以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)需要大單元的教學(xué)設(shè)計[1]，伴隨著課改的深人，大單元教學(xué)受到廣大教師的關(guān)注.大單元教學(xué)主張借助大觀念、大問題或大項目按照學(xué)習(xí)邏輯構(gòu)建相對獨立且完整的學(xué)習(xí)事件，以實現(xiàn)整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展，這既是學(xué)科核心素養(yǎng)落地的自然需求，也是課堂教學(xué)的應(yīng)然追求.本文以“恒成立的綜合問題”為載體，探究大單元視角下高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的實踐與思考。

1.教學(xué)案例

《恒成立的綜合問題》這一單元在復(fù)習(xí)時需要串聯(lián)四個知識點的綜合：與恒成立有關(guān)的概念辨析；函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）中的恒成立問題；數(shù)列中的恒成立問題；解析幾何中的恒成立問題.復(fù)習(xí)課設(shè)計要體現(xiàn)出知識回顧到能力提升的目標(biāo)。

1. 1 與恒成立有關(guān)的概念辨析

例1 （2022·新高考乙卷文科第16題）若 f （ x ） 是奇函數(shù)，則 $b = ＼_$

解法1 因為 由 f （ x ） （20 是奇函數(shù)得

1 時，即 ，因為上式恒成立，所以（a + 1）2e2 ，解得 當(dāng) 時，即（202 ，因為上式恒成立，所以 ，無解.

綜上所述，

解法2 因為函數(shù) 為奇函數(shù)，所以其定義域 I 關(guān)于原點對稱.顯然 于是可知 當(dāng) x = - 1 時， ，從而 即 ，所以 再由 f （ 0 ） = 0 可得 當(dāng) 時， ，在定義域內(nèi)滿足 f （ - x ） = - f （ x ） ，從而f （ x ） 是奇函數(shù)

跟蹤訓(xùn)練1（蘇教版[2]普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修第一冊114頁練習(xí)第8題》）判斷下列說法是否正確：

（1）若定義在 R 上的函數(shù) f （ x ） 滿足 f （ 2 ） gt; f （ 1 ） ，則函數(shù) f （ x ） 是 R 上的增函數(shù)；

（2）若定義在 R 上的函數(shù) f （ x ） 滿足f（2）gt;f （ 1 ） ，則函數(shù) f （ x ） 在 R 上不是減函數(shù)；

（3）若定義在 R 上的函數(shù) f （ x ） 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上也是增函數(shù)，則函數(shù) f （ x ） 在 R 上是增函數(shù)；（4）若定義在 R 上的函數(shù) f （ x ） 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 （ 0 ， + ∞ ） 上也是增函數(shù)，則函數(shù) f （ x ） 在 R 上是增函數(shù).

解函數(shù)的單調(diào)性是一個恒成立概念，以單調(diào)遞增為例：對于 ，當(dāng) 時，都有函數(shù) ，那么就稱函數(shù) f （ x ） 在 D 上單調(diào)遞增.“任意”、“都有”這兩關(guān)鍵詞表明這是一個不等式恒成立問題，范圍限制在 D ，即單調(diào)遞增是在 D 上恒成立，這表明單調(diào)性反映的是函數(shù)的一個局部性質(zhì).因此，要保證函數(shù)單調(diào)性就必須保證在 D 上恒成立，而否定單調(diào)性，主要否定恒成立，只需要找到反例即可.所以（1）（4）錯誤，（2）（3）正確。

設(shè)計意圖 從函數(shù)的單調(diào)性概念、奇偶性概念的定義可以看出它們都是一個恒成立概念，它們的區(qū)別在于三點：（1）單調(diào)性反映的是函數(shù)在定義域某個區(qū)間上的局部性質(zhì)，奇函數(shù)反映的是函數(shù)的整體性質(zhì)；（2）單調(diào)性反映的是滿足一定條件下的不等式恒成立問題，而奇偶性反映的是滿足一定條件下的等式恒成立問題.（3）奇偶性反映的是一個單變量恒成立；單調(diào)性反映的是一個雙變量恒成立問題.試題的設(shè)置旨在提升學(xué)生從恒成立這一視角整體審視已學(xué)的數(shù)學(xué)概念、公式、定理的能力及感悟常用邏輯用語中的量詞與數(shù)學(xué)嚴謹性關(guān)系，在試題的解決過程中，掌握基于定義解題的一般方法，同時又能體會基于必要性成立而采用先特殊值探路再檢驗充分性這一重要方法，從而訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性.在問題的分析與解決過程中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)。

1.2 函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）中的恒成立問題

在上一個關(guān)于恒成立的模塊中，主要通過對函數(shù)的基本性質(zhì)，如單調(diào)性與奇偶性等的考察，讓學(xué)生體會恒成立、能成立概念，掌握用概念、定義解決恒成立問題.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中恒成立問題是進階學(xué)習(xí)的重點，也是高考數(shù)學(xué)考察的重點，所以圍繞函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中恒成立問題開展理論和實踐教學(xué)也就成為高三復(fù)習(xí)課的自然需求。

例2已知函數(shù) （其中 為常數(shù)），其圖象是曲線

（1）當(dāng) 時，求函數(shù) f （ x ） 的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù) f （ x ） 的導(dǎo)函數(shù)為 ，若存在唯一的實數(shù) ，使得 與 同時成立，求實數(shù) b 的取值范圍；（3）已知點 A 為曲線 C 上的動點，在點 A 處作曲線 c 的切線 與曲線 c 交于另一點 B ，在點 B 處作曲線 的切線 ，設(shè)切線 的斜率分別為 問：是否存在常數(shù) λ ，使得 ？若存在，求出 λ 的值；若不存在，請說明理由.

解（1）（2）略；

（3）設(shè) ，則函數(shù)在點 A 處切線方程為 ，與曲線 C ： y = f （ x ） 聯(lián)立方程組得 ，即 ，所以 （20 由題意知 若存在常數(shù) λ ，使得 ，則 （204號 恒成立，即 恒成立，所以存在常數(shù) λ 使得 解得

跟蹤訓(xùn)練2（2024年新高考全國 卷第8題）設(shè)函數(shù) ，若 f （ x ） ≥ 0 ，則 的最小值為（ ）.

解 f （ x ） ≥ 0 恒成立，從代數(shù)上即函數(shù)值非負，從幾何上來看，即函數(shù) 圖像上沒有點位于x 軸下方.觀察發(fā)現(xiàn) y = f （ x ） 是由兩個函數(shù) 與 構(gòu)成，而要保證 y = f （ x ） 函數(shù)值非負，即要求 與 同號，在幾何上即要求兩函數(shù)圖像與 x 軸交點的橫坐標(biāo)相等，所以 - a = 1 - b ，即 b = a + 1 ，則 當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，所以 的最小值子 故選

設(shè)計意圖 函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）中的恒成立問題大體可以分為等式恒成立與不等式恒成立.主要從代數(shù)與幾何兩個方面去解決.以等式恒成立問題解決為例，要善于將其等價轉(zhuǎn)化為某個變量的恒成立，繼而利用對應(yīng)系數(shù)相等，建立方程并解方程.當(dāng)然基于靈活性，也可以先對變量賦值，采用“特值引路”，即先尋求恒成立的必要條件，再保證充分條件，從而完成充要性證明.對于不等式恒成立則經(jīng)常采用“特值引路”，但若能從幾何角度出發(fā)，即從函數(shù)圖像上思考，對于問題的解決，往往思路更清晰，過程更簡潔，計算更準(zhǔn)確。

1.3 數(shù)列中的恒成立問題

前面研究了函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）中的恒成立問題的解決方法，而數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此，對數(shù)列中恒成立問題的研究也是自然的

例3（2021全國文科甲卷18題）記 為數(shù)列 的前 n 項和，已知 ，且數(shù)列 是等差數(shù)列，證明： 是等差數(shù)列.

析解 問題的解決關(guān)鍵在于條件與結(jié)論的理解，事實上條件是恒成立等式，所證結(jié)論也是恒成立等式，因此，只要能求出 ，則 自然得到.問題也就自然解決了.數(shù)列 是等差數(shù)列，即 1 由此看出 是一個關(guān)于 n 的恒成立等式，而由于 表達式不明確，因此，采用“特值引路”方法對 n 賦值.令 n = 1 ，則 ，所以 ，所以 ；當(dāng) n ？ 2 時，有 由 ① ② 得 ，經(jīng)檢驗，當(dāng) 時也滿足③ 所以 ，當(dāng) n ？ 2 時， ，所以數(shù)列 是等差數(shù)列.

跟蹤練習(xí)3（2021年浙江卷20題）已知數(shù)列 的前 n 項和為 且

（1）求數(shù)列 的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列 滿足 ），記 的前 n 項和為 若 對任意 n 恒成立，求實數(shù) λ 的取值范圍.

答案 ；（2）-3≤λ≤1.

設(shè)計意圖對于題目中條件中沒有明顯恒成立字眼的題目，要善于挖掘概念、條件中蘊含的恒成立信息，譬如，例3中的等差數(shù)列概念本質(zhì)上就是一個恒成立條件.恒成立問題是培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)試題中條件的分析、理解、轉(zhuǎn)化能力的一個腳手架，因為大量的數(shù)學(xué)知識中都蘊含著恒成立信息，如周期性、最值概念、基本不等式、線面垂直的概念、橢圓、雙曲線、拋物線的定義、等差數(shù)列、等比數(shù)列概念與通項公式、平面向量基本定理等等。

1.4 解析幾何中的恒成立問題

在高中數(shù)學(xué)解析幾何中經(jīng)常研究定點定值問題，或者所求目標(biāo)恒小于給定值等問題，本質(zhì)上都屬于恒成立問題.因此自然想到將恒成立與解析幾何綜合起來的問題。

例4（2024年天津卷18題）已知橢圓 = 1 （ a gt; b gt; 0 ） 的離心率 左頂點為 A ，下頂點為 是線段 的中點，其中

（1）求橢圓方程；

（2）過點 的動直線與橢圓有兩個交點 P ， Q . 在 y 軸上是否存在點 T 使得 恒成立.若存在求出這個 T 點縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由.

解（1）易得橢圓方程為

（2）若過點 的動直線的斜率存在，則 可設(shè)該直線方程為 設(shè) ， ， ， 由 可得 ，故

且 = 3+4k2，而TP = （x，1-1），（204號 ，故 （2號 ，因為 恒成立，故

（204號

解得 （204號

若過點 的動直線的斜率不存在，則 P （ 0 ， 3 ） ， Q （ 0 ， - 3 ） 或 P （ 0 ， - 3 ） ， Q （ 0 ， 3 ） ，此時需 - 3 ？ t ？ 3 ，兩者結(jié)合可得 （202

綜上，存在 使得Tp.TQ≤0恒成立.

鞏固訓(xùn)練4 已知橢圓 E 的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為 x 軸 軸，且過 兩點（1）求 E 的方程；（2）設(shè)過點 P （ 1 ， - 2 ） 的直線交 E 于 M ， N 兩點，過 M 且平行于 x 軸的直線與線段A B 交于點 T ，點 H 滿足 證明：直線 H N 過定點

解（1）易得 E 的方程為 ，所以 （20號 ① 若過點 P （ 1 ， - 2 ） 的直線斜率不存在，直線 x 代人 得 代入 A B 方程 x-2，得T（√6+3，2√） 由MT 得到 .求得 H N 方程 y = （ 2 ，過點（0，-2）.

② 若過點 P （ 1 ， - 2 ） 的直線斜率存在，設(shè) k x - y

（20號 （20

聯(lián)立 得

，可得

聯(lián)立 $＼left＼{ { ＼begin{array} { l } { ＼displaystyle y = y _ { 1 } ， } ＼＼ { ＼displaystyle } y = ＼frac { 2 } { 3 } x - 2 ， } ＼end{array} ＼right.$ （204

可得 .可求得此時

將 （ 0 ， - 2 ） ，

代人整理得

，將 代人得

，顯然成立.

綜上，可得直線 H N 過定點（0，-2）。

設(shè)計意圖求定點、定值問題是解析幾何中常見的恒成立問題，基本的解決方法有兩種： ① 從特殊入手，求出定點、定值，再證明這個定點、定值與變量無關(guān)； ② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.對于求解解析幾何中的恒小于（大于）給定值問題，則需要將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為變量的函數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒小于（大于）給定值問題.解析幾何中的恒成立問題，綜合性強，難度大，主要考察學(xué)生對問題的理解、轉(zhuǎn)化能力，并綜合了代數(shù)推理能力及計算能力，是解析幾何考查的重要領(lǐng)域。

2 教學(xué)啟示

教師應(yīng)以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，而主題、單元教學(xué)是本次課改強調(diào)的一個重點，因此，大單元教學(xué)設(shè)計時要探索通過怎樣的途徑能夠引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握知識技能的同時，感悟知識的本質(zhì)，實現(xiàn)教育價值.教師不能照本宣科地教教材，特別是在高三復(fù)習(xí)階段，要從課時教學(xué)設(shè)計走出來，將關(guān)聯(lián)性強、邏輯性連貫的知識凝練和提升，將其轉(zhuǎn)化、重組為有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)大單元所建構(gòu)的大單元教學(xué)，從教學(xué)內(nèi)容上要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，主要體現(xiàn)在以下三點：

（1）同一主題內(nèi)容中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性，主要包括一個內(nèi)容的不同認識層次、不同角度的認識之間內(nèi)在的一致性、關(guān)聯(lián)性，以及認識不同方面內(nèi)容所采用的類似過程與思想方法；（2）整合具有內(nèi)在聯(lián)系的不同內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性；（3）不同數(shù)學(xué)思想與方法之間相互融合，形成具有統(tǒng)一性、內(nèi)在一致性的數(shù)學(xué)一般觀念，這是最高層面上體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性，其統(tǒng)攝性最強、適用性最廣。

所建構(gòu)的大單元教學(xué)，在編制單元目標(biāo)時教師要依據(jù)學(xué)習(xí)結(jié)果分類的理論為教學(xué)目標(biāo)定性，并據(jù)此陳述目標(biāo).無論陳述的是單元目標(biāo)還是課時目標(biāo)，教師都必須注意：（1）目標(biāo)陳述的必須是學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果（即行為的主體必須是學(xué)生）；（2）目標(biāo)陳述必須明確、具體，最好用“學(xué)生能夠（或?qū)W會） 動詞 名詞”的方式予以陳述；（3）應(yīng)注意單元教學(xué)目標(biāo)與課時教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)在一致性，能闡述提出教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)，能體現(xiàn)“分析”的思維要素，（4）教學(xué)目標(biāo)的具體表述要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)融人教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程。

所建構(gòu)的大單元教學(xué)，在教學(xué)過程設(shè)計上主要以“問題串”方式呈現(xiàn)，而且“問題串”就是整節(jié)課的教學(xué)主線.所提出的問題應(yīng)當(dāng)注意適切性，主要衡量標(biāo)準(zhǔn)為：（1）反映內(nèi)容的本質(zhì)；（2）在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)；（3）具有可發(fā)展性，使學(xué)生能從模仿過渡到自主提問。

課程標(biāo)準(zhǔn)、教材屬于“理想課程”，需要通過課堂教學(xué)才能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)育人的行動.課堂教學(xué)是落實落實核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，大單元教學(xué)使得課堂教學(xué)不僅適應(yīng)不同層次的學(xué)生，同時基于大問題、大任務(wù)引導(dǎo)幫助學(xué)生樹立整體性、結(jié)構(gòu)化觀念，提升應(yīng)對復(fù)雜情境、綜合情境分析能力，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光分析、與解決問題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能。

參考文獻

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