摘"要：“高等數(shù)學(xué)”作為一門公共基礎(chǔ)課，在大學(xué)課程體系中具有重要作用，其教學(xué)改革研究也是高校課程改革的一項(xiàng)重要內(nèi)容。本文旨在探究消防院校應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下“高等數(shù)學(xué)”混合式教學(xué)改革，改善“重理論知識(shí)，輕實(shí)踐應(yīng)用”的教學(xué)模式，構(gòu)建“消防案例”驅(qū)動(dòng)教學(xué)。隨后基于微積分基本定理，具體闡述教學(xué)改革理念，從林火蔓延問題導(dǎo)入，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，引導(dǎo)學(xué)生理解定理并解決實(shí)際問題，使其在學(xué)習(xí)過程中從消極轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極，從記憶轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄浚瑥慕邮苻D(zhuǎn)變?yōu)槔斫狻?/p>

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；混合教學(xué)；HPM；微積分基本定理；林火蔓延

中圖分類號(hào)：G642

Abstract：Advanced"Mathematics，as"a"public"foundation"course，plays"an"important"role"in"the"university"curriculum"system，and"its"teaching"reform"research"is"also"annbsp;important"content"of"the"reform"of"college"courses.This"paper"aims"to"explore"the"mixed"teaching"reform"of"advanced"mathematics"in"the"applicationoriented"talent"cultivation"mode"of"firefighting"colleges，improve"the"\"emphasizing"theoretical"knowledge，neglecting"practical"application\""teaching"mode，and"construct"\"fire"case\""driven"teaching.Then，based"on"the"basic"theorems"of"calculus，the"paper"expounds"on"teaching"reform"concept，starting"from"the"problem"of"forest"fire"spread，and"integrating"mathematical"history"into"teaching，guiding"students"to"understand"theorems"and"solve"practical"problems，so"that"they"can"transform"from"passive"to"active，from"memorization"to"exploration，and"from"acceptance"to"understanding"in"the"learning"process.

Keywords：Advanced"Mathematics；Blended"teaching；HPM；Fundamental"theorem"of"calculus；Forest"fire"spread

1"概述

消防院校旨在為消防隊(duì)伍輸送政治站位高、思想覺悟強(qiáng)、基礎(chǔ)理論扎實(shí)、實(shí)踐本領(lǐng)過硬的優(yōu)秀干部，全面提高消防實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用型人才培養(yǎng)?！案叩葦?shù)學(xué)”是消防院校理工專業(yè)必修的公共基礎(chǔ)課，其理論知識(shí)和數(shù)學(xué)思維是專業(yè)課的基礎(chǔ)，有助于提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。然而當(dāng)前消防院校在“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)模式上仍處于在傳統(tǒng)教學(xué)框架內(nèi)修修補(bǔ)補(bǔ)，主要問題可歸結(jié)為以下幾點(diǎn)：一是目前有限的課堂教學(xué)中，過于注重理論，應(yīng)用教學(xué)意識(shí)薄弱，無(wú)法有效契合專業(yè)內(nèi)容［1］。二是教學(xué)模式單一，課程思政融入刻板，評(píng)價(jià)機(jī)制不夠多元化。三是與專業(yè)相結(jié)合的應(yīng)用數(shù)字化資源儲(chǔ)備不足，實(shí)際案例與數(shù)學(xué)模型等資源有待更新。因此，針對(duì)消防應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下“高等數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)改革探究是必不可少的。

2"消防院?！案叩葦?shù)學(xué)”教學(xué)改革探究

針對(duì)當(dāng)前消防院校在“高等數(shù)學(xué)”課程中存在的主要問題，構(gòu)建消防應(yīng)用型人才培養(yǎng)下“高等數(shù)學(xué)”混合式教學(xué)模式，具體措施有如下幾點(diǎn)。

2.1"利用消防案例模型，開展三維立體教學(xué)模式

秉承“學(xué)生中心，目標(biāo)導(dǎo)向，持續(xù)改進(jìn)”的指導(dǎo)思想，明確教學(xué)內(nèi)容的專業(yè)應(yīng)用性，采用“消防案例模型”驅(qū)動(dòng)教學(xué)，構(gòu)建線上線下、課內(nèi)課外、理論實(shí)踐的三維立體教學(xué)平臺(tái)，探索基于BOPPPS、OBE等教學(xué)模式的多元化混合式教學(xué)改革路徑，按照“設(shè)計(jì)—問題—臺(tái)階—問題—產(chǎn)生”的流程，開展使學(xué)生“跳一跳，夠得著”的教學(xué)活動(dòng)，改善目前教學(xué)中“重理論知識(shí)，輕實(shí)踐應(yīng)用”的教學(xué)方式，將授課重點(diǎn)放在理論知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用及專業(yè)相關(guān)性上，通過與消防相關(guān)的實(shí)際案例，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，促進(jìn)培養(yǎng)應(yīng)用型人才。同時(shí)利用MATLAB、Geogebra等數(shù)學(xué)軟件的信息化和可視化功能對(duì)教學(xué)進(jìn)行輔助。

2.2"利用HPM思想開展思政教育

HPM思想于1972年在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上提出，采用數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合教學(xué)［2］。消防院校在培養(yǎng)應(yīng)用型人才的過程中利用HPM思想開展思政教育，可改善目前教學(xué)中數(shù)學(xué)思想、思政內(nèi)容融入缺失、刻板，學(xué)生倦怠學(xué)習(xí)的問題，構(gòu)建基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)豐富的文化內(nèi)涵，體會(huì)深刻的人生哲理，德智相輔相成，協(xié)調(diào)發(fā)展。

2.3"設(shè)置多樣化教學(xué)評(píng)價(jià)

在課前、課中、課后三個(gè)環(huán)節(jié)中，設(shè)置多種評(píng)價(jià)方式，包括過程性評(píng)價(jià)、自我評(píng)價(jià)、學(xué)生互評(píng)等，如圖1所示。同時(shí)為學(xué)生提供便捷的實(shí)時(shí)反饋渠道，如設(shè)置教學(xué)反饋表，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，更好地滿足學(xué)生的發(fā)展需求。

圖1

3"消防院?！案叩葦?shù)學(xué)”教學(xué)改革應(yīng)用

“高等數(shù)學(xué)”課程中的一個(gè)核心內(nèi)容是微積分基本定理，它從萌芽到成熟歷經(jīng)千年，蘊(yùn)含豐富且重要的數(shù)學(xué)思想。微分學(xué)將復(fù)雜問題分割成無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)單部分，積分學(xué)則將這些部分重新組合以解決更復(fù)雜的問題［3］，連接微分與積分的正是微積分基本定理。因此，緊抓微積分基本定理這條主線，有利于學(xué)生對(duì)各種積分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。本文以微積分基本定理為例，按照“以學(xué)生為中心，以教師為主導(dǎo)，以能力為目標(biāo)”的教學(xué)理念，通過課前、課中、課后開展消防應(yīng)用型人才培養(yǎng)的混合式教學(xué)。

3.1"課前

首先，在雨課堂上設(shè)置練習(xí)：比較∫10x2dx，∫10x3dx的大小，并嘗試計(jì)算∫10x3dx。讓學(xué)生回顧定積分的性質(zhì)，鞏固利用定義計(jì)算積分，為本節(jié)學(xué)習(xí)提供提前思考的環(huán)境。其次，通過MOOC等視頻講解，讓學(xué)生鞏固舊知（不定積分的計(jì)算、定積分定義與性質(zhì)），了解新知（通過查閱文獻(xiàn)、觀看視頻了解積分學(xué)發(fā)展歷程），既做到溫故知新，又提前對(duì)本節(jié)知識(shí)建立較為完整的內(nèi)容框架，在整體中初步認(rèn)識(shí)本節(jié)內(nèi)容，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生在課堂上更快進(jìn)入狀態(tài)。

3.2"課中

課中采用“BOPPPS+HPM”教學(xué)模式。BOPPPS教學(xué)模式在20世紀(jì)70年代初被首次提出，包括導(dǎo)入、學(xué)習(xí)目標(biāo)、前測(cè)、參與式學(xué)習(xí)、后測(cè)、總結(jié)六個(gè)階段，其以學(xué)生為中心、以問題為導(dǎo)向的探究式學(xué)習(xí)能夠有效提高學(xué)生的參與度，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)［4］。本文基于微積分基本定理的內(nèi)容，在BOPPPS教學(xué)模式下融入HPM思想，即從該節(jié)內(nèi)容在歷史上最初的形態(tài)入手，在各階段中融入數(shù)學(xué)史，將其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和思政內(nèi)容滲透至理論知識(shí)，推進(jìn)高數(shù)混合式教學(xué)。

3.2.1"導(dǎo)入

利用消防火災(zāi)案例進(jìn)行導(dǎo)入。林火蔓延的常見情形之一是地形平坦、風(fēng)速較大且風(fēng)向不變，此時(shí)火場(chǎng)會(huì)呈現(xiàn)橢圓形，其中火頭前進(jìn)方向與風(fēng)向一致，是火擴(kuò)展蔓延最快的部位；火尾前進(jìn)方向和風(fēng)向相反，是火場(chǎng)中蔓延較慢、火勢(shì)較弱的部位；火翼前進(jìn)方向與風(fēng)向有近于垂直的夾角，火勢(shì)強(qiáng)弱和蔓延速度介于火頭和火尾之間［5］。在此基礎(chǔ)上引出問題：有一火場(chǎng)火頭蔓延速度為3.5km/h，火尾蔓延速度為0.5km/h，火翼蔓延速度為1km/h，求1小時(shí)后該火場(chǎng)面積S為多少？

學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)，利用定積分定義難以求解此問題，需要尋求新的方法，從而引出本節(jié)內(nèi)容。該導(dǎo)入針對(duì)消防院校專業(yè)性，從實(shí)際問題入手，將高數(shù)理論知識(shí)應(yīng)用于專業(yè)領(lǐng)域中，激發(fā)學(xué)生的探索熱情，為后續(xù)教學(xué)提供積極的課堂氛圍。

3.2.2"學(xué)習(xí)目標(biāo)

建立四維目標(biāo)體系。知識(shí)維度：理解積分上限函數(shù)的概念及求導(dǎo)，掌握利用微積分基本定理計(jì)算定積分。能力維度：培養(yǎng)應(yīng)用微積分基本定理解決實(shí)際問題的能力。素質(zhì)維度：培養(yǎng)化整為零、以直代曲的思想，建立微觀與宏觀的聯(lián)系橋梁。思政維度：體會(huì)無(wú)窮思維、積分思維在高數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)持真理、不懈探索、追求創(chuàng)新的品質(zhì)。

3.2.3"前測(cè)

通過課前環(huán)節(jié)的內(nèi)容設(shè)置，根據(jù)數(shù)據(jù)反饋了解學(xué)情，以便有效安排后續(xù)教學(xué)。

3.2.4"參與式學(xué)習(xí)

將班級(jí)學(xué)生分成五組，每組成員的學(xué)習(xí)情況大致相同，都有好、較好、一般三個(gè)等級(jí)的學(xué)生。教師引導(dǎo)學(xué)生組內(nèi)探討，而后每組派代表進(jìn)行匯報(bào)，鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力、協(xié)作能力。

不失一般性，選取連續(xù)函數(shù)y=y（x），計(jì)算由直線x=a，x=b，x軸以及曲線y=y（x）構(gòu)成的曲邊梯形的面積，如圖2所示。

圖2

3.2.4.1"步步為營(yíng)

利用問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法，從學(xué)生熟悉的曲邊梯形入手，基于數(shù)學(xué)家牛頓發(fā)現(xiàn)微積分基本定理的探究過程，重現(xiàn)定理誕生的最初形態(tài)，逐層遞進(jìn)，引出定理。

教師：圖2中灰色區(qū)域的面積與自變量x有什么關(guān)系？如何用定積分表示灰色區(qū)域的面積？

學(xué)生：隨著自變量x向右移動(dòng)，灰色面積不斷增加，且每一個(gè)x的取值對(duì)應(yīng)著唯一的灰色區(qū)域，因此可將該灰色面積看作x的函數(shù)，記為A（x），簡(jiǎn)稱面積函數(shù)。利用所學(xué)知識(shí)可得：

A（x）=∫xay（t）dt"（a≤x≤b）（1）

教師：強(qiáng)調(diào)面積函數(shù)A（x）又稱為積分上限函數(shù)，且右端積分中，積分變量是t，得到的積分值是關(guān)于x的函數(shù)。思考積分上限函數(shù)A（x）的增加速率是多少？

學(xué)生：無(wú)窮小的時(shí)間內(nèi)，x向右移動(dòng)無(wú)窮小距離dx，曲線所對(duì)應(yīng)的y值幾乎不變，因此，可以將在無(wú)窮小時(shí)間內(nèi)面積的增量看作一個(gè)矩形的面積，其底邊長(zhǎng)為dx，高為y，所以面積增量dA=ydx，即為dAdx=y，因此積分上限函數(shù)A（x）的導(dǎo)數(shù)是曲線y（x）［3］，即A（x）是y（x）的一個(gè)原函數(shù)。

教師：如何求曲邊梯形的面積？

學(xué)生：將（1）式中的x換成b，可得A（b）=∫bay（t）dt，利用A（a）=∫aay（t）dt=0，可得曲邊梯形面積為：

∫bay（t）dt=A（b）－A（a）（2）

此時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)定積分的求解，可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)原函數(shù)——積分上限函數(shù)增量的過程。

教師：是否y（x）的任意一個(gè)原函數(shù)F（x）都滿足等式（2）？

學(xué)生：由不定積分內(nèi)容可得F（x）－A（x）=C，其中C為任意常數(shù)，a≤x≤b，代入（2）式有：

∫baf（x）dx=F（b）－F（a）

該環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生逐步探索、總結(jié)，體會(huì)從動(dòng)態(tài)視角解決靜態(tài)幾何問題。利用面積問題的幾何視角引出微積分基本定理，降低抽象性，直觀體會(huì)其中蘊(yùn)含的無(wú)窮、累積等微積分思想。

3.2.4.2"開花結(jié)果

教師引導(dǎo)學(xué)生得到微積分基本定理的完整內(nèi)容［6］：如果函數(shù)F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）在［a，b］上的一個(gè)原函數(shù)，則

∫baf（x）dx=F（b）－F（a）（3）

3.2.4.3"小試牛刀

計(jì)算定積分∫10x2dx，∫10x3dx。這與課前雨課堂練習(xí)相呼應(yīng)，屬于基礎(chǔ)能力測(cè)試，讓學(xué)生用微積分基本定理計(jì)算，及時(shí)達(dá)到學(xué)以致用的效果。

3.2.4.4"合作共贏

小組探究一：解決導(dǎo)入中的林火蔓延問題。

學(xué)生：1小時(shí)后火場(chǎng)邊緣可近似用橢圓描述，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2，即得該橢圓方程為x24+y2=1，且關(guān)于x軸、y軸都對(duì)稱。則該橢圓圍成圖形的面積S=4A1，其中A1為該橢圓在第一象限部分與兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積，因此S=4A1=4∫20ydx，其中y滿足該橢圓參數(shù)方程：

x=2cost，

y=sint"（0≤t≤π2）（4）

因此，可仿照不定積分中的換元法，注意定積分需要考慮積分限的取值，當(dāng)x從0變到2時(shí)，t由π2變到0，結(jié)合dx=－2sintdt，可得：

S=4∫0π2sint（－2sint）dt=－8∫0π2sin2tdt

=8∫π2012（1－cos2t）dt=（4t－2sin2t）π20=2π

因此，1小時(shí)后該火場(chǎng)面積為2πkm2。

此探究能夠鞏固學(xué)生的積分計(jì)算能力，使其了解定積分與不定積分換元法的異同點(diǎn)，體會(huì)利用該定理解決消防實(shí)際問題的過程，培養(yǎng)其應(yīng)用能力，為后續(xù)課程奠定基礎(chǔ)。

小組探究二：證明積分中值定理［6］。

若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使∫baf（x）dx=f（ξ）（b－a）。

上題留作課后小組思考題，鍛煉學(xué)生的分析能力、邏輯能力，體會(huì)積分中值定理與微分中值定理的聯(lián)系。

3.2.4.5"歷史拓展

拓展一：師生共同整理微積分基本定理的歷史進(jìn)程，如表1所示。利用HPM思想進(jìn)行思政教育，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是一門來(lái)源于生活、不斷演進(jìn)的學(xué)科，體會(huì)知識(shí)的獲取不是一帆風(fēng)順，凡事都需要持之以恒。

拓展二：表1中介紹萊布尼茨是利用類似高中所學(xué)的“裂項(xiàng)相消”的方法證明了微積分基本定理。學(xué)生課后以小組為單位，查找相關(guān)資料，了解萊布尼茨發(fā)現(xiàn)微積分基本定理的過程，體會(huì)同一問題的不同解決策略。

3.2.5"后測(cè)

從本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)出發(fā)，針對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)，結(jié)合實(shí)際學(xué)情，以教材例題、課后習(xí)題為主要內(nèi)容，采用線上線下方式進(jìn)行測(cè)驗(yàn)。課上利用雨課堂小測(cè)，及時(shí)掌握學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)情況。課下一方面以小組的形式對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行梳理，另一方面以個(gè)人形式開展習(xí)題訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作、獨(dú)立思考的能力。

3.2.6"總結(jié)

（1）幫助學(xué)生回顧課堂教學(xué)內(nèi)容，總結(jié)應(yīng)當(dāng)獲得的三層體會(huì)：①微積分基本定理表明一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間［a，b］上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間［a，b］上的增量［6］。②微積分本質(zhì)思想是將復(fù)雜問題無(wú)窮分解，直至無(wú)限多個(gè)微小簡(jiǎn)單且可以處理的部分，該數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)習(xí)后續(xù)積分知識(shí)、處理實(shí)際問題起到重要作用。③學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家鍥而不舍的精神，明白知識(shí)的獲取不能一蹴而就，有波折是常事，要不斷累積與優(yōu)化。

（2）圖3利用幾何形式直觀展現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)性地建立導(dǎo)數(shù)、不定積分與定積分的三者關(guān)系，體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，加深對(duì)微分與積分的理解：①正向問題：已知一條曲線，求其各處的斜率。②反向問題：已知一條曲線各處的斜率，求這條曲線。③面積問題：已知一條曲線，求曲線下方的面積［3］。

3.3"課后

知識(shí)鞏固：學(xué)生在24小時(shí)內(nèi)整理學(xué)習(xí)內(nèi)容并通過雨課堂上傳課堂小結(jié)。同時(shí)，教師建立題庫(kù)，設(shè)置不同難度的習(xí)題，滿足不同程度的學(xué)生學(xué)習(xí)需求。此外，教師還應(yīng)向?qū)W生推送與其專業(yè)相關(guān)的文獻(xiàn)，堅(jiān)持產(chǎn)出導(dǎo)向。

評(píng)價(jià)反饋：在各小組中指定一名流動(dòng)組長(zhǎng)，針對(duì)此次教學(xué)內(nèi)容，開展自評(píng)與互評(píng)，評(píng)價(jià)指標(biāo)為理論知識(shí)、計(jì)算能力、應(yīng)用能力等，自評(píng)在雨課堂上完成，小組互評(píng)由組長(zhǎng)對(duì)組內(nèi)成員分別評(píng)價(jià)，填入表2。針對(duì)課堂和教師的教學(xué)反饋，由組長(zhǎng)搜集組內(nèi)意見，在雨課堂討論區(qū)中探討，以便改善教學(xué)效果。

結(jié)語(yǔ)

本文討論消防應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下“高等數(shù)學(xué)”混合式教學(xué)改革，從應(yīng)用角度出發(fā)，實(shí)行“消防案例模型”驅(qū)動(dòng)教學(xué)，具有授課導(dǎo)入新、教學(xué)理念新、思政點(diǎn)融入新的特點(diǎn)。并通過微積分基本定理具體闡述教學(xué)理念，將高數(shù)理論知識(shí)應(yīng)用于消防問題中，學(xué)生從被動(dòng)接受知識(shí)到主動(dòng)探尋知識(shí)，使教師從主動(dòng)灌輸知識(shí)轉(zhuǎn)而成為問題的設(shè)計(jì)者和引導(dǎo)者，更好地達(dá)到應(yīng)用型高校的教學(xué)目標(biāo)。

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基金項(xiàng)目：中國(guó)消防救援學(xué)院教育教學(xué)改革項(xiàng)目“消防救援人才培養(yǎng)模式下《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)模式改革實(shí)踐探究”（項(xiàng)目編號(hào)：2024JXMS02）

作者簡(jiǎn)介：王佳欣（1995—"），女，漢族，山西太原人，博士研究生，講師，研究方向?yàn)槲⒎址匠潭ㄐ岳碚摷皹O限環(huán)分支、高等數(shù)學(xué)教育。