1. 引言

數(shù)學(xué)思想方法是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，基于數(shù)學(xué)內(nèi)容又高于數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種隱性知識(shí)，一種數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法，要在反復(fù)學(xué)習(xí)和體驗(yàn)中才能認(rèn)識(shí)、理解、掌握和運(yùn)用.正因?yàn)槿绱?，我們需要反?fù)地研究習(xí)題，通過(guò)習(xí)題挖掘其內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法，從而達(dá)到內(nèi)化和提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

本文通過(guò)實(shí)例分析在具體解題時(shí)是從分解開始，還是從綜合開始，探究解題教學(xué)中應(yīng)重視分解、綜合思想的滲透和運(yùn)用。

2.實(shí)例分析

例1 （2023年全國(guó)Ⅰ卷概率壓軸題，節(jié)選）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若沒(méi)命中則換為對(duì)方投籃，無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中均為0.6，乙每次投籃命中均為0.8.由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的是甲，乙的概率各為0.5，求第 i 次投籃的人是甲的概率

分析設(shè)第 i 次投籃的是甲為事件 ，則 與 為樣本空間 的一個(gè)劃分，樣本空間中任意一事件 B ，可由 與 來(lái)表示，即 ，因此可 B 分解成 與 之和，繼而概率 可分解成 與 之和。

解不妨設(shè)第 i 次投籃的是甲為事件 ， ，設(shè) ，則 與 共同構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，因此 $＼begin{array}{c} ＼begin{array} { r c l } { P （ A _ { i } A _ { i + 1 } ） } amp; { + } amp; { P （ ＼overline { { A _ { i } } } A _ { i + 1 } ） } ＼end{array} = ＼begin{array} { r c l } { P （ A _ { i } ） P （ A _ { i + 1 } } amp; { | } amp; { A _ { i } ） } amp; { + } ＼end{array} ＼end{array}$ 因此 是以 為首項(xiàng)，公比 的等比數(shù)列， 即， （20

評(píng)析 全概率公式 隱含了分解與綜合的思想，從解題上看，更多體現(xiàn)分解思想，它的主要用途是把復(fù)雜事件拆分為多個(gè)簡(jiǎn)單的事件和來(lái)計(jì)算，具有化繁為簡(jiǎn)功能。

例2 （2023年全國(guó)乙卷，理）已知橢圓 c 的離心率是 ，點(diǎn) A （ - 2 ， 0 ） 在C 上.（1）求 C 的方程；（2）過(guò)點(diǎn)（-2，3）的直線交 c 與點(diǎn) P ， Q 兩點(diǎn)，直線 與 y 軸的交點(diǎn)分別為 M ，N . 證明：線段 M N 的中點(diǎn)為定點(diǎn)。

分析若設(shè)直線 A M ， A N 方程分別為 + 2 】， ， 則 M N 的中點(diǎn)縱坐標(biāo)可由兩直線斜率來(lái)表示。

解（1）易得 （過(guò)程略）.

（2）直線 A M ， A N 的斜率顯然存在，設(shè)其方程分別為 記點(diǎn)

B （ - 2 ， 3 ） ，令 x = 0 ，得 ， M N 的中點(diǎn)（0，+k）.由{=h（（x +2）， 得 ，則得 .同理可得

.由 三點(diǎn)共線可得 ，綜上所述 M N 的中點(diǎn)（0，3）為定點(diǎn)。

評(píng)析點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成點(diǎn)，本題運(yùn)用后者，動(dòng)直線 斜率）生成動(dòng)點(diǎn) P ， Q ， M ， N ，因此，題目所有變量均可由兩直線斜率來(lái)表示，本題所求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)可分解成兩斜率之和。

例3 （2024年九省聯(lián)考第11題）以maxM表示數(shù)集中最大的數(shù).設(shè) 0 lt; a lt; b lt; c lt; 1 ，已知 b ？ 2 a 或 a + b ？ 1 ，則 的最小值為

分析 由于所有約束不等式和 m a x 函數(shù)內(nèi)的多項(xiàng)式次數(shù)均為一次，因此可考慮選擇 ， 作為一種\"基底”，將多項(xiàng)式 b - 2 a 和 b + 1 分別分解成 和 ，計(jì)算得 b - 2 a = 2 （ b - a ） + （ c - b ） + （ 1 - c ） - 1 ， - a - b + 1 = （ b - a ） + 2 （ c - b ） + 2 （ 1 - c ） - 1 .

解記 ，則

當(dāng) b ？ 2 a 時(shí)，由 b - 2 a = 2 （ b - a ）

得 2 （ b - a ） + （ c - b ）

，再由

4 M ？ 2 （ b - a ） + （ c - b ） + （ 1 - c ） ？ 1 ，得 中 .當(dāng) a + b ？ 1 時(shí)，由 - a - b + 1 = （ b - a ） +

得

+ 2 （ 1 - c ） ？ 1 ，再由 得 ，得 綜上所述， （20

評(píng)析對(duì)于不等式問(wèn)題，通常所涉及多元變量，如何利用題干已知條件進(jìn)行減元，便成為解題的關(guān)鍵，因此，尋找變量間的關(guān)系，通過(guò)等價(jià)代換的方法是較優(yōu)的解題方法.在這過(guò)程體現(xiàn)了分解思想：適當(dāng)?shù)剡x擇某些變量作為“基底”，剩余變量可由這組“基底”來(lái)表示，從而達(dá)到減元的目的。

例4試證明定義在 R 上的任一函數(shù) F （ x ） 可表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和。

解記 g （ x ） = F （ x ） + F （ - x ） ， h （ x ） = F （ x ） ，易證得 為偶函數(shù)， h （ x ） 為偶函數(shù)，令 ，因此 R 上的任一函數(shù)F （ x ） 可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和。

評(píng)析本例是向量基底思想在函數(shù)中應(yīng)用，也可看成是一種分解思想的運(yùn)用．由待定系數(shù)法令 得 ，因此任意函數(shù) F （ x ） 可由一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)表示。

例5若平面向量 滿足 1 且 ，求 最大值與最小值。

解 可表示三個(gè)力 合力的大小，又因?yàn)? ，故 當(dāng)且僅當(dāng) 同向，且與 反向時(shí)，合力最小為1；當(dāng)且僅當(dāng) 三個(gè)力同方向時(shí)合力最大為5。

評(píng)析上述解法是分解思想的相反過(guò)程：綜合思想，先給向量賦予實(shí)際意義，通過(guò)力的合成求得答案，既簡(jiǎn)潔又優(yōu)美，體現(xiàn)了思想方法在解題的重要性。

例6若 ，則

·（請(qǐng)用一個(gè)排列數(shù)來(lái)表示）。

解現(xiàn)有 n 個(gè)不同小球（其中有2個(gè)黑球， n - 2個(gè)白球），現(xiàn)要從中選出 m 個(gè)球排序，總共有 種排法；這等價(jià)于按選取的黑球的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：選出2個(gè)黑球，有 種排法；選出1個(gè)黑球，有 種排法；選出0個(gè)黑球，有 種排法，所以

評(píng)析本例通過(guò)給排列公式賦予實(shí)際意義，發(fā)

現(xiàn) 恰好為在 n 個(gè)元素中選

出 個(gè)元素排序，總共有 種排法，其中體現(xiàn)綜合

思想．若把問(wèn)題改為 ，這時(shí)更傾向于分解思想。

3.實(shí)施原則[1]

3.1 目標(biāo)簡(jiǎn)單化原則

不管是從認(rèn)識(shí)規(guī)律，還是從解決問(wèn)題需要便易、簡(jiǎn)捷考慮，分解與綜合思想方法的首要原則應(yīng)該是將目標(biāo)簡(jiǎn)單化.目標(biāo)簡(jiǎn)單化原則是指應(yīng)朝著目標(biāo)簡(jiǎn)單的方向進(jìn)行，即復(fù)雜的待解決問(wèn)題應(yīng)分解成簡(jiǎn)單的較易解決的問(wèn)題.這里的簡(jiǎn)單，一是指問(wèn)題結(jié)構(gòu)關(guān)系形式表示上的簡(jiǎn)單；二是指問(wèn)題處理方式、方法上的簡(jiǎn)單。

3.2 具體化原則

具體化原則是指分解與綜合的方向一般應(yīng)由抽象到具體.即分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)著力將問(wèn)題向較具體的問(wèn)題轉(zhuǎn)化，以使其中的數(shù)量關(guān)系更易把握，如盡可能將抽象的式用具體的形來(lái)表示，將抽象的語(yǔ)言描述用具體的式或形表示，以使問(wèn)題中的各種概念以及概念之間的相互關(guān)系具體、明確，如應(yīng)用表達(dá)式的幾何意義、給表達(dá)式賦予實(shí)際應(yīng)用意義等。

3.3 統(tǒng)一性原則

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，給出的條件有時(shí)會(huì)在量、形關(guān)系上顯得較為雜亂，無(wú)從下手，這時(shí)，需要我們根據(jù)待解問(wèn)題的表現(xiàn)形式，對(duì)所給的量、形關(guān)系作統(tǒng)一分解轉(zhuǎn)化，使待解問(wèn)題在表現(xiàn)形式上一致，在量、形、關(guān)系方面趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行，使問(wèn)題的條件與結(jié)論表現(xiàn)得更勻稱和。

3.4 低層次化原則

低層次化原則是說(shuō)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)盡量將高維空間的待解問(wèn)題分解成低維空間的問(wèn)題，高次數(shù)的問(wèn)題分解成低次數(shù)的問(wèn)題，多元問(wèn)題分解成少元問(wèn)題解決，這是因?yàn)榈蛯哟螁?wèn)題比高層次問(wèn)題更直觀、具體、簡(jiǎn)單。

4.結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)思想方法是解題指導(dǎo)思想，是對(duì)解題方法的總結(jié)與提升，它可以幫助學(xué)生提升解題思維，構(gòu)建解題模型，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力，也是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)[3]的關(guān)鍵所在.在大單元教學(xué)推廣中，數(shù)學(xué)思想提煉無(wú)論教學(xué)設(shè)計(jì)，還是教學(xué)過(guò)程的都尤其重要，它具有極強(qiáng)的育人價(jià)值.分解和綜合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中都有著重要價(jià)值，它能讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真諦，懂得數(shù)學(xué)價(jià)值，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考、解決問(wèn)題.我們只有充分地在教材中去挖掘出分解與綜合思想方法，充分地認(rèn)識(shí)到它的價(jià)值，有目的有意識(shí)地長(zhǎng)期滲透，才能讓學(xué)生在操作中掌握，在掌握后領(lǐng)悟，最終形成能力，提升素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]錢珮玲.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法（第2版）［M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[2]苗強(qiáng)．向量基底思想的應(yīng)用［J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2015（12）：68.