像（圖5），可以看出當(dāng) m lt; lt; M 時(shí)，圖線斜率基本不

4結(jié)論

通過分析小車加速度與槽碼重力、小車質(zhì)量倒數(shù)的一般圖像，發(fā)現(xiàn)有許多一致性。兩圖都是截距為正時(shí)代表斜面傾角過大，說明平衡摩擦力過度；截距為負(fù)時(shí)代表斜面傾角過小，說明平衡摩擦力不足或者未平衡摩擦力。兩圖斜率都在變小并趨近于某個(gè)特定值；而且在自變量較小時(shí)都具有較好的線性。同時(shí)，若不考慮紙帶摩擦，兩圖像的截距和極值完全一致。本文有助于加深對(duì)實(shí)驗(yàn)的理解，進(jìn)行誤差分析。

參考文獻(xiàn)：

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[2]何述平.探究加速度與力和質(zhì)量關(guān)系的平衡摩擦研究[J].物理教師，2016，37（2）：29-31.

（欄目編輯 劉榮）