2024年9月，北師大版初中數(shù)學(xué)新教材（以下簡(jiǎn)稱“新教材\"）在七年級(jí)全面使用，與上一版教材相比，新教材中有一個(gè)十分明顯的變化就是在一些章節(jié)的末尾增添了“問題解決策略”專題，如在七年級(jí)上冊(cè)“代數(shù)式”一章的最后增添了“問題解決策略：歸納”，在七年級(jí)上冊(cè)“一元一次方程”一章的最后增添了“問題解決策略：直觀分析”。教師在面對(duì)這一新增內(nèi)容時(shí)常常犯難，不知這類課到底要讓學(xué)生掌握什么，如何更好地掌握，又該如何在教學(xué)中體現(xiàn)出教材的設(shè)計(jì)意圖。為了能更好地將編寫者心中的教材轉(zhuǎn)變?yōu)榻處熃虒W(xué)中有價(jià)值的素材，筆者在“第十屆全國(guó)新世紀(jì)杯初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比與觀摩活動(dòng)”中設(shè)計(jì)了一節(jié)“問題解決策略”示范課，呈現(xiàn)出此類課該有的樣態(tài)。下面，筆者將從新教材七年級(jí)下冊(cè)“問題解決策略：特殊化”一課的設(shè)計(jì)、思考出發(fā)，力圖呈現(xiàn)這類課的教學(xué)方法、理念，供初中數(shù)學(xué)教師參考。

一、新教材相關(guān)教學(xué)內(nèi)容分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的基礎(chǔ)上，不僅將“發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題”（“四能”）再次作為數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)之一，還進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問題和解決問題”，具體表現(xiàn)為注重問題解決的全過程，既關(guān)注發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，又關(guān)注分析問題、解決問題，同時(shí)給出了具體實(shí)施建議“探索真實(shí)問題”“運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)和方法”，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教材作為教育教學(xué)的重要內(nèi)容載體，承載著“四能”發(fā)展的育人要求，因此教師設(shè)計(jì)一些讓“四能”外顯，既強(qiáng)調(diào)全過程，又凸顯發(fā)展路徑的學(xué)習(xí)資源至關(guān)重要。

為了促使學(xué)生明確地獲得一些重要的思想方法，提升其后續(xù)解決問題的能力，新教材在部分章節(jié)末尾增加了“問題解決”專題（共計(jì)12個(gè)，“問題解決策略”7個(gè)，見表1；“問題解決活動(dòng)”5個(gè)，見表2。）本文著重研究“問題解決策略”這一主題。此做法改變了以往教學(xué)中慢慢“滲透”思想方法的方式，將一些數(shù)學(xué)思想方法由隱”變“顯”，從而讓學(xué)生更有效地梳理經(jīng)驗(yàn)，掌握一類問題的解決方法，真正做到“數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化”。

“問題解決策略：特殊化”是北師大版初中數(shù)學(xué)新教材七年級(jí)下冊(cè)第四章“三角形”的最后一節(jié)內(nèi)容。在本章的學(xué)習(xí)中，很多地方都體現(xiàn)出研究問題“特殊”的重要性，如在對(duì)三角形進(jìn)行分類時(shí)，可以按內(nèi)角的大小分類，將其與“直角”這一特殊角的大小進(jìn)行比較繼而分類；又如，在探索三角形全等的條件時(shí)，可以先從內(nèi)角的具體度數(shù)或邊的具體長(zhǎng)度等這些特殊的情況為切人點(diǎn)進(jìn)行研究，再推廣到一般的情況加以研究。

“特殊化”不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科所獨(dú)有的策略，在很多學(xué)科中也會(huì)用到，如物理、化學(xué)、生物學(xué)等。它是一種重要的思維方式和問題解決的策略，能夠幫助學(xué)生在面對(duì)一般性問題或復(fù)雜問題時(shí)，通過從特殊情形先開展研究，轉(zhuǎn)化為特殊問題或簡(jiǎn)單問題，從而獲得對(duì)研究一般問題的初步理解和直觀感受，為最終回到解決一般問題奠定基礎(chǔ)。考慮到“特殊化”策略在數(shù)學(xué)中的重要價(jià)值和意義，本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)有如下兩點(diǎn)：一是通過對(duì)具體問題的探究、分析，了解“特殊化”策略的意義、使用條件和一般步驟，發(fā)展推理能力。二是通過對(duì)“特殊化\"策略的理解、內(nèi)化，能靈活運(yùn)用其解決一些簡(jiǎn)單的問題，提高分析問題、解決問題的能力。

二、指向“特殊化\"策略的教學(xué)設(shè)計(jì)

為了讓學(xué)生逐步獲得“特殊化”策略，筆者將本節(jié)課的標(biāo)題確定為“像數(shù)學(xué)家一樣思考——尋找問題解決的策略”，這樣的方式讓學(xué)生獲得策略不是“坐享其成”的過程，而是探索、發(fā)現(xiàn)的過程。在具體實(shí)施時(shí)，教師可以“問題導(dǎo)向”的方式，結(jié)合足夠的交流、反思，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、體會(huì)到“特殊化”策略的作用及解決問題的要點(diǎn)。

【問題1】數(shù)學(xué)的研究總會(huì)面對(duì)一些問題，如“三角形的三條中線的交點(diǎn)、三條高所在直線的交點(diǎn)、三條垂直平分線的交點(diǎn)是否共線”。又如，“一個(gè)三位數(shù)除以它各位數(shù)字之和，商最大是多少你覺得數(shù)學(xué)家遇到這些問題時(shí)，可能會(huì)如何研究它們？采用什么樣的策略呢？”

【設(shè)計(jì)意圖】教師上課伊始就提出兩個(gè)具有挑戰(zhàn)的難題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生猜想數(shù)學(xué)家的解題策略。這一做法，學(xué)生易于接受、參與。在猜想的過程中，學(xué)生會(huì)不自覺地體會(huì)到“特殊”的作用，為后續(xù)學(xué)習(xí)作好鋪墊。此處，教師并不需要直接給學(xué)生答案，而是讓懸疑留到本節(jié)課結(jié)束時(shí)，到時(shí)答案自然會(huì)呈現(xiàn)。

【問題2】剛剛的話題其實(shí)很有意義，因?yàn)檎驹诰奕说募绨蛏?，用他們的思維去研究問題定會(huì)事半功倍。但是，猜想別人是怎么想的會(huì)有一定的難度，我們?nèi)绾稳ふ乙恍┎呗裕员愀?、更快、更有方向地解決問題？下面，我們一起來研究這個(gè)問題：

有兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，其中正方形EFGH的頂點(diǎn) E 與正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)的過程中（PPT呈現(xiàn)幾何畫板制作的動(dòng)態(tài)圖，即正方形EFGH繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圖，不以靜止圖方式出現(xiàn)），兩個(gè)正方形重疊部分的面積是多少？請(qǐng)畫圖并計(jì)算。

【追問1】黑板上呈現(xiàn)了四位同學(xué)的作品（如圖1），請(qǐng)這四位同學(xué)分別作出分析和評(píng)價(jià)，從以下三個(gè)方面敘述：你為什么要這樣畫，好處是什么？根據(jù)你畫出的圖得到的重疊部分的圖形面積是多少？請(qǐng)你指出別人在畫圖解決問題時(shí)的優(yōu)點(diǎn)或缺點(diǎn)可能是什么？

【追問2】有的同學(xué)畫了好幾幅圖，請(qǐng)說一說，你為什么會(huì)畫這幾幅圖來解決問題呢？你的思考過程是什么？

【追問3】回顧剛剛這個(gè)問題分析、解決的過程，大家有什么感悟？

【追問4】在解決什么樣的問題時(shí)，我們可能會(huì)從特殊情形人手？又該如何尋找特殊情形？

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生從猜想數(shù)學(xué)家解題的思路跳躍到具體的題目上，聚焦到本節(jié)課最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。學(xué)生借助動(dòng)態(tài)圖，自行畫圖解決問題。由于正方形EFGH停留位置的不同，重疊部分的形狀也會(huì)不同，可能是特殊的正方形或等腰直角三角形，也可能是一般的四邊形，學(xué)生自主嘗試解決。隨后，教師選擇四位學(xué)生上黑板畫圖，并通過他們的作品進(jìn)行追問1，得到不同圖的優(yōu)缺點(diǎn)（前兩幅圖更容易求出答案，但是不具一般性；后兩幅圖具有一般性，可以轉(zhuǎn)化為前兩幅圖，但是計(jì)算比較麻煩，不容易解決），以及重疊圖形的面積。在學(xué)生分別說四幅圖的優(yōu)、缺點(diǎn)時(shí)候，其余學(xué)生可以自然地體會(huì)到“特殊”與“一般”的關(guān)系及優(yōu)缺點(diǎn)，為后面“特殊化\"的產(chǎn)生作鋪墊。這一追問很有意義，不僅讓學(xué)生在\"異中求同、同中辨異\"的過程中了解到各幅圖的優(yōu)、缺點(diǎn)，也慢慢將其思維“可視化”。追問2揭示了“特殊化”的意義及步驟，即遇到一個(gè)一般性的問題時(shí)，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結(jié)論或方法解決一般性的問題，這樣更容易、方便。追問3和追問4均為反思性問題，旨在讓學(xué)生回看研究的過程，逐步將“意識(shí)流”轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝行Ы?jīng)驗(yàn)”，為后續(xù)問題的解決提供一般性思路：當(dāng)一個(gè)問題有無數(shù)種可能時(shí)，可以先從特殊的情況入手，獲得一個(gè)猜想，進(jìn)而擴(kuò)展到一般情況下進(jìn)行研究，這一過程中的關(guān)鍵是“限制不確定因素，如點(diǎn)的位置、圖形的形狀等”。

值得注意的是，若想讓學(xué)生以后可以更好地使用“特殊化”策略，教師一般需要在明確策略后進(jìn)行升華凝練（如下頁(yè)圖2），明確實(shí)施路徑及要點(diǎn)，即“特殊化”實(shí)際上是一個(gè)從一般到特殊再到一般的過程。在從一般到特殊時(shí)，關(guān)鍵是“有目的地“退'”，所謂的“有目的”就是限制不確定因素，如圖形的形狀、點(diǎn)的位置、數(shù)的大小等；“退”到特殊的狀態(tài)下便能獲得可能的方法和結(jié)論，便可以“有方向地‘進(jìn)””。這種先“退”后“進(jìn)”的方式，“退”是為了更好地“進(jìn)”，最終解決一般性問題。

【問題3】點(diǎn) P 是等邊三角形ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) P 向 A B，B C，C A 三邊作垂線，垂足分別為 D，E F 。請(qǐng)?zhí)剿?A D+B E+C F 與 Δ A B C 周長(zhǎng)之間的關(guān)系。這個(gè)題目你打算如何研究？請(qǐng)給出研究的方案及可能的結(jié)果。

【設(shè)計(jì)意圖】通過設(shè)計(jì)，學(xué)生已經(jīng)知曉了“特殊化”策略的作用，也明白了其一般步驟及實(shí)施要點(diǎn)。問題3可視為策略的鞏固、運(yùn)用階段。既然之前已經(jīng)明確了策略，那么本題中解決問題并不是最為重要的。事實(shí)上，學(xué)生能自然地想到用策略，并再次體會(huì)策略的價(jià)值，這才是更為重要的。所以，教師在此處選擇了難度較大的問題，旨在讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)方案，經(jīng)歷“弄清題意一擬訂計(jì)劃一實(shí)施計(jì)劃一回顧反思”的過程，體會(huì)策略應(yīng)用的整套流程。由于題目較難，學(xué)生可能還會(huì)體會(huì)到“問題越難，特殊化的意義越大\"這一重要結(jié)論。

【問題4】老師一開始就讓同學(xué)們猜一猜數(shù)學(xué)家可能用什么樣的辦法研究問題?，F(xiàn)在，大家心中一定有了答案。那么，運(yùn)用“特殊化”策略，你覺得那兩個(gè)問題，遇到特殊的情形會(huì)是什么樣的？

【設(shè)計(jì)意圖】教師設(shè)計(jì)的這個(gè)問題相當(dāng)于讓學(xué)生進(jìn)行“再思考”，也是給上課之初懸念的一個(gè)“答復(fù)”。這樣的設(shè)計(jì)，讓一節(jié)課充滿思考，從一開始的“迷茫、猜測(cè)”，到最后的“清楚、篤定”，以潛移默化的方式培養(yǎng)了學(xué)生質(zhì)疑問難、自我反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣和勇于探索的科學(xué)精神。

【問題5】通過今天的學(xué)習(xí)和研究，你有什么收獲？

【追問】以后在遇到什么樣的問題時(shí)，你可能會(huì)采用今天學(xué)到的方法？

【設(shè)計(jì)意圖】反思有利于學(xué)生在自己的認(rèn)知中再思考，更好地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，不僅能夠達(dá)到“溫故而知新”的學(xué)習(xí)效果，還能促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，逐步形成有效的經(jīng)驗(yàn)，并將其遷移、運(yùn)用到更多的新問題中。正如數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾所說：“沒有反思，學(xué)生的理解水平不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平?！贝颂幍脑O(shè)計(jì)就是明顯的“反思”之舉，面向未來。

為了呼應(yīng)前面的設(shè)計(jì)，標(biāo)題應(yīng)在最后呈現(xiàn)，建議教師最后可以設(shè)計(jì)這樣的一段話來做總結(jié)提升，為這節(jié)課的學(xué)習(xí)畫上句號(hào)：進(jìn)步無止境，今天的學(xué)習(xí)大家一定對(duì)“特殊化”策略有了深刻的認(rèn)識(shí)，“特殊”能為你打開一扇窗，提供思路和方法；“一般”又能讓你看見一片林，獲得普遍性的結(jié)論，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不簡(jiǎn)單，但是如果大家能像數(shù)學(xué)家一樣“有策略”地去思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)容易得多，相信今天大家就尋找到了一種“有方法\"的問題解決的策略：特殊化（展示課題）。

三、相關(guān)教學(xué)的思考與建議

基于上述對(duì)新教材相關(guān)內(nèi)容的分析及指向“特殊化\"策略的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師應(yīng)思考這樣分析與設(shè)計(jì)的原因，并總結(jié)這類課的整體教學(xué)建議。

（一）注重參與、交流，指向?qū)W生的需求

學(xué)生的需求是什么？新課標(biāo)中指出，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難。因此，此類課的教學(xué)要落實(shí)“學(xué)為中心”的理念，讓學(xué)生在課堂上多參與、多交流，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，使其認(rèn)知“從無規(guī)則到有規(guī)則”\"從模糊到清晰”，逐步學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

在本節(jié)課的教學(xué)中，教師設(shè)置了如下頁(yè)圖3這樣的教學(xué)過程，設(shè)置“猜數(shù)學(xué)家的想法”這樣趣味的問題，引發(fā)學(xué)生的思考（遇問題），再讓學(xué)生自主嘗試解決，“逼”出學(xué)生“下意識(shí)”的想法（想問題）。然后，教師讓學(xué)生交流做法、分析優(yōu)劣（研問題），不僅能發(fā)展學(xué)生的批判性思維能力，還能加深學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，繼而使其初步獲得方法并了解到方法的實(shí)施要點(diǎn)（獲方法）。接著，教師給予學(xué)生足夠的開放空間，讓其用此方法試著獨(dú)立解決問題（用方法），加深對(duì)方法的認(rèn)識(shí)。最后，教師通過引導(dǎo)學(xué)生反思，明晰具體策略（明策略），最終指向新問題的解決。事實(shí)上，“問題解決策略”專題的教學(xué)都可以采用這樣的學(xué)習(xí)路徑，讓學(xué)生自主建構(gòu)認(rèn)知，教師給予足夠的時(shí)間和空間，逐步讓學(xué)生從“被逼迫\"到“主動(dòng)明了”。

（二）注重調(diào)整、適應(yīng)，指向教材的要求

教材的要求是什么？教材絕不是學(xué)習(xí)的終點(diǎn)——教授教材上的知識(shí)，讓學(xué)生機(jī)械化地掌握，解決教材上的題目，每道題都不遺漏地訓(xùn)練；而應(yīng)當(dāng)是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)—基于教材提供的資源學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，引發(fā)學(xué)生持續(xù)地思考，最終獲得足夠的經(jīng)驗(yàn)解決更多的問題。

“問題解決策略：特殊化”專題的設(shè)置目的并非讓學(xué)生遇到更多的難題，見到形式多樣的問題后感受到數(shù)學(xué)的變幻莫測(cè)，而是讓學(xué)生在研究問題的同時(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)的“講道理”，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在的規(guī)律。例如，本節(jié)課學(xué)到的方法就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常用到的一般策略：特殊化。同時(shí)，教師需要讓學(xué)生在經(jīng)歷問題研究的過程中，真正理解數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)，并把這種方法運(yùn)用到生活中的方方面面。因此，教師要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的強(qiáng)弱、認(rèn)知的差異及時(shí)進(jìn)行調(diào)整，要靈活地使用教材。教師可以采用開放式的教學(xué)方式，如本節(jié)課采用的方式（即可以采用教材提供的方式），其針對(duì)性更強(qiáng)。比如，教材展示了兩位學(xué)生的具體做法，讓學(xué)生開展分析、對(duì)比，最終獲得“特殊化”策略。再好的教材也需要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，落實(shí)于行動(dòng)中，因?yàn)檫m合的才是最好的，這才是教材想要表達(dá)的理念。

（三）注重歸納、反思，指向新課改的追求

新課改的追求是以學(xué)科核心知識(shí)為依托、以學(xué)科核心活動(dòng)為載體，基于新課標(biāo)和新教材，通過有效的處理方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生形成“有效經(jīng)驗(yàn)”，從而面向未來。

對(duì)于“問題解決”專題，教師始終要有這樣的定位：“經(jīng)驗(yàn)”往往比“解決這個(gè)問題”更為重要。因此在教學(xué)時(shí)，教師不能將“獲得答案就結(jié)束”\"解決題目至關(guān)重要”作為信條，而是要關(guān)注“策略\"和“辦法”。學(xué)生交流后需要多歸納、多反思，對(duì)“規(guī)律”和“本質(zhì)”加以提煉，明晰其背后的“邏輯”。教師要讓學(xué)生感受到策略的“必然性”和“優(yōu)越性”，使學(xué)生從“自發(fā)使用\"到“明晰價(jià)值”，最終達(dá)到“運(yùn)用自如”的境界。

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）