中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1003-6148(2025)4-0052-6
當(dāng)前,在國家“雙新\"教育改革的背景下,如何應(yīng)對“綜合性大和變式后難度明顯陡增\"這一情況成為了中學(xué)教師和學(xué)生亟需面對的一個(gè)問題[1。大多數(shù)高考試題都具有豐富的內(nèi)涵,而內(nèi)涵的隱蔽性使之通常可能存在于一個(gè)全新的情境當(dāng)中,也可能存在于一個(gè)輕描淡寫的題設(shè)當(dāng)中(如一些近似條件的設(shè)置),需要做題者進(jìn)行一般性情況下的探究。與此同時(shí),這些內(nèi)涵的抽象復(fù)雜性和物理圖景通常難以通過紙筆計(jì)算所明晰,而Mathematica這款數(shù)學(xué)軟件的存在便能在很大程度上解決這一問題。下面以2024年6月浙江省物理選考第9題為例進(jìn)行分析說明,探究其背后的橢圓擺微振動(dòng)問題內(nèi)涵,同時(shí)運(yùn)用Mathematica數(shù)學(xué)軟件展現(xiàn)此內(nèi)涵的清晰物理圖景。
1 原題呈現(xiàn)
例題如圖1所示,不可伸長的光滑細(xì)線穿過質(zhì)量為 0 . 1 k g 的小鐵球,兩端 懸掛在傾角為
的固定斜桿上,間距為
小球平衡時(shí),A端細(xì)線與桿垂直;當(dāng)小球受到垂直紙面方向的擾動(dòng)做微小擺動(dòng)時(shí),等效于懸掛點(diǎn)位于小球重垂線與 A B 交點(diǎn)的單擺,重力加速度
,則( )
A.擺角變小,周期變大
B.小球擺動(dòng)周期約為2s
C.小球平衡時(shí),A端拉力為√3
D.小球平衡時(shí),A端拉力小于 B 端拉力
2 題設(shè)中易被忽略的條件
本道高考題以細(xì)線穿球懸掛(“滑輪\"模型)等效成單擺模型的新穎情境,考查學(xué)生對共點(diǎn)力平衡的計(jì)算和單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)周期公式的綜合運(yùn)用情況。細(xì)線穿球懸掛的復(fù)雜情境中,運(yùn)用小球處于共點(diǎn)力平衡,求出繩長與相關(guān)角度的關(guān)系,屬于規(guī)律的運(yùn)用,是物理觀念水平4;小球在微小擾動(dòng)下可等效成單擺模型,求出相應(yīng)擺長,考查學(xué)生建立模型解決實(shí)際問題的能力,屬于物理思維水平 。
注意到上述題于中,命題者刻意給出了“當(dāng)小球受到垂直紙面方向的擾動(dòng)做微小擺動(dòng)時(shí),等效于懸掛點(diǎn)位于小球重垂線與 交點(diǎn)的單擺”這一條件。由于該條件的給出,此題A、B選項(xiàng)的解答過程可規(guī)避對細(xì)繩及小球的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。筆者與某校2025屆高三頭部班級(jí)的物理教師協(xié)調(diào)后,將此題選人其所在班級(jí)周測卷進(jìn)行實(shí)測,最終得分率在 8 8 % 左右(圖2)。然而,因?yàn)轭}目中這一明確告知替代學(xué)生完成了物理建模步驟,這也使得一部分學(xué)生在完成本題后進(jìn)行錯(cuò)誤歸納時(shí),忽略了其適用條件—“滑輪”模型,部分教師在模仿本題命制此類試題時(shí)也因此產(chǎn)生了錯(cuò)誤(如浙江省新陣地教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考第10題)。究其原因,是一部分學(xué)生和教師未對這一近似條件的近似合理性進(jìn)行深入探究、分析釋疑,未明晰其內(nèi)涵。
由于高考試題常常作為各類練習(xí)題設(shè)計(jì)的重要參考和學(xué)習(xí)基礎(chǔ),對于題目背景及其內(nèi)涵的不準(zhǔn)確理解必定會(huì)不可避免地影響高考題在教學(xué)中的作用,且不利于學(xué)生形成準(zhǔn)確的物理概念和全面的物理認(rèn)知。因此,對于這一類橢圓擺微振動(dòng)的近似合理性問題及其內(nèi)涵進(jìn)行探究,通過有效手段明晰難題內(nèi)涵是非常必要的。
3 試題分析建模
3.1 通用模型建模
設(shè)任意時(shí)刻小球所在位置為 P 點(diǎn) , A B 中點(diǎn)為原點(diǎn) o ,斜桿的傾角為 θ ,細(xì)繩長為 2 l 。結(jié)合本題中小球被細(xì)線穿過并懸掛這一特點(diǎn),可知
為一定值,同時(shí)根據(jù)二次曲面相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),P 點(diǎn)一定在一個(gè)以
兩點(diǎn)為焦點(diǎn)、焦距為 2 d =
構(gòu)成的一個(gè)傾斜的橢球面上。在通用模型建模的過程中,和高考原題有所不同的是,筆者不指定小球所受微擾動(dòng)的具體方向(即微擾動(dòng)的方向任意)。
以 x 軸為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)架,將 O x y z 坐標(biāo)系變換為OXYZ坐標(biāo)系,使得坐標(biāo)軸 Y 完全落在斜桿 所在直線上。在 o X Y Z 坐標(biāo)系中,設(shè)該傾斜的橢球面方程為
考慮轉(zhuǎn)動(dòng)過程,由線性代數(shù)的知識(shí)可得,由o x y z 坐標(biāo)系變換為 o X Y Z 坐標(biāo)系所利用的旋轉(zhuǎn)矩陣 R 為[3]
從而可得兩個(gè)坐標(biāo)系下各維度坐標(biāo)的變換關(guān)系為
代人原方程,可得在 坐標(biāo)系中,該傾斜的橢球面方程為
令 x = 0 ,可得到在微擾動(dòng)下小球在紙面上振動(dòng)所屬曲線的方程。其中,平衡位置當(dāng)且僅當(dāng)在 z 取到最小值時(shí)取得,也即此時(shí)該二次方程對于 y 的判別式為0,得到平衡位置的坐標(biāo) 后,便可以計(jì)算得到此處曲率圓的曲率半徑
將 代人 o x y z 橢球面方程表達(dá)式中,得到在微擾動(dòng)下小球在垂直于紙面方向進(jìn)行振動(dòng)的軌跡所屬曲線的方程(即振動(dòng)軌跡只是該方程
3.2用Mathematica軟件探究微擾動(dòng)下小球在紙面和垂直紙面方向上的振動(dòng)軌跡
無論是在垂直紙面方向還是在紙面上,微擾動(dòng)下,小球的振動(dòng)軌跡都十分復(fù)雜多變。對于傾角 θ 不同的斜桿,其軌跡也不相同,其中也蘊(yùn)含著一些相似性。筆者利用Mathematica軟件,對這些軌跡所屬的曲線方程進(jìn)行可視化。為了兼顧圖像的展現(xiàn)力和代表性,筆者在可視化的過程中取傾角0=
打開Mathematica軟件,新建筆記本,對紙面上的振動(dòng)軌跡所屬的曲線方程進(jìn)行可視化,輸入如下命令:
1=3*1.5/Sqrt[3]
d=1.5 x=0
(204 tourStyle - gt;
其中,Table表示對參量一定方式進(jìn)行枚舉,ContourPlot表示繪制隱函數(shù)圖(等高線圖),theta,thetaValues表示參量枚舉的范圍,這里表示的枚舉集合為thetaValues,即為 如果要研究更多的角度值,則將向thetaValues集合中加入那些更多的角度值即可。隨后,選中相應(yīng)命令行內(nèi)容,選擇“計(jì)算單元”,即可作出微擾動(dòng)下小球在紙面上的振動(dòng)軌跡所屬曲線的圖像。通過Show 函數(shù),筆者將
種情況下作出的圖像合并在一張圖中,如圖3所示。
(右側(cè)各圖例從上到下與左側(cè)各振動(dòng)軌跡所屬曲線沿 z 軸正方向從內(nèi)到外一一對應(yīng))
從圖中可以看出,斜面傾角 θ 的改變對小球在紙面上的振動(dòng)軌跡所屬曲線僅僅產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)的效果,其旋轉(zhuǎn)中心為 ( y , z ) = ( 0 , 0 ) 。也就是說,這一簇曲線存在一外包絡(luò)線,使得所有的振動(dòng)軌跡所屬曲線都內(nèi)切于這一曲線(包絡(luò)線)。容易從圖像直觀看出的是,這一外包絡(luò)線的形狀恰為一個(gè)以 ( y , z ) = ( 0 , 0 ) 為圓心,橢圓的半長軸長 為半徑的圓。這一外包絡(luò)線的理論求解也可以通過對以下方程組的嚴(yán)格推導(dǎo)得到
相類似,在對垂直紙面方向上的振動(dòng)軌跡所屬的曲線方程進(jìn)行可視化操作時(shí),仿照上述過程,新建一個(gè)筆記本,輸入如下命令即可:
同樣,通過Show 函數(shù),筆者也將 四種情況下作出的圖像合并在一張圖中,4如圖4所示。
在圖3、圖4的繪圖過程中,為了區(qū)分一簇曲線中的每一個(gè)曲線和明示曲線所在平面的不同,筆者對ContourPlot進(jìn)行了更多參數(shù)的配置。ContourStyle- - gt; ColorData[\"Rainbow\"][theta]表示在繪圖時(shí)運(yùn)用指定顏色樣式\"Rainbow\",并且將\"Rainbow\"樣式中的顏色以恰當(dāng)?shù)姆绞脚c不同傾角θ 值相映射。PlotLegends {Subscript[\"\[Theta]\",theta]表示為每條曲線的圖例給予一個(gè)下標(biāo)為對應(yīng)傾角 θ 值的標(biāo)注。Axes-gt;True,F(xiàn)rameLabel- Automatic則顯化了坐標(biāo)軸與坐標(biāo)軸的標(biāo)簽。
4通用模型對高考原題中近似的合理性 驗(yàn)證
根據(jù)高考原題中的近似條件,小球受到垂直紙面方向的擾動(dòng)做微小擺動(dòng)時(shí),其運(yùn)動(dòng)軌跡所屬曲線在 P 處的曲率半徑即應(yīng)當(dāng)為如下題設(shè)模型示意圖(圖5)當(dāng)中所標(biāo)注的 h 的長度。
由圖中所示幾何關(guān)系可得
解得
據(jù)此即可得到
由于高考原題題干中指出了微擾動(dòng)垂直于紙面方向,可以認(rèn)為小球在紙面上無運(yùn)動(dòng)軌跡。由此,接下來,筆者利用在3.2中得到的在微擾動(dòng)下小球在垂直于紙面方向進(jìn)行振動(dòng)的軌跡所屬的曲線在平衡位置(即 P 處)的曲率半徑公式對上述從題設(shè)近似條件出發(fā)得到的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。將斜桿傾角 代入推導(dǎo)出的公式中,得到
這與從題設(shè)近似條件出發(fā)得到的結(jié)果不謀而合。在更一般的任意角度 θ 和小球懸掛點(diǎn)任意的條件下,運(yùn)用題設(shè)近似條件和幾何關(guān)系(圖6),也同樣可以得到與推導(dǎo)出的公式相同的結(jié)果,也即
解得
這與在3.2中得到的在微擾動(dòng)下小球在垂直于紙面方向進(jìn)行振動(dòng)的軌跡所屬的曲線在平衡位置(即 P 處)的曲率半徑公式完全一致,也證明了題干中“當(dāng)小球受到垂直紙面方向的擾動(dòng)做微小擺動(dòng)時(shí),等效于懸掛點(diǎn)位于小球重垂線與AB交點(diǎn)的單擺”這一近似條件的合理性。
5結(jié)語
自浙江省新高考改革以來,物理選考選擇題的命題就一直秉持著“麻雀雖小,五臟俱全\"的理念,頗有特色。每一道高考題都深入考查了某一知識(shí)領(lǐng)域或某幾個(gè)知識(shí)領(lǐng)域,凝聚著命題者的智慧。這些題目表面上看起來平淡無奇,實(shí)際上卻有豐富的內(nèi)涵,深入探究便可以拓展得到更一般的結(jié)論或相關(guān)結(jié)論[4]
本文對橢圓擺微振動(dòng)問題進(jìn)行了詳細(xì)的一般性理論推導(dǎo),同時(shí)借助Mathematica數(shù)學(xué)軟件將人工難以描繪清晰的微振動(dòng)軌跡所屬曲線進(jìn)行了可視化,可視化的過程也具有很高的靈活度,能夠全參數(shù)可調(diào)。面對此類具有豐富內(nèi)涵的試題,在一般性理論推導(dǎo)的同時(shí)借助Mathematica數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行深入探究,即可為其建立起清晰的物理圖景和正確全面的認(rèn)知,從而滿載而歸。
參考文獻(xiàn):
[1]梁丞天,蔡施彤.假借軟件工具明晰難題內(nèi)涵—以2024年1月浙江省物理選考第19題為例[J].物理教學(xué),2024,46(8):22-24,43.
[2]中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[S].北京:人民教育出版社,2020.
[3]PharrM,HumphreysG.PhysicallyBasedRendering[M].SanFrancisco:MarganKaufmann,201O:54-105.
[4]李昌成.探究一道簡單高考題的豐富內(nèi)涵[J].理科考試研究,2019,26(11):5-7.
(欄目編輯 陳潔)